定积分在几何学上的应用名师优质课获奖市赛课一等奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。,四、旋转体侧面积,(补充),二、体积,第二节,一、平面图形面积,三、平面曲线弧长,定积分在几何学上应用,第,六,章,第1页,曲边梯形面积,曲边梯形面积,1.直角坐标系情形,一、平面图形面积,第2页,解,两曲线交点,面积元素,选 为积分变量,第3页,解,两曲线交点,选 为积分变量,第4页,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数形式,问题：,积分变量只能选 吗？,第5页,解,两曲线交点,选 为积分变量,第6页,假如曲边梯形曲边为参数方程,曲边梯形面积,第7页,例3.,求椭圆,解:,利用对称性,所围图形面积,.,有,利用椭圆参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,第8页,例4.,求由摆线,一拱与,x,轴所围平面图形面积,.,解:,第9页,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成曲边扇形面积,.,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积近似值为,所求曲边扇形面积为,第10页,对应,从,0,变,例5,.,计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处,播放开始或暂停,到,2,所围图形面积,.,第11页,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,第12页,解,利用对称性知,第13页,心形线,(外摆线一个),即,点击图中任意点,动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数几何意义,第14页,例.,计算心形线,与圆,所围图形面积.,解:,利用对称性,所求面积,第15页,旋转体,就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成立体这直线叫做,旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,二、体积,1.旋转体体积,第16页,x,y,o,旋转体体积为,第17页,解,直线 方程为,第18页,第19页,例.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成椭球体体积.,解:方法1,利用直角坐标方程,则,(利用对称性),第20页,方法2,利用椭圆参数方程,则,尤其当,b,=,a,时,就得半径为,a,球体体积,第21页,解,第22页,星形线,星形线是内摆线一个.,点击图片任意处,播放开始或暂停,大圆半径,R,a,小圆半径,参数几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时,小圆上定点轨迹为是内摆线),第23页,第24页,解,第25页,第26页,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),第27页,补充,利用这个公式，可知上例中,第28页,例,求曲线,与,x,轴围成封闭图形,绕直线,y,3 旋转得旋转体体积.,(94 考研),解:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,第29页,例,设,在,x,0 时为连续非负函数,且,形绕直线,x,t,旋转一周所成旋转体体积,证实:,证:,利用柱壳法,则,故,第30页,解,体积元素为,第31页,2、已知平行截面面积函数立体体积,设定轴为,x,轴，,所给立体垂直于,x,轴截面面积为,A,(,x,),则对应于小区间,体积元素为,所以所求立体体积为,上连续,假如一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴各个截面面积，那么，这个立体体积也可用定积分来计算.,第32页,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,第33页,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,第34页,三、平面曲线弧长,定理:,任意光滑曲线弧都是可求长,.,并称此曲线弧为可求长,.,第35页,弧长元素,弧长,1、直角坐标情形,第36页,曲线弧为,弧长,2、参数方程情形,第37页,曲线弧为,弧长,3.、极坐标情形,第38页,解,所求弧长为,第39页,解,星形线参数方程为,依据对称性,第一象限部分弧长,第40页,例15,.,摆线,一拱,弧长,.,解:,第41页,解,第42页,证,第43页,依据椭圆对称性知,故原结论成立.,第44页,解,第45页,例,.,求连续曲线段,解:,弧长,.,第46页,解,第47页,例.,两根电线杆之间电线,因为其本身重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,下垂,悬链线方程为,第48页,四、旋转体侧面积,(补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体侧面积,它绕,x,轴旋转一周所得到旋转曲面侧面积.,取侧面积元素:,第49页,侧面积元素,线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕x,轴旋转一周所得旋转体,不是薄片侧面积,S,注意:,侧面积为,第50页,例.,计算圆,x,轴旋转一周所得球台侧面积,S,.,解:,对曲线弧,应用公式得,当球台高,h,2,R,时,得球表面积公式,第51页,例.,求由星形线,一周所得旋转体表面积,S,.,解:,利用对称性,绕,x,轴旋转,第52页,1.平面图形面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向确定,直角坐标方程,注意:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,五、小结,第53页,3.已知平行截面面面积函数立体体积,旋转体体积,绕,x,轴:,4.旋转体侧面积,侧面积元素为,(注意在不一样坐标系下 ds 表示式),绕,y,轴:,(柱壳法),第54页,思索题1,第55页,思索题1解答,x,y,o,两边同时对 求导,第56页,积分得,所以所求曲线为,第57页,思索题2,解答,交点,立体体积,第58页,思索题3,不一定仅仅有曲线连续还不够，必须确保曲线光滑才可求长,解答,第59页,思索与练习,1.用定积分表示图中阴影部分面积,A,及边界长,s,.,提醒:,交点为,弧线段部分,直线段部分,以,x,为积分变量,则要分,两段积分,故以,y,为积分变量.,第60页,2.试用定积分求圆,绕,x,轴,上,半圆为,下,求体积:,提醒:,方法1,利用对称性,旋转而成环体体积,V,及表面积,S,.,第61页,方法2,用柱壳法,说明:,上式可变形为,上,半圆为,下,此式反应了环体微元另一个取法(如图所表示).,第62页,求侧面积:,利用对称性,上式也可写成,上,半圆为,下,它也反应了环面微元另一个取法.,第63页,练 习 题1,第64页,第65页,第66页,练习题1答案,第67页,练 习 题2,第68页,第69页,第70页,练习题2答案,第71页,练 习 题3,第72页,第73页,练习题3答案,第74页,备用题,解：,1.,求曲线,所围图形面积.,显然,面积为,同理其它.,又,故在区域,第75页,分析曲线特点,2.,解:,与,x,轴所围面积,由图形对称性,也合于所求.,为何值才能使,与,x,轴围成面积等,故,第76页,3,.,求曲线,图形公共部分面积.,解,：,与,所围成,得,所围区域面积为,第77页,设平面图形,A,由,与,所确定,求,图形,A,绕直线,x,2 旋转一周所得旋转体体积.,提醒：,选,x,为积分变量.,旋转体体积为,4.,若选,y,为积分变量,则,第78页,