三、数列求和专项练习高考题(含知识点).doc

数列的前n项和的求法
1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：，，.
例1、已知，求的前n项和.
解：由
由等比数列求和公式得 （利用常用公式）
＝＝＝1－
2.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.
例2、 求数列的前n项和：，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当a＝1时，＝ （分组求和）
当时，＝
3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前和公式的推导方法）.
例3、求的值
解：设…………. ①
将①式右边反序得
…………..② （反序）
又因为
①+②得 （反序相加）
＝89
∴ S＝44.5
4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）.
例4、 求和：………………………①
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积
设………………………. ② （设制错位）
①－②得 （错位相减）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
例5、求数列前n项的和.
解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………② （设制错位）
①－②得 （错位相减）

∴
5.裂项相消法如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：
①；②；
③，；
④ ；⑤；
⑥.
例6、 求数列的前n项和.
解：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
例7、 在数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
解： ∵
　 ∴ （裂项）
∴ 数列{bn}的前n项和
裂项求和）
＝ ＝
6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。
例8 、求之和.
解：由于 （找通项及特征）
∴
＝ （分组求和）
＝
＝
＝
7、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例9、 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）

1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列的公差为2，若，，成等比数列，则的前n项和=
（A） （B） （C） (D)
【答案】A
2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列中，，则数列的前8项和等于 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C．
3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=( )
A. 31 B. 32 C. 63 D. 64
【答案】C
4.【2014·北京卷（理5）】设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（ ）
充分且不必要条件 必要且不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件

【答案】D
5.【2014·天津卷（文5）】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则（　　）
（A）2　　（B）-2　　（C）　　 （D）
【答案】D.
6.【2014·福建卷（理3）】等差数列的前项和，若，则( )

【答案】C
7.【2014·辽宁卷（文9）】设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
8.【2014·陕西卷（理文4）】根据右边框图，对大于2的整数，
得出数列的通项公式是（ ）

【答案】C
9.【2014·重庆卷（理2）】对任意等比数列,下列说法一定正确的是（ ）
成等比数列 成等比数列
成等比数列 成等比数列
【答案】D
10.【2014·重庆卷（文2）】在等差数列中,，则（ ）

【答案】B
11.【2014·全国卷Ⅱ（文16）】数列满足=，=2，则=_________.
【答案】
12.【2014·安徽卷（理12）】数列是等差数列，若，，构成公比为的等比数列，则________.
【答案】。
13.【2014·北京卷（理12）】若等差数列满足，，则当________时的前项和最大.
【答案】8
14.【2014·天津卷（理11）】设是首项为，公差为-1的等差数列，为其前项和.若成等比数列，则的值为__________.
【答案】
15.【2014·江西卷（文13）】在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________.
【答案】
162014·广东卷（理13）】若等比数列的各项均为正数，且，则 。
【答案】50
17.【2014·广东卷（文13）】等比数列的各项均为正数且，则 ＝ .
【答案】5
18.【2014·全国卷Ⅰ（理17）】已知数列{}的前项和为，=1，，，其中为常数.
(Ⅰ)证明：；
（Ⅱ）是否存在，使得{}为等差数列？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ)由题设，，两式相减
，由于，所以 …………6分
（Ⅱ）由题设=1，，可得，由(Ⅰ)知
假设{}为等差数列，则成等差数列，∴，解得；
证明时，{}为等差数列：由知
数列奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列
令则，∴
数列偶数项构成的数列是首项为3，公差为4的等差数列
令则，∴
∴（），
因此，存在存在，使得{}为等差数列. ………12分
19.【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知是递增的等差数列，，是方程的根。
（I）求的通项公式；
（II）求数列的前项和.
【解析】：（I）方程的两根为2,3,由题意得，，设数列的公差为 d,，则，故d=，从而，
所以的通项公式为： …………6 分
(Ⅱ)设求数列的前项和为Sn,由(Ⅰ)知，
则：
两式相减得

所以 ………12分
20.【2014·全国卷Ⅱ（理17）】已知数列满足=1，.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
【解析】
（1）

(2)由（1）知，故，
，当时，；
所以，
故
21.【2014·全国大纲卷（理18）】等差数列的前n项和为，已知，为整数，且.
（I）求的通项公式；
（II）设，求数列的前n项和.
【解析】（I）由，为整数知，等差数列的公差为整数．又，故于是，解得，因此，故数列的通项公式为．（II），于是22.【2014·全国大纲卷（文17）】数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.
（1）设bn=an+1-an，证明{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式.
【解析】（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2- an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.
所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列；
（1） 由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是
于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n +1+a1.又a1=1，所以{an}的通项公式为an=n2-2n +2.
23.【2014·山东卷（理19）】已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。
（I）求数列的通项公式；
（II）令=求数列的前项和。
【解析】（I）

解得
（II）

24.【2014·安徽卷（文18）】数列满足.
(Ⅰ)证明：数列是等差数列；
(Ⅱ)设，求数列的前项和.
【解析】（Ⅰ）证：由已知可得，即
所以是以为首项，1为公差的等差数列。
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得，所以，从而

①－②得：

所以
25.【2014·北京卷（文15）】已知是等差数列，满足，，数列满足，，且是等比数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【解析】（I）设等差数列的公差为，由题意得：，
所以，
设等比数列的公比为，由题意得：，解得.
所以，从而.
（II）由（1）知，，
数列的前n项和为，数列的前n项和为，
所以数列的前n项和为.
26.【2014·福建卷（文17）】在等比数列中，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【解析】(1)设的公比为q，依题意得
，解得，
因此，.
（2）因为，
所以数列的前n项和.
27.【2014·江西卷（理文17）】已知首项都是1的两个数列（），满足.
(1) 令，求数列的通项公式；
(2) 若，求数列的前n项和.
【解析】（1）因为，
所以
所以数列是以首项，公差的等差数列，故
（2）由知
于是数列前n项和

相减得
所以
28.【2014·江西卷（文16）】已知数列的前项和.
（1） 求数列的通项公式；
（2） 证明：对任意，都有，使得成等比数列.
【解析】（1）当时
当时
检验 当时，
（2）使成等比数列. 则，，
即满足，所以
则对任意，都有
所以对任意，都有，使得成等比数列.

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