立体几何中球的内切和外接问题完美版.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,球与多面体的内切、外接,球的半径,r,和正方体,的棱长,a,有什么关系？,.,r,a,二、球与多面体的接、切,定义,1,：若一个多面体的,各顶点,都在一个球的球面上,，则称这个多面体是这个球的,内接多面体,，这个球是这个 。,定义,2,：若一个多面体的,各面,都与一个球的球面相切,，则称这个多面体是这个球的,外切多面体,，这个球是这个 。,一、,球体的体积与表面积,多面体的,外接球,多面体的,内切球,剖析定义,1,一、由球心的定义确定球心,在空间，如果一个,定点,与一个简单多面体的,所有顶点,的距离都,相等,，那么这个定点就是该简单多面体的外接球球心。,一、定义法 针对讲解,1,求正方体、长方体的外接球的有关问题,2,2,出现正四面体外接球时利用构造法,(,补形法,),，联系正方体。,求正方体、长方体的外接球的有关问题,例 2.（全国卷）一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）,A.B.C.D.,破译规律,-,特别提醒,2,球与正四面体内切接问题,3,【例3】求棱长为a的正四面体内切球的体积,球与正四面体内切接问题,3,正四面体内切、外接结论,3,球内接长方体的对角线是球的直径。正四面体（棱长为a）的外接球半径R与内切球半径r之比为R：r3：1.外接球半径：,内切球半径结论：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径 (为正四面体的高)，且外接球的半径 ,2,、正多面体的内切球和外接球的球心重合。,3,、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合。,1,例,4,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,过侧棱,AB,与球心,O,作截面,(,如图,),在正三棱锥中，,BE,是正,BCD,的高，,O,1,是正,BCD,的中心，且,AE,为斜高,解法,1,：,O,1,A,B,E,O,C,D,作,OF AE,于,F,F,设内切球半径为,r,，则,OA=1,r,Rt AFO Rt AO,1,E,例,4,、正三棱锥的高为,1,，底面边长为 。求棱锥的全面积和它的内切球的表面积。,解法,2,：,设球的半径为,r,，则,V,A-BCD,=,V,O-ABC,+V,O-ABD,+V,O-ACD,+V,O-BCD,注意：割补法，,O,1,A,B,E,O,C,D,变式训练：一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（）,A,A,B,C,D,D,1,C,1,B,1,A,1,O,球的内接正方体的对角线等于球直径。,变式训练：已知正四面体内接于一个球，某人画出四个过球心的平面截球与正四面体所得的图形如下，则（）,A,以下四个图形都是正确的,B,只有是正确的,C,只有是正确的,D,只有是正确的,D,A,B,C,D,O,A,B,C,D,O,求正多面体外接球的半径,求正方体外接球的半径,解法,2,：,直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点。,4,解析：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径 ，从而解决问题。,正棱锥的外接球的球心是在其高上,5,正棱锥的外接球的球心是在其高上,5,测棱相等的锥体顶点的投影在底面外接圆心,6,若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则共斜边的中点就是其外接球的球心。,7,破译规律,-,特别提醒,03,例题剖析针对讲解,2,举一反三,-,突破提升,04,2025/5/23 周五,25,举一反三,-,突破提升,4,1,、（,2015,海淀二模）已知斜三棱柱的三视图如图所示，该斜三棱柱的体积为,_.,举一反三,-,突破提升,4,2,、（,2015,郑州三模）正三角形,ABC,的边长为,，将它沿高,AD,翻折，使点,B,与点,C,间的距离为 ，此时四面体,ABCD,的外接球的体积为,。,等边三角形,举一反三,-,突破提升,4,3.(2015,南昌二模）某几何体的三视图如图，该几何体的顶点都在球,O,的球面上，球,O,的表面积是 （）,C,举一反三,-,突破提升,4,4.,（,2015,石家庄一模）三棱锥,P-ABC,的三条侧棱,PA,PB,PC,两两互相垂直,Q,为底面 内一点，若,Q,到三个侧面的距离分别为,3,4,5,则过点,P,和,Q,的所有球中，表面积最小的球的表面积为,-,30,-,考点一 考点二,考点三,举一反三,-,突破提升,4,-,31,-,考点一 考点二,考点三,举一反三,-,突破提升,4,-,32,-,举一反三,-,突破提升,4,-,33,-,举一反三,-,突破提升,4,.,四棱锥,P,ABCD,，底面,ABCD,是边长为,6,的正方形，且,PA,=,PB,=,PC,=,PD,，若一个半径为,1,的球与此四棱锥的各个面相切，则此四棱锥的体积为（）,A,15 B,24 C,27 D,30,举一反三,-,突破提升,4,举一反三,-,突破提升,4,举一反三,-,突破提升,4,举一反三,-,突破提升,4,举一反三,-,突破提升,4,举一反三,-,突破提升,4,正视图,侧视图,俯视图,2025/5/23 周五,48,