高中数学运算能力与培养.doc

新课标下的高中数学运算能力与培养
武汉三中高三数学备课组 黄 鹰
当今课改地区的高考数学分数80%是靠运算获得。同时学生的运算能力的强弱直接影响着理科综合的成绩。运算能力反映一个学生的综合能力。运算是指在运算律的指导下对具体的数、式进行变形的演绎过程。高中数学运算包括数的运算、式的恒等变形、方程和不等式的同解变形、初等函数的运算和求值，各种几何量的测量与计算。而运算能力反映在运算的准确、合理和敏捷的程度上。它主要表现在灵活运用运算的法则、性质、公式，善于观察、比较、分析、综合、概括、推理等方面。是与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力以及空间想象能力等其它认识能力相互渗透、相互支撑形成的一种综合的数学能力。
依运算的抽象度，对运算可作如下划分

以上划分只是归纳出常见的运算形式，依运算思维的抽象度，将其划分为两个不同的层次，便于把握运算能力的层次要求。两类的主要区别在于前者体现运算的“机械”性，后者体现了运算的深刻性和一定的创造性。
由上可见，运算是思维的“载体”，运算能力体现思维能力，是数学素质的一面镜子。
一、运算能力与数学思想的关系
先请看甲、乙两个学生对下面例题的解法：
已知，试求使方程有解的的取值范围。
甲、乙两学生的解法如下：
甲：原方程的解应满足

由（1），得 (3)
当时，由，知（3）无解，故原方程无解。
当时，由（3）得，将此代入（2），得
当时，得；
当时，得
的取值范围为
乙：原方程等价变形，得
令，则原问题转化为求函数的值域，易求得的取值范围为
比较甲、乙两人的运算，不难看出，甲的方法有一定的运算量，且分类层次较多，因此，不仅难以提高速度，而且易出错；相反，乙在其思想方法下，几乎没什么运算量，获得成功的可能性大。这就说明，运算能力决不仅仅是个速度问题，它还应有更深的内涵与背景。
在数学教学中，有的学生概念理解了，习题也做了不少，但其运算能力并未得到明显的提高，还是缺乏举一反三和独立解决问题的能力，究其原因，与只重视数学知识而忽视数学思想有关。
“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。教学中，学生有没有掌握数学思想，其运算能力大不一样，如前述的考生乙，由于掌握了函数思想，领悟了实质，因而其运算能力处在一个较高的水平上，处理问题时表现得简洁、利落。由此可见，数学思想是沟通数学知识与运算能力的桥梁。教学中，只有不断引导学生从数学知识与数学方法中提炼数学思想，并注重运用数学思想去分析问题与解决问题，才是完善数学知识及学生认知结构，培养与提高学生运算能力的一条行之有效的途径。
二、运算能力差的原因
数学的理论是数学运算的基础和依据，只有正确理解有关的数学概念，切实掌握有关的数学定理、公式、法则，才能找到合理的算法、算理。才能取得正确迅速的运算结果。
（1）概念、公式法则遗忘，是造成运算不正确的直接原因
为此，在教学中应注意：
①向学生讲明记牢、记准概念、公式、法则的重要性。学习数学和学习其它任何一门学科一样，都离不开记忆。没有一定的记忆能力，就不可能有知识的积累，更不可能有知识的发展与应用。
②教学中注意以旧引新，以新促旧，新旧联系，相得益彰，使学过的知识经常不断地在学生的头脑中再现，增加记忆次数，促进记忆效果。
高中数学内容多、课时紧，教材中各部分内容相对独立，反复次数较少，学生容易遗忘。所以我们应有意识地帮助学生温故知新。在选择例题、布置习题时要精心筛选，也可以采取课外兴趣小组、竞赛、每周几题等形式使学生把旧知识与新内容有机地结合起来，构成知识网络。
③在讲授概念、公式、法则时，让学生在理解的基础上，用自己的话准确地表达出来，提高表达能力，并与学生一道总结记忆这些概念、公式、法则的方法，使学生记忆得法，提高记忆能力。
（2）概念不清楚、公式、法则含混，是造成运算不正确的主要原因
①讲授新课时，尽量做到由具体抽象，由感性到理性，遵循认识规律，自然地形成概念，导出公式、法则，弄清公式和法则的来龙去脉，明确条件是什么，结论是什么，在什么范围内使用，并通过课堂练习及时巩固，使学生在头脑中建立起清晰的第一印象。
②对相关的概念，易混的公式、法则，通过列表、图示等方法进行对比，加以区别，澄清模糊混淆的东西，提高理解力。
③及时回收教学效果的反馈信息，一旦发现典型错误，就立即通过正反两方面的例子进行纠正，使错误不形成定势。
（3）死套公式，是造成运算错误的又一原因
知识学得死，公式、法则不能灵活运用，而造成运算错误。
例如计算
误解：
错因是互套极限运算法则，把无限项的极限运算用有限项的极限运算法则进行。
为避免此类错误，教学中应注意：
①透彻地阐明概念的本质属性，深刻分析公式、法则的实质，讲明公式使用的条件、范围。对公式、法则的使用要做到正用、反用、变形用。
②在习题课、复习课中，收集一些灵活性强、启发性大、综合性好、学生通过努力能解答的习题作为练习题，培养学生思维能力的灵活性、敏锐性和深刻性等品质。

（4）基础不扎实
数学运算有层次性，运算能力的发展总是从简单到复杂，从低级到高级，从具体到抽象，有层次地发展起来的。简单的分数运算不过关，那么进行分式的代数运算就很困难。因此，必须重视基本功训练，切不可轻视那些简单的、低级的运算。
三、总结运算规律、掌握运算技巧、提高速度
（1）掌握数学运算的程序，才能合理、迅速地完成运算
比如求任意角三角函数值一般要按这样的程序：负角三角函数的三角函数的三角函数求值。这样，每一步该做什么，就有章可循，避免乱猜乱碰绕弯子，影响运算速度。因此，教学中应及时总结解题规律，进行严格的、有条理的训练，提高运算的合理性和自觉性，从而提高运算的正确性和迅速性。

（2）数学运算富有技巧性，没有形成熟练的技能与技巧，就不能简捷地完成运算
在教学中首先把精力用在掌握系统的运算规律上，同时也应当对常用的技能技巧问题给以足够的重视。例如常用的“换元法”、“形数结合法”、三角中“1”的变换、解析几何中参数选择等，技巧性都很强。要鼓励学生有意识地收集、归纳，鼓励他们一题多解，多题一解，积累经验，形成技巧。

四、运算能力重在长期培养
数学运算具有艰巨性，没有良好的心理素质，不能成功地完成运算
数学运算涉及的几乎都是数、式、符号等的各种变形和推导，内容很枯燥、情况很复杂，有的题要多步运算和推理才能出结果，其间，还要随时判断解题的发展方向，抉择运算的途径，分析各种可能的情形，稍不小心，就会出错，影响结果。当前的学生，有不少缺乏吃苦耐劳的精神，表现在学习上就是不刻苦、少毅力。题目稍有难度，计算稍繁，就做不下去。有的学生常说：我一看这题，头都大了。于是干脆连尝试都不做。所以，要经常做学生的思想工作，明确学习目的，端正学习态度。要鼓励他们的每一点进步。对待运算题，要求学生做到：做题前要有信心，做题时要细心，遇到问题要耐心，认真分析题意，寻找解题途径，顽强克服困难，仔细检查每一步运算，做到正确、迅速。
目前高中数学教学中存在一种不科学的做法，把运算结果用幻灯片放在屏幕上，学生并不知道怎样合理运算。其实运算过程需要老师引导学生观察、分析，寻找合理的算法计算机只能作为辅助手段。
培养与提高学生的运算能力是一项复杂的系统工程，是一项长期而艰巨的任务，教学中不会有“立竿见影”的效果，而要靠长期的、反复的实践活动，循环往复、螺旋上升。
要把运算能力的培养贯穿于整个中学数学教学的始终，要有计划、有目的、有意识地运用科学的方法进行长期的渗透，使学生不断地、经常性地受到启迪，在潜移默化中，使学生逐步领悟运算能力的实质，从而逐步提高运算能力。教学中，既要有总体培养目标，又要有阶段实施计划；既要有宏观的方法，又要有因材施教的具体措施；既要面向全体，又要照顾个别；既要遵循学生的认知规律，又要敢于探索、尝试与创新。培养学生的运算能力重在渗透，贵在坚持，并注重在实践中不断加以修正与调控，定期总结评估，作出实事求是的评价与预测，使之具有更强的实用性和指导性。

2010年11月16日