北京初二数学知识点与常见题型总结.doc

知识点复习与基本题型总结
1．平行四边形的定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
这个定义包含两层意义：①四边形；②两组对边分别平行
2．对角线的定义
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线
3．平行四边形的性质
①从边看：平行四边形的对边平行且相等
②从角看：平行四边形的对角相等，邻角互补
③从对角线看：平行四边形的对角线互相平分，互相平分是指两条线段有公共的中点
4．平行四边形的面积
平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
5.平行四边形的判别方法
①两组对边分别平行的四边形是平行四边形
②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
③两组对边分别相等的四边形是平行四边形
④对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形
6.平行四边形的性质与判定的区别
平行四边形的性质是指平行四边形的边,角,对角线等所具有的大小或位置之间的关系,而平行四边形的判定是指四边形具有什么条件就是平行四边形

7.矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
8.矩形的性质
①具有平行四边形的一切性质
②矩形的四个角都是直角
③矩形的对角线相等
④矩形是轴对称图形,它有两条对称轴
9.矩形的判定
①有一个内角是直角的平行四边形是矩形
②对角线相等的平行四边形是矩形
③有三个角是直角的四边形是矩形
另外还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形

10.直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
11.矩形对角线产生的三角形的特点
矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形,两条对角线把矩形分成四个小的全等的等腰三角形
12.有关矩形面积的计算
①面积公式:矩形面积=长宽
②如图.矩形的两条对角线相交于,则

13.菱形的定义
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
14.菱形的性质
①具有平行四边形的一切性质
②菱形的四条边都相等
③菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
④菱形是轴对称图形,每条对角线所在的直线都是它的对称轴
15.菱形的判定方法
①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形
③四条边都相等四边形是菱形
16.有关菱形的面积计算
由于菱形的对角线互相垂直平分,

也可以用平行四边形的面积计算公式=底高

17.正方形的定义
一组邻边相等的矩形叫做正方形
正方形不仅是特殊的平行四边形,而且是特殊的矩形,又是特殊的菱形
18.正方形的性质
正方形具有平行四边形,矩形,菱形的一切性质
①边:四边相等,对边平行
②角:四个角都是直角
③对角线:互相平分;相等;且垂直;每一条对角线平分一组对角,即正方形的对角线与边的夹角为
④正方形是轴对称图形,有四条对称轴
19.正方形的判定
①菱形+矩形的一条特征
②菱形+矩形的一条特征
③平行四边形+一个直角+一组邻边相等
说明一个四边形是正方形的一般思路是:先判断它是矩形,在判断这个矩形也是菱形;或先判断它是菱形,再判断这个菱形也是矩形
20.正方形对角线产生的三角形特点
正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形
21.正方形常用的辅助线添加方法
①正方形中常连对角线,把四边形的问题转化为三角形的问题
②有垂直时做垂线构造正方形
③有正方形一边中点时常取另一边中点构造图形来应用
④利用旋转法将与正方形有关的题目的分散元素集中起来,从而为解决问题创造条件

22.平行四边形,菱形,矩形,和正方形四者之间的关系

23.梯形定义:一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形
梯形的底:梯形中平行的两边叫做梯形的底,通常把较短的底叫做上底,较长的底叫做下底
梯形的腰:梯形中不平行的两边叫做梯形的腰
梯形的高:梯形两底之间的距离叫做梯形的高
等腰梯形:两腰相等的梯形
直角梯形:一腰垂直于底的梯形
24.梯形的判定
①判定四边形一组对边平行,另一组对边不平行
②一组对边平行但不相等的四边形是梯形

25.等腰梯形的性质
①两底平行,两腰相等
②等腰梯形在同一底上的两个角相等
③等腰梯形的两条对角线相等
④等腰梯形是轴对称图形,只有一条对称轴,一底的垂直平分线是它的对称轴
26.等腰梯形的判定
①两腰相等的梯形是等腰梯形
②在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
(以前出现,但是在新课标中没有出现的判定方法:对角线相等的梯形是等腰梯形)
27.梯形的面积
面积=（上底+下底）×高÷2

．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
梯形中位线：连接梯形两腰中点的线段，叫做梯形的中位线．梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半
梯形辅助线的添法

（图一） （图二） （图三）

（图四） （图五） （图六）

（图七） （图八）
基础题型
1．如图在平行四边形中，，求这个平行四边形各内角的度数

解：四边形是平行四边形
，
由于
故设，则
即
解得　因此，
　　平行四边形各内角度数分别是，，，
２．已知平行四边形的周长为，，相交于，且的周长比的周长小于，如图，求平行四边形各边的长
解：四边形为平行四边形
　　，，
的周长＝
　的周长＝
且的周长比的周长小于

　又平行四边形的周长为

，
，
３．如图，已知：在平行四边形中，是对角线，于，于
　　求证：

证明：方法一：四边形是平行四边形
　　　　　，

　　　　　，

方法二：连接，交于
四边形是平行四边形
，又，
，而
（）
４．如图所示，在平行四边形中，，分别是，延长线上的点，且，则与具有怎么样的位置关系？试说明理由

解：
证明：方法一：在平行四边形中，，，

，

又　
方法二．连接，交于
在平行四边形中，，

　（）

方法三．连接，交于，连接，
由方法二知．，
四边形为平行四边形

５．如图，已知是平行四边形对角线的交点，，，，那么的周长为＿＿＿＿＿

解：根据平行四边形对角线互相平分以及对边相等的性质可知
，，
的周长为
６．如图平行四边形中，，，与交于，则该图形中的平行四边形的个数共有（　　　）
Ａ．　　　Ｂ．　　　　　Ｃ．　　　　Ｄ．

由题意可知图中的平行四边形分别是：，，，，，，，，所以共有个
７.如图，平行四边形中，平分交于，交的延长线于，，交于，交延长线于，垂足为，试证明：

证明：四边形为平行四边形
　　　，，
　　　，，
　　　，
　　　平分，
　　　　（）
　　　，，
　　　，

８．如图，已知：，，分别在的各边上，，，延长到，使．求证：与互相平分．

证明：连接，
　　　，
　　　四边形是平行四边形
　　　，
又

　，而
　四边形为平行四边形
　与互相平分
９．如图，已知是的边的中点，是上的一点，试说明：与互相平分

证明：连接，
，
四边形为平行四边形，
是中点

，　四边形为平行四边形
与互相平分

．如图，点，分别在平行四边形的边，上，且，，，垂足分别为，，求证：与互相平分

证明：连接，
四边形是平行四边形
，
，

四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
与互相平分
．如图，与互相平分，交点为，与互相平分，交点为，那么，四边形是平行四边形么？你是怎么判定的？

解：四边形是平行四边形
证明：连接，，，，
与互相平分
四边形是平行四边形
，
与互相平分
四边形是平行四边形
，
，
四边形是平行四边形

.如图，已知,是的高，是的中点．求证：

证明：，是的高，
　　　，均为直角三角形
　　　是的中点
　　　是斜边上的中线，是斜边上的中线
　　　，

.如图，先将矩形纸片对折一次折痕为，展开后又将纸片折叠使点落在上，此时折痕为，求度数的大小

提示：根据题意得
过点作，垂足为
则，（直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，反过来也成立）
.过矩形对角线的中点作分别交，于,，点为的中点，若，求证：

证明：连接
四边形是矩形

是线段的垂直平分线

　，　
是中点

.在矩形，,，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，在展开，求折痕的长

解：,　由勾股定理可得
根据题意有，设，
由勾股定理，即　解得

，
　（提示：对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半）
．已知：如图，是矩形对角线的交点，平分，，求的度数
答案：提示为等腰直角三角形，为等边三角形，为等腰三角形 ，，
.如图，为过的直角顶点的直线，且于，于点，，为的中点，求证：

证明：连接
为直角三角形，为斜边的中点

，
，
，又
（）

，，为的中点

，即
又，　（）
总结：在直角三角形中，出现中点时，常见的辅助线是斜边上的中线以及中位线
．如图是菱形边的中点，于，交的延长线于，交于，求证：与互相平分

证明：四边形是菱形
　　　　，　（）

　（）
，　　即与互相平分
方法二：连接，
由，得，则
且四边形为平行四边形　与互相平分
．如图，在中，，是的平分线，交于点，是边上的高，交于，于．求证：四边形是菱形

证明：是的平分线

　　　，
　　　，

　　　是的平分线，，

　　　，

　　　四边形是平行四边形
　　　　平行四边形是菱形
．菱形中，，如果它的一条对角线长为，求菱形的边长
　解：

若对角线，
如图四边形为菱形，且则为等边三角形
菱形的边长为
若对角线，
如图四边形为菱形，且则为等边三角形
又　设，，
由勾股定理可得，解得，

综上所述：菱形的边长为或

．如图，四边形是正方形，是的中点，是上的一点，且
求证：

证明：连接，设，则
　　　四边形是正方形　，
　　　为中点　
　　　在中，
　在中，
　在中，
　　　则，是直角三角形

（到初三的时候此题还有额外的证明方法）
．如图，过正方形对角线上一点，作于，作于，连接，．求证：，

证明：连接，延长交于点
四边形是正方形
，
　（）
，
，，
四边形为矩形（有三个角为直角的四边形为矩形）

，
（）

，　　

．如图正方形中，是的中点，，平分，交于
求证：

证明：取线段的中点，连接
　　　四边形为正方形
　　　，
　　　为中点，为中点

　　　平分　

　　　在与中

思考：若点是线段上一个动点，其他条件不变，则上面的结论还成立么？

请参考上面的解题思路，本题还有额外的证明方法，但是需要初三学习的知识，现在就不列举了
．如图，在梯形中，，，，分别是，的中点，且，求证：梯形为等腰梯形

证明：过分别作，的平行线交于，，易知四边形和四边形　都是平行四边形
　　　，，，
，分别是，的中点
，

　　是线段的垂直平分线

故梯形是等腰梯形
．已知等腰梯形中，，，，，求它的腰长

解：方法一：过点作，交于点
　　　　四边形为平行四边形
，
　　　四边形为等边三角形
　，　

方法二

过点作，垂足为，过点作，垂足为
四边形为等腰梯形
，

（）

四边形为矩形　　
，

．如图，在中，，平分，，点是的中点
求证：①　②

证明：①延长交于点
　　　，
　　　平分　

（）（又是高，又是角平分线，很容易联想到“三线合一”）
，
点是的中点
是三角形的中位线
，
②

．如图，在梯形中，，，是中点
　　求证：

证明：取中点，连接
　由梯形中位线性质可知
且

基础知识达标
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1、在□ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可以是（　　）
A．1：2：3：4　 　B．1：2：2：1　　 C．2：2：1：1　　 D．2：1：2：1
2、菱形和矩形一定都具有的性质是（　　）
A．对角线相等　　　　 B．对角线互相垂直　　
C．对角线互相平分　　 D．对角线互相平分且相等
3、下列命题中的假命题是（　　）
A．等腰梯形在同一底边上的两个底角相等 B．对角线相等的四边形是等腰梯形
C．等腰梯形是轴对称图形 D．等腰梯形的对角线相等
4、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，能判定它是正方形的是（　　）
A．AO＝OC，OB＝OD　　　　　　 B．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD
C．AO＝OC，OB＝OD，AC⊥BD　　 D．AO＝OC＝OB＝OD
5、给出下列四个命题
⑴一组对边平行的四边形是平行四边形
⑵一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形
⑶两条对角线互相垂直的矩形是正方形　
⑷顺次连接等腰梯形四边中点所得四边形是等腰梯形。
其中正确命题的个数为（　　）
A．1个　　 B．2个　　 C．3个　 　D．4个
6、下列矩形中按虚线剪开后，能拼成平行四边形，又能拼成直角三角形的是（　　）
中
点
中
点
中
点

　　　　A　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
7. 顺次连结四边形各边的中点，所成的四边形必定是
A．等腰梯形 B．直角梯形 C．矩形 D．平行四边形
8、如图：等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，
那么图中的全等三角形共有
A ．1对 B． 2对 C． 3对 D ．4对
9下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形
10. 等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8，则该等腰梯形的面积为
A ．16 B ．32 C ．64 D ．512
二、耐心填一填（每小题３分，共30分）
11、对角线＿＿＿＿＿平行四边形是矩形。
12、如图⑴已知O是□ABCD的对角线交点，AC＝24，BD＝38，AD＝14，那么△OBC的周长等于＿＿＿＿＿。
A
D
B
C
F
E
⑷
A
B
D
C
O
⑴
A
B
D
C
E
⑶
A
B
D
C
O
⑵

13、在平行四边形ABCD中，∠C＝∠B+∠D,则∠A＝＿＿＿，∠D＝＿＿＿。
14、一个平行四边形的周长为70cm，两边的差是10cm，则平行四边形各边长为＿＿＿＿cm。
15、已知菱形的一条对角线长为12cm，面积为30cm2，则这个菱形的另一条对角线长为__________cm。
6、菱形ABCD中，∠A＝60o，对角线BD长为7cm，则此菱形周长＿＿＿＿＿cm。
17、如果一个正方形的对角线长为，那么它的面积＿＿＿＿＿＿。
18、如图2矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿。
19、如图3,等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB∥DE，BC＝8，AB＝6，AD＝5则△CDE周长＿＿＿。
20、要从一张长为40cm，宽为20cm的矩形纸片中，剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片，最多能剪出＿＿＿＿＿＿张。
三、用心想一想（共40分）
21、（8分）如图：在□ABCD中，∠BAD的平分线AE交DC于E，若∠DAE＝25o，
D
A
C
B
E
求∠C、∠B的度数。

A
D
B
C
23、（8分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠D＝120o,对角线CA平分∠BCD，且梯形的周长20，求AC。

A
B
D
C
F
E
60o
21、（8分）如图：在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC的延长线上一点，CE＝CF，
⑴△BCE与△DCF全等吗？说明理由；
⑵若∠BEC＝60o，求∠EFD。

24、证明题：（8分）
A
B
D
C
F
E
如图，△ABC中∠ACB＝90o，点D、E分别是AC，AB的中点，点F在BC的延长线上，且∠CDF＝∠A，求证：四边形DECF是平行四边形。

A
B
D
C
F
E
25、（8分）已知：如图所示，△ABC中，E、F、D分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥AC，DF∥AB，要使四边形AEDF是菱形，在不改变图形的前提下，你需添加的一个条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿试证明：这个多边形是菱形。

参考答案
1．D；2．C　3．B　4．B　5．B　6．B 7． D 8 ．C 9．D 10．C　　
11．相等　12．45　13．∠A＝120o，∠D＝60o　14．22.5，12.5　15．5　
16．28　17．1　18．16　19．15　20 ．3　
21．解：∠BAD＝2∠DAE＝2×25o＝50o　又∵□ABCD　　∴∠C＝∠BAD＝50o　
∴AD∥BC　∴∠B＝180o－∠BAD＝180o－50o＝130o　　
22．解：∵AD∥BC　∴∠1＝∠2　
A
D
B
C
1
2
3
又∠2＝∠3∴∠1＝∠3　　AD＝DC　　
又AB＝DC　得AB＝AD＝DC＝　
在△ADC中　∵∠D＝120o　∠1＝∠3＝
又∠BCD＝2∠3＝60o
∴∠B=∠BCD=60o ∠BAD＝180o－∠B－∠2＝90o　∠2＝30o
则BC＝2AB＝2x 　AB＝4　BC＝8
在Rt△ABC中AC＝　
23．⑴△BCE≌△DCF　　理由：因为四边形ABCD是正方形
∴BC＝CD，∠BCD＝90o　∴∠BCE＝∠DCF　
又CE＝CF　∴△BCE≌△DCF　　
⑵∵CE＝CF∴∠CEF＝∠CFE　∵∠FCE＝90o∴∠CFE＝
又∵△BCE≌△DCF　∴∠CFD＝∠BEC＝60o　
∴∠EFD＝∠CFD－∠CFE＝60o－45o＝15o　
24．证明：∵D、E分别是AC、AB的中点　　∴DE∥BC　　
∵∠ACB＝90o ∴CE=AB＝AE　
∵∠A＝∠ECA　∴∠CDF＝∠A　∴∠CDF＝∠ECA ∴DF∥CE
∴四边形DECF是平行四边形　　
25．答条件AE＝AF（或AD平分角BAC，等）证明：
∵DE∥AC　DF∥AB　∴四边形AEDF是平行四边形　又AE＝AF　∴四边形AEDF是菱形。

【综合能力过关】
一、精心选一选（每小题3分，共30分）
1、菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）
A.对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补
2、关于四边形ABCD ①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③有一组对边平行且相等；④对角线AC和BD相等；以上四个条件中可以判定四边形ABCD是平行四边形的有（ ）。
　 A．1个　　 B．2个　 　C．3个　　 D．4个
3、能够判定一个四边形是菱形的条件是（ ）。
Ａ．对角线相等且互相平分 B．对角线互相垂直且互相平分
C．对角线相等且互相垂直 D．对角线互相垂直
4、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角
5、三角形的重心是三角形三条（ ）的交点
A．中线 B．高 C．角平分线　　　　 Ｄ．垂直平分线
6、若顺次连结四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形 　　　　　　　　　 B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形 　　　　　　　　　 D．对角线相等的四边形
7、下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．四个角相等的菱形是正方形 D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
8、如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，BD平分∠ABC．如果这个梯形的周长为30，则AB的长为（ ）．
A．4 B．5 C．6 D．7
9、下列说法中，不正确的是（ ）．
A．有三个角是直角的四边形是矩形　B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
10、如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且
∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为 （ ）
A．36o B．9o C．27o D．18o
二、耐心填一填（每小题3分，共30分）
11、平行四边形ABCD中，∠A=500，AB=30cm，则∠B=____，DC=____ cm。
12、平行四边形ABCD的周长为20cm，对角线AC、BD相交于点O，若△BOC的周长比△AOB的周长大2cm，则CD＝ cm。
13、若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2，则该菱形的面积为 cm2。
14、如图，△ABC中，EF是它的中位线，M、N分别是EB、CF的
中点，若BC=8cm，那么EF= cm，MN= cm；
15、若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为 cm2。
16、如右图，若梯形的两底长分别为4cm和9cm，两条对角线长分别为5cm和12cm，则该梯形的面积为 cm2。
17、在□ABCD 中，若添加一个条件________，则四边形ABCD是矩形；若添加一个条件_______，则四边形ABCD是菱形．
18、菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为_____ cm，面积为______ cm2．
19、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=6cm，BC=8cm，∠B=60°，则AB=_______cm．
20、梯形的上底长为2，下底长为5，一腰为4，则另一腰m的范围是 。
三、用心想一想（共40分）
21．（7分）.如图, 平行四边形 ABCD中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,.(1)试说明DF=BG;
(2)试求的度数.

22. （7分） 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
 求证：四边形EFGH是矩形．

23．（7分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M、N、P、Q分别为AD、BC、BD、AC的中点。求证：MN和PQ互相平分。

24. （7分）已知：梯形ABCD中，AB∥CD，E为DA的中点，且BC=DC+AB。
求证：BE⊥EC。

25. （12分）如图，梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为（14，0）、（14，3）、（4，3）。点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动，点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动。当这两点中有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动。
(1)设从出发起运动了x秒，且x﹥2.5时，Q点的坐标；
(2)当x等于多少时，四边形OPQC为平行四边形？
(3)四边形OPQC能否成为等腰梯形？说明理由。
P
O
y
C(4,3)
Q
B(14,3))
A(14,0)
x
(4)设四边形OPQC的面积为y,求出当 x﹥2.5时y与x的函数关系式；并求出y的最大值；

参考答案

1．B　2．C　3．B　4．B　5．A　6．B　7．C　8．C　9．B　10．D
11．130，30　 12．4　13．8 14．4，6 15．16 ； 16．30
17．略 18．5，24 19．2 20．1﹤m﹤7
21. ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=DC,又AF=CG,
∴AB－AF=DC－CG,即GD=BF,
又 DG∥BF,
∴四边形DFBG是平行四边形,
∴DF=BG;
(2) ∵四边形DFBG是平行四边形,
∴DF∥GB,
∴∠GBF=∠AFD
同理可得∠GBF=∠DGE
∴∠AFD=∠DGE=100°
22.∵□ABCD ∴∠DAB+∠ABC=180°,
∵AH,BH分别平分∠DAB与∠ABC ,
∴∠HAB+∠HBA=90°∴∠H=90°,
同理∠H=90° ∠HEF= ∠DEA=90°,
∴四边形EFGH是矩形
23. 连接MP、MQ、PN、PQ，由三角形中位线定理证明四边形MPNQ为平行四边形，
∴MN和PQ互相平分
24．延长CE交BA的延长线于F， 证明△DCE≌△AFE,
∴DC=AF, ∵BC=DC+AB ,BF=AF+AB, ∴BC=BF,
再证明△EBC≌△EBF，∴∠CEB=∠FEB=90°，得BE⊥EC
25．(1)．（2x-1,3）(2) 2x-1-4=x，x=5 (3) 不能，
（4） y= 当x=7.5时，y有最大值
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