北京市怀柔区20162017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析.doc

2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在空间，可以确定一个平面的条件是（　　）
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．三个点 D．一个三角形
2．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
3．若椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为（　　）
A．7 B．5 C．3 D．2
4．在空间，下列命题正确的是（　　）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
5．已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=（　　）
A．7 B．6 C．9 D．8
6．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条平行直线
7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（　　）

A．8 B．16 C．10 D．6
8．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为　　．
10．抛物线y2=2x的准线方程是　　．
11．已知，，则=　　．
12．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是　　．
13．大圆周长为4π的球的表面积为　　．
14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有　　斛（结果精确到个位）．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥PA；
（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．

16．已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．
（Ⅰ）求交点P的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程．
17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD的中点．
（Ⅰ）求AE与A1F所成角的大小；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．

18．已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．
19．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1． 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．

20．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．

2016-2017学年北京市怀柔区高二（上）期末数学试卷（理科）
参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．在空间，可以确定一个平面的条件是（　　）
A．两条直线 B．一点和一条直线
C．三个点 D．一个三角形
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】在A中，两条异面直线不能确定一个平面；在B中，若点在直线上，由不能确定一个平面；在C中，如果共点共线，不能确定一个平面；在D中，一个三角形确定一个平面．
【解答】解：在A中，两条相交线和两条平行线都能确定一个平面，
但两条异面直线不能确定一个平面，故A错误；
在B中，直线与直线外一点确定一个平面，
若点在直线上，由不能确定一个平面，故B错误；
在C中，不共线的三点确定一个平面，如果共点共线，不能确定一个平面，故C错误；
在D中，因为一个三角形的三个顶点不共线，所以一个三角形确定一个平面，故D正确．
故选：D．

2．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【分析】根据直线方程求出斜率，根据斜率得出对应的倾斜角．
【解答】解：直线y=x﹣1的斜率是1，
所以倾斜角为．
故选：B．

3．若椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为（　　）
A．7 B．5 C．3 D．2
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a的值，即可得2a=10，由椭圆的定义分析可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的方程为： +=1，
则有a==5，即2a=10，
椭圆上任一点到两个焦点距离之和为10，
若P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点的距离为10﹣3=7；
故选：A．

4．在空间，下列命题正确的是（　　）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
【解答】解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．

5．已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=（　　）
A．7 B．6 C．9 D．8
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程分析可得其焦点在x轴上，以及a、b的值，由双曲线的几何性质可得c的值，又由该双曲线的离心率为，结合双曲线的离心率公式可得=，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：双曲线的方程为：﹣=1，
则其焦点在x轴上，且a==4，b=，
则c==，
若其离心率为，则有e===，
解可得m=9；
故选：C．

6．已知A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足，则动点P的轨迹为（　　）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．两条平行直线
【考点】轨迹方程．
【分析】由题意知（﹣2﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2，即可得出动点P的轨迹．
【解答】解：∵动点P（x，y）满足 =x2，
∴（﹣2﹣x，y）•（2﹣x，y）=x2，
∴点P的方程为y2=4即y=±2
∴动点P的轨迹为两条平行的直线．
故选D．

7．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的侧面积为（　　）

A．8 B．16 C．10 D．6
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】根据三视图可得四棱锥为正四棱锥，判断底面边长与高的数据，求出四棱锥的斜高，代入棱锥的侧面积公式计算．
【解答】解：由三视图知：此四棱锥为正四棱锥，底面边长为4，高为2，
则四棱锥的斜高为=2，
∴四棱锥的侧面积为S==16．
故选B．

8．设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，
则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，
而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，
此时MN=1，
图中只有M′到M″之间的区域满足MN=1，
∴x0的取值范围是[﹣1，1]．
故选：A．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．
9．原点到直线4x+3y﹣1=0的距离为　　．
【考点】点到直线的距离公式．
【分析】直接由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得，原点到直线4x+3y﹣1=0的距离d==，
故答案为：．

10．抛物线y2=2x的准线方程是　　．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先根据抛物线方程求得p，进而根据抛物线的性质，求得答案．
【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，
∴准线方程是x=﹣
故答案为：﹣

11．已知，，则=　　．
【考点】空间向量的数量积运算．
【分析】根据所给的两个向量的坐标，写出两个向量的数量积的坐标表示形式，得到数量积，求出向量的模长，两个式子相加得到结果．
【解答】解：∵，
∴=﹣1+2，
||==2，
∴=1+2
故答案为：1+2

12．过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是　x﹣2y﹣1=0　．
【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程．
【分析】先求直线x﹣2y﹣2=0的斜率，利用点斜式求出直线方程．
【解答】解：直线x﹣2y﹣2=0的斜率是，所求直线的斜率是
所以所求直线方程：y=（x﹣1），即x﹣2y﹣1=0
故答案为：x﹣2y﹣1=0

13．大圆周长为4π的球的表面积为　16π　．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】根据球大圆周长，算出半径R=2，再由球的表面积公式即可算出本题答案．
【解答】解：设球的半径为R，则
∵球大圆周长为4π
∴2πR=4π，可得R=2
因此球的表面积为S=4πR2=16π
故答案为：16π

14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，则堆放的米约有　22　斛（结果精确到个位）．

【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数．
【解答】解：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，
则×2πr=8，
解得：r=
所以米堆的体积为V=××πr2×5≈35.56，
所以米堆的斛数是≈22，
故答案为22．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC=2，G，F分别是AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：CD⊥PA；
（Ⅱ）证明：GF⊥平面PBC．

【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】（I）以D为原点建立空间直角坐标系，利用•=0，证得PA⊥CD；
（Ⅱ）利用•=0， •=0，去证GF⊥平面PCB．
【解答】证明：（I）以D为原点建立空间直角坐标系则A（2，0，0）B（2，2，0）C（0，2，0）P（0，0，2）F（1，1，1）
=（2，0，﹣2），=（0，2，0），
∴•=0，∴⊥，
∴PA⊥CD；
（Ⅱ）设G（1，0，0）则=（0，﹣1，﹣1），=（2，0，0），=（0，2，﹣2）
∴•=0， •=0，
∴FG⊥CB，FG⊥PC，
∵CB∩PC=C，
∴GF⊥平面PCB．

16．已知直线经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，并且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．
（Ⅰ）求交点P的坐标；
（Ⅱ）求直线的方程．
【考点】待定系数法求直线方程．
【分析】（Ⅰ）联立方程，求交点P的坐标；
（Ⅱ）求出直线的斜率，即可求直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由得
所以P（﹣2，2）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）因为直线与直线x﹣2y﹣1=0垂直，
所以kl=﹣2，
所以直线的方程为2x+y+2=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

17．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别是BB1和CD的中点．
（Ⅰ）求AE与A1F所成角的大小；
（Ⅱ）求AE与平面ABCD所成角的正切值．

【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．
【分析】（Ⅰ）建立坐标系，利用向量方法求AE与A1F所成角的大小；
（Ⅱ）证明∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，即可求AE与平面ABCD所成角的正切值．
【解答】解：（Ⅰ）如图，建立坐标系A﹣xyz，则A（0，0，0），E（1，0，），A1（0，0，1），F（1，0）
=（1，0，），=（，1，﹣1）
∴=0，
所以AE与A1F所成角为90°﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（Ⅱ）∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，
∴BB1⊥平面ABCD
∴∠EAB就是AE与平面ABCD所成角，又E是BB1中点，
在直角三角形EBA中，tan∠EAB=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

18．已知直线l过点（2，1）和点（4，3）．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）若圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，求圆C的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（Ⅰ）由两点式，可得直线l的方程；
（Ⅱ）利用圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，确定圆心坐标与半径，即可求圆C的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由两点式，可得，即x﹣y﹣1=0；
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，且与y轴相切于（0，3）点，
∴圆心的纵坐标为3，
∴横坐标为﹣2，半径为2
∴圆C的方程为（x+2）2+（y﹣3）2=4．

19．如图，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC=∠BAD=90°．F为PA中点，PD=，AB=AD=CD=1． 四边形PDCE为矩形，线段PC交DE于点N．
（Ⅰ）求证：AC∥平面DEF；
（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣P的大小；
（Ⅲ）在线段EF上是否存在一点Q，使得BQ与平面BCP所成角的大小为？若存在，求出Q点所在的位置；若不存在，请说明理由．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【分析】（Ⅰ）连接FN，推导出FN∥AC，由此能证明AC∥平面DEF．
（Ⅱ）以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣BC﹣P的大小．
（Ⅲ） 设存在点Q满足条件，且Q点与E点重合．由直线BQ与平面BCP所成角的大小为，利用向量法能求出Q点与E点重合．
【解答】（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）连接FN，在△PAC中，F，N分别为PA，PC的中点，所以FN∥AC，
因为FN⊂平面DEF，AC⊄平面DEF，AC⊄平面DEF，
所以AC∥平面DEF．
解：（Ⅱ）如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，
则P（0，0，），B（1，1，0），C（0，2，0），
∴， =（﹣1，1，0），
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，
取x=1，得=（1，1，），
因为平面ABC的法向量=（0，0，1），
所以cos＜＞==，
由图可知二面角A﹣BC﹣P为锐二面角，
所以二面角A﹣BC﹣P的大小为．
（Ⅲ） 设存在点Q满足条件，且Q点与E点重合．
由F（），E（0，2，），设=（0≤λ≤1），
整理得Q（，2λ，），=（﹣，2λ﹣1，），
因为直线BQ与平面BCP所成角的大小为，
所以sin=|cos＜＞|=||==，
则λ2=1，由0≤λ≤1，知λ=1，即Q点与E点重合．

20．已知圆O：x2+y2=1的切线l与椭圆C：x2+3y2=4相交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）求证：OA⊥OB；
（Ⅲ）求△OAB面积的最大值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（Ⅰ）由题意可得椭圆的a，b，c，由离心率公式可得所求值；
（Ⅱ）讨论切线的斜率不存在和存在，设出直线方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，即可得证；
（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．讨论当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．当l的斜率存在时，运用弦长公式和点到直线的距离公式，运用基本不等式可得面积的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a2=4，，即有．
则．故椭圆C的离心率为；
（Ⅱ）证明：若切线l的斜率不存在，则l：x=±1．
在中，令x=1得y=±1．
不妨设A（1，1），B（1，﹣1），则．可得OA⊥OB；
同理，当l：x=﹣1时，也有OA⊥OB．
若切线l的斜率存在，设l：y=kx+m，依题意，即k2+1=m2．
由，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣4=0．显然△＞0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．
所以．
所以=
=
=
==．
所以OA⊥OB．
综上所述，总有OA⊥OB成立．
（Ⅲ）因为直线AB与圆O相切，则圆O半径即为△OAB的高．
当l的斜率不存在时，由（Ⅱ）可知|AB|=2．则S△OAB=1．
当l的斜率存在时，由（Ⅱ）可知，
==
=
=．
所以
=，
（当且仅当时，等号成立）．
所以．此时，．
综上所述，当且仅当时，△OAB面积的最大值为．

2017年4月9日