上海高中数学复数讲义.doc

复数
一、知识点梳理：
1、i的周期性：
i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1

2、复数的代数形式：，叫实部，叫虚部，实部和虚部都是实数。叫做复数集。NZQRC.
3、复数相等：；
4、复数的分类：
虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是也没有大小。
5、复数的模：若向量表示复数z，则称的模r为复数z的模， ；
积或商的模可利用模的性质（1），（2）
6、复数的几何意义：
复数复平面内的点
，
7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
8、复数代数形式的加减运算
复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
复数的加法运算满足交换律和结合律
数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di；= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i
复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.
9. 特别地， zB－zA.，为两点间的距离。
z对应的点的轨迹是线段的垂直平分线；， z对应的点的轨迹是一个圆；， z对应的点的轨迹是一个椭圆；， z对应的点的轨迹是双曲线。
10、显然有公式：
11、复数的乘除法运算：
复数的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。
实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn, (z1z2)n=z1nz2n.
复数的除法：(a+bi)(c+di)== ，分母实数化是常规方法
12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；
，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。
，
13、熟记常用算式：，，，，
14、复数的代数式运算技巧：
（1）① ② ③ ④
（2）“1”的立方根的性质：
① ② ③ ④ ⑤
15、实系数一元二次方程的根问题：
（1）当时，方程有两个实根 。
（2）当时，方程有两个共轭虚根，其中 。
此时有 且。
注意两种题型：
虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。
已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
（1）当时，

(2)当时，

已知是实系数一元二次方程的两个根，求的方法：
（1）当时，
①即，则
②即，则
（2）当时，

二、典例分析：
例1．（1）复数等于( )
A.1－i B.1+i C.－1+ i D.－1－i
解析: 复数=，选C．
（2）若复数同时满足－＝2，＝（为虚数单位），则＝ ．
解：已知；
（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是
A.ad－bc=0 B.ac－bd=0 C. ac+bd=0 D.ad+bc=0
解析：（1）复数=为实数，∴，选D；
（4）已知（ ）
(A)1+2i (B) 1－2i (C)2+i (D)2－i
解析：，由、是实数，得，
∴，故选择C。
（5）设为实数，且，则 。
解析：，
而 所以，解得x＝－1，y＝5，
所以x＋y＝4。
点评：本题考查复数的运算及性质，基础题。
例2：（1）计算：
答案：
（2）设复数z满足关系，求z；
解：设z=a+bi（a,b为实数），由已知可得
由复数相等可得：，解得，所以
设z=a+bi-x+yi（a,b为实数）复数问题实数化。
（3）若，解方程
解：设x=a+bi (a,b∈R)代入条件得:,由复数相等的定义可得： ,∴a=－4，b=3，∴x=－4+3i。
例3：(1)复数z满足，则z对应的点在复平面内表示的图形为（A）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
解：令z=x+yi（x，y∈R），则x2+(y+1)2－[x2+(y－1)2]=1，∴y=1/4。故选A。
（2）设复数z满足：，求|z|的最大值与最小值；
解：|z|的最大值为，最小值为；
（3）已知z∈C，|z－2|=1且复数z－2对应的点落在直线y=x上，求z。
解：设z－2=a+ai，∵|z－2|=1，∴，
∴或。
【思维点拨】从整体出发利用条件，可简化运算，本题也可设z=a+bi再利用条件，但运算复杂。
(4)设，则复数，在复平面内对应的图形面积为_______。
解：∵|u|=||•|1+i|=|z|，∴≤|u|≤2，故面积S=。
【思维点拨】复数问题实数化是处理复数问题的常用方法。

例4：已知z=1+i，a，b为实数，
(1)若ω=z2+3－4,求|ω|;
(2)若，求a，b的值。
解：（1）ω=(1+i)2+3(1－i)－4=―1―i，∴。
（2）由条件，∴，∴。
【思维点拨】利用复数的充要条件解题。

例5：设且是纯虚数，求的最大值。
－1
P
O
1/2
x
y
解：令z=x+yi（x，y∈R），则，∵是纯虚数，
∴，即，由数形结合可知本题是求圆上的点到A(0,－1)的最大距离。∴max=|PA|=。
练习：
1．
2．.若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则=（ D ）
A．0 B．2 C． D．5
3.设复数ω＝－＋i，则1＋ω＝（ ） C
（A）–ω　　（B）ω2　（C） 　（D）
4.复数的共轭复数是（B ）
A． B． C． D．
5.若复数满足方程，则 （ ） D
A. B. C. D.
6. 设、、、，若为实数，则 ( C )
(A) (B) (C) (D)
7.如果复数是实数，则实数（ ） B
A． B． C． D．
8. （ ） A
A． B．－ C． D．－
9.满足条件的复数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）C
A. 一条直线 B. 两条直线 C. 圆 D. 椭圆
10.若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 ．
11.已知 C
A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2- i
12、复数的虚部为
（A）3 （B）－3 （C）2 （D）－2
解析:复数=,所以它的虚部为－2，选D.
13、在复平面内，复数对应的点位于
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
解：故选D；
点评：复数的概念和性质是高考对复数部分的一个考点，属于比较基本的题目，主要考察复数的的分类和几何性质。
14、求满足条件:(i为虚数单位)的复数z
[解]原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
15、已知，对于任意的x∈R均有|z1|＞|z2|成立,试求实数a的取值范围。
解：∵|z1|＞|z2|，∴，∴，对成立。
当，即时，不等式成立；
当时。综上得。
【思维点拨】通过转化将复数问题变为实数问题是常用手段。