高中数学椭圆知识题型总结.doc

陈氏优学
教学课题
椭圆

知识点一：椭圆的定义
　　平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.
　　注意：若，则动点的轨迹为线段；
　　　　　若，则动点的轨迹无图形.
讲练结合一.椭圆的定义
1．若的两个顶点，的周长为，则顶点的轨迹方程是
知识点二：椭圆的标准方程
　　1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
　　2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；

注意：
　　1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；
　　2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
　　3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数
1．椭圆的焦距为，则= 。
2．椭圆的一个焦点是，那么 。

知识点三：椭圆的简单几何性质
　　椭圆的的简单几何性质

（1）对称性
　　对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。

（2）范围
　　椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。

（3）顶点
　　①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
　　②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），
　　　A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
　　③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长
　　　和短半轴长。

（4）离心率
　　①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
　　②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因
　　　此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
　　　a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。

　　椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：

　　（1），，；
　　（2），，；
　　（3）,，；
知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系
标准方程

图形

性质
焦点
，
，
焦距

范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率

准线方程

焦半径
，
，
注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

题型一 椭圆焦点三角形面积公式的应用
定理 y
F1 O F2 x

P
P
在椭圆（＞＞0）中，焦点分别为、，点P是椭圆上任意一点，，则.
证明：记，由椭圆的第一定义得

在△中，由余弦定理得：
配方得：
即

由任意三角形的面积公式得：
.

典题妙解
例1 若P是椭圆上的一点，、是其焦点，且，求
△的面积.
解法一：在椭圆中，而记
点P在椭圆上，
由椭圆的第一定义得：
在△中，由余弦定理得：
配方，得：
从而

解法二：在椭圆中，，而

解法一复杂繁冗，运算量大，解法二简捷明了，两个解法的优劣立现！
例2 已知P是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则△的面积为（ ）
A. B. C. D.
解：设，则，

故选答案A.
练习
6．已知椭圆的中心在原点，、为左右焦点，P为椭圆上一点，且，△ 的面积是，准线方程为，求椭圆的标准方程.

参考答案
6．解：设，.
，.
又，即.
或.
当时，，这时椭圆的标准方程为；
当时，，这时椭圆的标准方程为；
但是，此时点P为椭圆短轴的端点时，为最大，，不合题意.
故所求的椭圆的标准方程为.
题型二 中点弦问题 点差法

中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆中，以为中点的弦所在直线方程？
例3.
弦所在的直线方程。
分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。
解：法一

法二

点差法
1.过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.

命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目.
知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题.
错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键.
技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式.解法二，用韦达定理.
解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.
则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12－x22)+2(y12－y22)=0,
设AB中点为(x0,y0),则kAB=－,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是－=
－1,kAB=－1,设l的方程为y=－x+1.
右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x′,y′),

由点(1,1－b)在椭圆上，得1+2(1－b)2=2b2,b2=.
∴所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=－x+1.
解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.
设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x－1),
将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x2－4k2x+2k2－2b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x1－1)+k(x2－1)=k(x1+x2)－2k=－.
直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=－1.
若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=－1，直线l的方程为y=－(x－1),即y=－x+1,以下同解法一.

题型三 弦长公式与焦半径公式
1、 一般弦长公式
弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点A、B，且分别为A、B的横坐标，则＝，（若分别为A、B的纵坐标，则＝），若弦AB所在直线方程设为，则＝。

2、焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。

1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数

椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
注意：

②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。

2. 焦半径及焦半径公式：
椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。

已知点P在椭圆上，为椭圆的两个焦点，求的取值范围
6. 解：设P，椭圆的准线方程为，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点
则

∵，
∴当时，
当
因此，的取值范围是

例2.
时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题）
分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。
解：法一

法二

题型四 参数方程

3. 椭圆参数方程
问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

解：
参数。

说明：<1> 对上述方程（1）消参即

<2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。

直线与椭圆位置关系：

②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切）
例4.
的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？
解：法一

法二

1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是 。
2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？

3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为 。

变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，
求的面积．

五．离心率的有关问题
1.椭圆的离心率为，则
2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为
3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为

4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。

5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ．

讲练结合六.最值问题
1.椭圆两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的最大值为_____，最小值为_____

2、椭圆两焦点为F1、F2，A(3，1)点P在椭圆上，则|PF1|+|PA|的最大值为_____，最小值为 ___

3、已知椭圆，A(1，0)，P为椭圆上任意一点，求|PA|的最大值 最小值 。

4.设F是椭圆＋=1的右焦点,定点A(2,3)在椭圆内,在椭圆上求一点P使|PA|+2|PF|最小,求P点坐标 最小值 .

知识点四：椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系
标准方程

图形

性质
焦点
，
，
焦距

范围
，
，
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
，
，
轴
长轴长=，短轴长=
离心率

准线方程

焦半径
，
，
注意：椭圆，（a＞b＞0）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。

1．如何确定椭圆的标准方程？
　　任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。
　　确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。

2．椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义
　　椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a＞b＞0，a＞c＞0，且a2=b2+c2。
　　可借助下图帮助记忆：

　　a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。

3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置
　　椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

4．方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示椭圆的条件
　　方程Ax2+By2=C可化为，即，
　　所以只有A、B、C同号，且A≠B时，方程表示椭圆。
　　当时，椭圆的焦点在x轴上；
　　当时，椭圆的焦点在y轴上。

5．求椭圆标准方程的常用方法：
　　①待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方
　　　程中的参数、、的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
　　②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。

6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异
　　共焦点，则c相同。
　　与椭圆（a＞b＞0）共焦点的椭圆方程可设为（k＞－b2）。此类问题常用待定系数法求解。

7．判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据：
　　①若把曲线方程中的x换成―x，方程不变，则曲线关于y轴对称；
　　②若把曲线方程中的y换成―y，方程不变，则曲线关于x轴对称；
　　③若把曲线方程中的x、y同时换成―x、―y，方程不变，则曲线关于原点对称。

8．如何解决与焦点三角形△PF1F2（P为椭圆上的点）有关的计算问题？
　　与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的关系.

9．如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？
　　长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为c2=a2－b2，a＞c＞0，用a、b表示为，当越小时，椭圆越扁，e越大；当越大，椭圆趋近圆，e越小，并且0＜e＜1。

课后作业
1已知F1(-8，0)F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为( )
A 圆 B 椭圆 C线段 D 直线
2、椭圆左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则CDF1的周长为______
3已知方程表示椭圆，则k的取值范围是( )
A -10 C k≥0 D k>1或k<-1
4、求满足以下条件的椭圆的标准方程
(1)长轴长为10，短轴长为6
(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)
(3) 经过点(5，1)，(3，2)

5、若⊿ABC顶点B、C坐标分别为(-4，0)，(4，0)，AC、AB边上的中线长之和为30，则⊿ABC的重心G的轨迹方程为______________________
6.椭圆的左右焦点分别是F1、F2，过点F1作x轴的垂线交椭圆于P点。
若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为_________
7、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的的离心率为_______
椭圆方程为 ___________________.
8已知椭圆的方程为，P点是椭圆上的点且,求的面积
9.若椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足△ABF1为等边三角形的椭圆的离心率为
10.椭圆上的点P到它的左焦点的距离是12，那么点P到它的右焦点的距离是
11．已知椭圆的两个焦点为、，且，弦AB过点，则△的周长

12.在椭圆+=1上求一点P,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍

13、中心在原点、长轴是短轴的两倍,一条准线方程为,那么这个椭圆的方程为 。
14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离,则椭圆的离心率=___________.
15、椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,准线方程为,椭圆上一点到两焦点的距离分别为10和14,则椭圆方程为 ___________________.
16.已知P是椭圆上的点,若P到椭圆右准线的距离为8.5,则P到左焦点的距离为_________.
17．椭圆内有两点，，P为椭圆上一点，若使最小，则最小值为

18、椭圆＋=1与椭圆＋=l(l>0)有
(A)相等的焦距 (B)相同的离心率 (C)相同的准线 (D)以上都不对
19、椭圆与（0