一两角和与差的三角函数市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,三角公式,1/25,一、两角和与差三角函数,二、二倍角公式,(,升幂公式,),(,降次公式,),sin(,)=sin,cos,cos,sin,cos(,)=cos,cos,sin,sin,-,+,tan(,)=,tan,tan,1 tan,tan,-,+,a,sin,+,b,cos,=,a,2,+,b,2,sin(,+,),cos2,=cos,2,-,sin,2,=2cos,2,-,1,=1,-,2sin,2,sin2,=2sin,cos,tan2,=,2tan,1,-,tan,2,sin,2,=,1,-,cos2,2,cos,2,=,1+cos2,2,2/25,三、半角公式,四、万能公式,五、其它公式,sin3,=3sin,-,4sin,3,;,cos3,=4cos,3,-,3cos,;,sin(60,-,),sin,sin(60,+),=sin3,;,1,4,cos(60,-,),cos,cos(60,+),=cos3,.,1,4,sin =,1,-,cos,2,2,cos =,1+cos,2,2,tan =,1,-,cos,1+cos,2,=sin,1+cos,=,1,-,cos,sin,sin,=,2tan,2,1+tan,2,2,tan,=,2tan,2,1,-,tan,2,2,cos,=,1,-,tan,2,2,1+tan,2,2,3/25,公式选择,1.从函数名称考虑,切割化弦,(,有时也可考虑“弦化切”,),异名化同名,(,使函数名称尽可能统一,),;,2.从角特点考虑,异角化同角,抓住角之间规律,(,如互余、互补、和倍关系等等,),;,3.从变换需要考虑,达到分解、化简或将条件与结论挂钩等目;,4.尽可能避开讨论,4/25,惯用技巧与方法,1.变换常数项,将常数变换成三角函数;,2.变角,对命题中一些角进行分拆，从而使命题中角尽可能统一;,3.升幂或降次,利用倍、半角公式进行升幂或降次变换,从而改变三角函数式结构;,4.利用代数变换中惯用方法,因式分解、配方、凑项、添项、换元等等.,5/25,三角函数式化简目标,1.项数尽可能少;,2.三角函数名称尽可能少;,3.角尽可能小和少;,4.次数尽可能低;,5.分母尽可能不含三角式;,6.尽可能不带根号;,7.能求出值求出值.,6/25,经典例题,1.,求,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,值,.,思维精析,从幂入手,用降幂公式,.,解法1,原式=+,(,sin70,-,sin30,),1+,cos100,2,1,-,cos40,2,1,2,=,-,sin70sin30+,sin70,1,2,3,4,=.,3,4,思维精析,从形入手,配成完全平方,.,=.,3,4,1,2,解法2,原式=(,sin20+,cos50,),2,+,cos,2,50,3,4,1,2,=,sin(50,-,30)+,cos50,2,+,cos,2,50,3,4,=(,sin50cos30),2,+,cos,2,50,3,4,思维精析,从角入手,化异角为同角,.,=.,3,4,解法3,原式=,sin,2,(50,-,30)+cos,2,50+sin(50,-,30)cos50,=(,sin50cos30,-,cos50sin30),2,+cos,2,50,+,(,sin50cos30,-,cos50sin30)cos50,=,(sin,2,50+cos,2,50),3,4,7/25,思维精析,从式入手,结构对偶式,.,解法4,设,x,=,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,=.,3,4,思维精析,从三角形入手,结构图形,利用正余弦定理.,解法5,设,ABC,外接圆半径为,1,A=20,B=40,y,=,cos,2,20+sin,2,50+cos20sin50.,则,x,+,y,=,2+sin70 ,x,-,y,=,-,cos40+cos100,-,sin30 .,x,=,(,2+sin70,-,cos40+cos100sin30),1,2,=,(+,sin70,-,2sin70sin30),1,2,3,2,则,C=120,.,由正余弦定理知:,原式=,sin,2,20+sin,2,40+sin20sin40,=,sin,2,20+sin,2,40,-,2sin20sin40cos120,=,sin,2,120,=.,3,4,得:,2,+,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,值为,.,3,4,1.,求,sin,2,20+cos,2,50+sin20cos50,值,.,8/25,2.已知,cos(,-,)=,sin(,+,)=,-,求,sin2,值.,2,4,3,13,12,3,5,解:,2,4,3,0,-,+,0,cos(,+,)0,9/25,3.,已知,sin,+cos,=2sin,sin,cos,=sin,2,求证:,2cos2,=cos2,.,4.,已知,sin,=,m,sin(2,+,),其中,m,0,2,+,k,(,k,Z),求证:,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,证:,sin,+cos,=2sin,(,sin,+cos,),2,=4sin,2,.,1+2,sin,cos,=2(1,-,cos2,).,sin,cos,=sin,2,1+2sin,2,=2(1,-,cos2,).,1+1,-,cos2,=2(1,-,cos2,).,2cos2cos2,.,证:,sin,=,m,sin(2,+,),m,=.,sin,sin(2,+,),=tan(,+,).,tan,=tan,1,-,m,1+,m,sin(2,+,)+sin,sin(2,+,),-,sin,=tan,2sin(,+,)cos,2cos(,+,)sin,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,10/25,另证:,sin,=,m,sin(2,+,),sin(,+,),-,=,m,sin(,+,)+,.,sin(,+,)cos,-,cos(,+,)sin,整理得,(1,-,m,)sin(,+,)cos,=(1+,m,)cos(,+,)sin,.,=,m,sin(,+,)cos,+cos(,+,)sin,.,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,4.,已知,sin,=,m,sin(2,+,),其中,m,0,2,+,k,(,k,Z),求证:,tan(,+,)=tan,.,1,-,m,1+,m,11/25,5.已知,tan,cot,是关于,x,方程,x,2,-,kx,+,k,2,-,3=0,两实根,且,3,0.,3,0,tan,0,(0,),0,.,2,2,-,-,0,-,-,-,.,2,-,2,-,0.,2,-,=,-,.,4,3,由,tan,(2,-,),=1,知,注,亦可由,tan,1,得,0,.,4,02,.,2,-,2,-,0.13/25,7.计算,-,+64sin,2,20.,sin,2,20,3,cos,2,20,1,sin,2,20cos,2,20,3cos,2,20,-,sin,2,20,解:,原式=,+64sin,2,20,sin,2,20cos,2,20,(,3cos20+sin20)(,3cos20,-,sin20),=+64sin,2,20,sin,2,40,16sin80sin40,=,+64sin,2,20,=32cos40+64sin,2,20,=32(1,-,2sin,2,20)+64sin,2,20,=32.,14/25,8.已知,sin2,=,(-,-),函数,f,(,x,)=sin(,x,),-,sin(,+,x,)+2cos,.(1)求,cos,值;(2)若,f,-,1,(,x,),表示,f,(,x,),在,-,上反函数,试求,f,-,1,(,-,),值.,3,4,2,3,5,2,2,10,10,2,解:,(1),-,-,-,2,-,.,3,4,3,2,cos,0,cos2,0.,由已知可得,cos2,=,-,.,4,5,故由,cos2,=2cos,2,-,1,得,cos,=,-,.,10,10,(2),f,(,x,)=sin(,-,x,),-,sin(,+,x,)+2cos,=,-,2cos,sin,x,+2cos,=,-,2cos,(sin,x,-,1),=,(sin,x,-,1).,10,5,10,10,由,(sin,x,-,1)=,-,得,10,5,sin,x,=,.,1,2,2,2,x,-,x,=,.,6,6,f,-,1,(,-,)=,.,10,10,15/25,解法1,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,4sin,2,cos,2,+2sin,cos,2,=2cos,2,.,1.已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,(0,),求,sin,tan,值.,2,cos,2,(,2sin,2,+sin,-,1)=0,cos,2,(,2sin,-,1)(sin,+1)=0.,(0,),2,cos,2,0,sin,10.,2sin,-,1=0.,sin,=.,1,2,=.,6,tan,=.,3,3,故,sin,tan,值分别为,和 .,3,3,1,2,解法2,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,sin2,cos,-,cos2,=1,-,sin,2,2,=cos,2,2,.,2sin,cos,2,=2cos2,cos,2,.,(0,),2,cos,2,0.,sin,=cos2,.,即,cos(,-,)=cos2,.,2,-,(0,),2,(0,),且,y,=cos,x,在(0,)内是减函数,2,2,-,=2,.,2,=.,6,sin,=,tan,=.,1,2,3,3,课后练习,16/25,解法3,由已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,-,1=0,可看作关于,sin2,一元二次方程.,解这个,一元二次方程得:,sin2,=,-,cos,cos,2,+4(1+cos2,),2,=.,-,cos,3cos,2,(0,),2,sin2,=cos,.,即,2sin,cos,=cos,.,=.,6,tan,=.,3,3,sin,=.,1,2,1.已知,sin,2,2,+sin2,cos,-,cos2,=1,(0,),求,sin,tan,值.,2,故,sin,tan,值分别为,和 .,3,3,1,2,17/25,2.已知,cos,=,-,cos(,+,)=,且,(,),+,(,2,),求,.,13,12,26,17,2,2,3,2,3,2,3,2,3,解:,(,),+,(,2,),(0,).,26,7,2,又由已知得,sin,=,-,sin(,+,)=,-,13,5,cos,=,cos(,+,),-,=,cos(,+,),cos,+,sin(,+,)sin,=,(,-,)+(,-,)(,-,),13,12,13,5,26,17,2,26,7,2,=,-,.,2,2,=.,4,3,18/25,3.已知,tan(,+,)+tan,=,a,cot(,+,)+cot,=,b,求证:,ab,(,ab,-,4)=,(,a,+,b,),2,.,4,4,证:,a,=,cos(,+,)cos,sin(,+,+,),4,4,=,cos(,+,)cos,sin(,+2,),4,4,b,=.,sin(,+,)sin,sin(,+2,),4,4,4,sin(,+,)sin,cos(,+,)cos,sin,2,(,+2,),4,4,ab,=,=,2,sin(,+2,)sin2,21,-,cos(,+4,),2,cos2,sin2,2(1+sin4,),sin4,4(1+sin4,),=.,ab,-,4=,.,sin4,4,sin,2,4,16(1+sin4,),ab,(,ab,-,4)=,.,4,4,又,a,+,b,=,tan(,+,)+,cot(,+,)+tan,+cot,=+,2,sin(,+2,),2,sin2,2,cos2,2,=+,sin2,2,sin4,4(sin2,+cos2,),=,19/25,(,a,+,b,),2,=,sin,2,4,16(sin2,+cos2,),2,sin,2,4,16(1+sin4,),=.,ab,(,ab,-,4),=(,a,+,b,),2,.,4.已知,sin(,+2,)sin,(,-,2,)=,(,),求,2,sin,2,+tan,-,cot,-,1,值.,2,4,4,1,4,4,解:,由已知 =,sin(,+2,)sin,(,-,2,),1,4,4,4,=,sin(,+2,)cos,(,+2,),4,4,=,sin(,+4,),2,1,2,=,cos4,.,1,2,cos4,=,.,1,2,(,),4,2,=,.,12,5,2,sin,2,+tan,-,cot,-,1,=,-,cos,-,2cot,6,5,6,5,=,-,cos2,-,2cot2,=+2 3,3,2,=3.,5,2,=cos +2cot,6,6,20/25,5.设,是锐角,且,tan,=tan,3,tan,=,tan,.求证:,成等差数列.,2,2,1,2,证:,由已知tan,=,tan,1,2,tan,1,-,tan,2,2,2,=,tan (1+tan,2,),(1,-,tan,2,)(1+tan,2,),2,2,=,2,2,2,tan,+tan,1,-,tan,tan,2,2,=,2,2,+,=tan,.,是锐角,都是锐角.,2,+,2,+,=tan,故由,tan,知:,=,.,2,+,成等差数列.,tan,+tan,3,1,-,tan,tan,3,2,2,=,2,2,21/25,6.已知,tan(,+,)=,.(1)求,tan,值;(2)求,值.,sin2,-,cos,2,1+cos2,1,2,4,1,2,解:,(1),tan(,+,)=,且,tan(,+,)=,4,4,1+,tan,1,-,tan,1+,tan,1,-,tan,1,2,=.,解得,tan,=,-,.,1,3,(2),原式,=,2sin,coscos,2,1+2cos,2,-,1,2sin,-,cos,2cos,=,1,2,=,tan,-,1,3,=,-,1,2,=,-,.,5,6,22/25,7.已知,6sin,2,+sin,cos,-,2cos,2,=0,),求sin(2,+,),值.,2,3,解:,6sin,2,+sin,cos,-,2cos,2,=0,(3sin,+2cos,)(,2sin,-,cos,)=0.,3sin,+2cos,=0,或,2sin,-,cos,=0.,又由已知得,cos,0,2,.,2,(,),从而,tan,0.,tan,=,-,.,2,3,sin(2,+,)=sin2,cos,+cos2,sin3,3,3,=sin,cos,+(cos,2,-,sin,2,),3,2,sin,cos,cos,2,+sin,2,cos,2,-,sin,2,cos,2,+sin,2,=+,3,2,=+,tan,1+tan,2,1,-,tan,2,1+tan,2,3,2,=,-,+3.,13,6,26,5,23/25,8.已知函数,f,(,x,)=,-,(1)将,f,(,x,),表示成,cos,x,整式;,sin,2sin,2,5,x,2,x,1,2,(2)若,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,)=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3,图象在,(0,)内最少有一个公共点,试求,a,取值范围.,sin,-,sin,2sin,2,5,x,2,x,1,2,解:,(1),f,(,x,)=,-,=,sin,2sin,2,5,x,2,x,2,x,2cos sin,x,2sin,2,3,x,2,x,=,=2cos,cos,2,3,x,2,x,=cos2,x,+cos,x,=2cos,2,x,+cos,x,-,1.,24/25,解:,由,f,(,x,)=,g,(,x,),得,2cos,2,x,+cos,x,-,1,即,a,(1+cos,x,)=cos,2,x,+2cos,x,+2,x,(0,),01+cos,x,2.,a,=1+cos,x,+,2.,1+cos,x,1,仅当,1+cos,x,=,即,cos,x,=0,亦即,x,=时取等号.,2,1+cos,x,1,故,a,取值范围是,2,+,).,(2)若,y,=,f,(,x,),与,y,=,g,(,x,)=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3,图象在,(0,)内最少有一个公共点,试求,a,取值范围.,=cos,2,x,+,a,(1+cos,x,),-,cos,x,-,3.,=(1+cos,x,),2,+1.,25/25,