1、单击此处编辑母版标题样式,*,本幻灯片资料仅供参考，不能作为科学依据，如有不当之处，请参考专业资料。谢谢,63 平面曲线弧长,一、平面曲线弧长概念,二、直角坐标情形,三、参数方程情形,四、极坐标情形,第1页,一、平面曲线弧长概念,定理,光滑曲线弧是可求长,设,A,，,B,是曲线弧两个端点,在弧,AB,上任取分点,),A,M,0,，,M,1,，,M,2,，,M,i,1,，,M,i,，,M,n,1,，,M,n,B,，,并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点数目无限增加,极限存在，,且每个小段,M,i,1,M,i,都缩向一点时，,是可求长,则称此极限为曲线弧AB弧长，,M,0,=,M,n,A,B,M
2、1,M,2,M,n,1,假如此折线长|,M,i,1,M,i,|,),并称此曲线弧AB,第2页,二、直角坐标情形,设曲线弧由直角坐标方程,y,f,(,x,)(,a,x,b,),给出，其中,f,(,x,)在区间,a,，,b,上含有一阶连续导数,曲线,y,f,(,x,)上对应于,x,点弧长增量,近似为,，,弧长元素(即弧微分)为,已知曲线弧长为,s,M,x,dx,dy,M,x,+,dx,D,s,M,0,x,0,x,y,O,y,f,(,x,),ds,，,s,第3页,讨论：,(2)设曲线弧由极坐标方程,r,=,r,(,)(,)给出，其中,r,(,)在,，,上含有连续导数，问弧长元素ds和弧长,s,各是
3、什么？,(1)设曲线弧由参数方程,(,t,)、,(,t,)在,，,上含有连续导数，问弧长元素,ds,和弧长,s,各是什么？,(,t,)给出，其中,设曲线弧由直角坐标方程,y,f,(,x,)(,a,x,b,)给出，其中,f,(,x,)在区间,a,，,b,上含有一阶连续导数，则,ds,，,s,第4页,解,所以，所求弧长为,y,x,3/2,，,从而弧长元素,例1,计算曲线 上对应于,x,从,a,到,b,一段弧长度,ds,，,s,，,第5页,解,从而弧长元素为,ds,所以，所求弧长为,s,长度,x,y,O,-b,b,c,例2,计算悬链线 上介于,x,b,与,x,b,之间一段弧,第6页,三、参数方程情形
4、设曲线弧由参数方程,其中,(,t,)、,(,t,)在,，,上含有连续导数,给出，,dx,(,t,),d,t,，,所以弧长元素为,所求弧长为,(,t,),(,t,),d,t,ds,，,s,第7页,解,所求弧长为,8,a,p,a,2,p,a,2,a,x,y,O,弧长元素为,x,(,),a,(1,cos,)，,y,(,),a,sin,例3,计算摆线,一拱(0,2,)长度,ds,s,第8页,四、极坐标情形,设曲线弧由极坐标方程,给出，其中,r,(,)在,，,上含有连续导数,由直角坐标与极坐标关系可得,r,=,r,(,)(,),于是得弧长元素为,从而所求弧长为,ds,，,s,第9页,解,ds,于是所求弧长为,例4,求阿基米德螺线,r,a,(,a,0)对应于,从0到2,一段弧,长,s,弧长元素为,r,(,),a,O,x,2,p,a,r,a,，,第10页,
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