1112学年高中数学1.5.12曲边梯形的面积与汽车行驶的路程同步练习新人教A版选修.doc

选修2-2 1.5.1曲边梯形的面积、1.5.2汽车行驶的路程
一、选择题
1．和式(yi＋1)可表示为(　　)
A．(y1＋1)＋(y5＋1)
B．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋1
C．y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5
D．(y1＋1)(y2＋1)…(y5＋1)
[答案]　C
[解析]　(yi＋1)＝(y1＋1)＋(y2＋1)＋(y3＋1)＋(y4＋1)＋(y5＋1)＝y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋5，故选C.
2．在求由x＝a，x＝b(a点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是(　　)
①n个小曲边梯形的面积和等于S；
②n个小曲边梯形的面积和小于S；
③n个小曲边梯形的面积和大于S；
④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系无法确定
A．1个　　　 B．2个　　　
C．3个　　　 D．4个
[答案]　A
[解析]　n个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S.∴①正确，②③④错误，故应选A.
3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值等于(　　)
A．只能是左端点的函数值f(xi)
B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)
C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])
D．以上答案均不正确
[答案]　C
[解析]　由求曲边梯形面积的“近似代替”知，C正确，故应选C.
4．(2010·惠州高二检测)求由抛物线y＝2x2与直线x＝0，x＝t(t>0)，y＝0所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成n个小区间，则第i－1个区间为(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　在[0，t]上等间隔插入(n－1)个分点，把区间[0，t]等分成n个小区间，每个小区间的长度均为，故第i－1个区间为，故选D.
5．由直线x＝1，y＝0，x＝0和曲线y＝x3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是(　　)
A. B.
C. D.
[答案]　D
[解析]　s＝×
＝＝.
6．在等分区间的情况下，f(x)＝(x∈[0,2])及x轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是(　　)
A.·]
B.·]
C.
D.·n]
[答案]　B
[解析]　将区间[0,2]进行n等分每个区间长度为，故应选B.
二、填空题
7．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成的曲边梯形，将区间[0,2]5等分，按照区间左端点和右端点估计梯形面积分别为____
[答案]　3.92　5.52
8．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________．
[答案]　55
三、解答题
9．求直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成曲边梯形的面积．
[分析]　按分割，近似代替，求和，取极限四个步骤进行．
[解析]　将区间[0,2]分成n个小区间，则第i个小区间为.
第i个小区间的面积ΔSi＝f·，
∴Sn＝·
＝＝(i－1)2
＝[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]
＝·
＝.
S＝Sn＝ ＝，

∴所求曲边梯形面积为.
[点评]　注意求平方和时，用到数列中的一个求和公式.12＋22＋…＋n2＝.不要忘记对Sn求极限．
10．汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝t2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？
[分析]　汽车行驶路程类似曲边梯形面积，根据曲边梯形面积思想，求和后再求极限值．
[解析]　将区间[1,2]等分成n个小区间，第i个小区间为.
∴Δsi＝f·.
sn＝·
＝
＝
＝3n＋[02＋12＋22＋…＋(n－1)2]＋[0＋2＋4＋6＋…＋2n－1)]
＝3＋＋.
s＝sn＝ ＝.
∴这段时间行驶的路程为km.
11．求物体自由落体的下落距离：已知自由落体的运动速度v＝gt，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．
[分析]　→→→→
[解析]　(1)分割：将时间区间[0，t]分成n等份．
把时间[0，t]分成n个小区间(i＝1,2，…，n)，
每个小区间所表示的时间段Δt＝－t＝，在各小区间物体下落的距离记作Δsi(i＝1,2，…，n)．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在上任取一时刻ξi(i＝1,2，…，n)，可取ξi使v(ξi)＝gt近似代替第i个小区间上的速度，因此在每个小区间上自由落体Δt＝内所经过的距离可近似表示为Δsi≈g·(i＝1,2，…，n)．
(3)求和：sn＝si
＝·
＝[0＋1＋2＋…＋(n－1)]
＝gt2.
(4)取极限：s＝ gt2＝gt2.
12．求由直线x＝1、x＝2、y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S.
[解析]　(1)分割
在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它等分成n个小区间：
，，…，，记第i个区间为(i＝1,2，…，n)，其长度为
Δx＝－＝.
分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形(如下图)，它们的面积记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则小区边梯形面积的和为S＝Si.

(2)近似代替
记f(x)＝.当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为f(x)＝的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它等于f()．从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形面积ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有ΔSi≈ΔSi′＝fΔx＝·＝(i＝1,2，…，n)．
(3)求和
小曲边梯形的面积和Sn＝Si≈Si′
＝＝＋＋…＋
＝n－＋－＋…＋－
＝n＝.从而得到S的近似值S≈Sn＝.
(4)取极限
分别将区间[1,2]等分成8,16,20，…等份时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝Sn＝.
∴由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝围成的图形的面积S为.

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