高三数学第一轮复习单元测试数列.doc

高三数学第一轮复习单元测试（2）— 《数列》
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，且，
则= （ ）
A．4 B．2 C．－2 D．－4
2．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．在等差数列中，已知则等于 （ ）
A．40　　　　　　 B．42　　　　　　 C．43　　　　　 D．45
4．在等差数列｛an｝中，若aa+ab=12，SN是数列｛an｝的前n项和，则SN的值为 （ ）
A．48 　 B．54 　 C．60 　 D．66
5．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝ （ ）
A． B． C． D．
6．设是公差为正数的等差数列，若，，则
（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝ （ ）
A．100 B．101 C．200 D．201
8．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于
（ ）
A． B． C． D．
9．设，则等于 （ ）
A． 　 B． 　 C． D．
10．弹子跳棋共有60棵大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体球垛，使剩下的弹子尽可能的少，那么剩下的弹子有 （ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
11．设数列的前n项和为，令，称为数列，，……，的“理想数”，已知数列，，……，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为 （ ）
A．2002 B．2004 C．2006 D．2008
12．已知数列对任意的满足，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
13．数列｛an｝中，若a1=1，an+1=2an+3 （n≥1），则该数列的通项an= .
14． .
15．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某
商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正
三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，
就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第
一层）分别按右图所示方式固定摆放.从第一
层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，
第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则
； （答案用n表示）.
16．已知整数对排列如下，
则第60个整数对是_______________.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
数列{an}的前n项和记为Sn，
（1）求{an}的通项公式;
（2）等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且，又成等比数列，求Tn

18．（本小题满分12分）
设数列、、满足：，（n=1，2，3，…），
证明：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）

19．（本小题满分12分）
已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

20．（本小题满分12分）
某市去年11份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.

21．（本小题满分12分）
等差数列中公差是自然数，等比数列中，．
（Ⅰ）试找出一个的值，使的所有项都是中的项；再找出一个的值，使 的项不都是中的项（不必证明）；
（Ⅱ）判断时，是否所有的项都是中的项， 并证明你的结论；
（Ⅲ）探索当且仅当取怎样的自然数时，的所有项都是中的项，并说明理由．

22．（本小题满分14分）
已知数列{}中，（n≥2，），
（1）若，数列满足（），求证数列{}是等差数列；
（2）若，求数列{}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）（理做文不做）若，试证明：．

参考答案（2）

1．D．依题意有
2．C．　，故选C．
3．B． ∵等差数列中， ∴公差．
∴＝＝42．
4．B．　因为，所以=54，故选B．
5．A．　由等差数列的求和公式可得且
所以，故选A．
6．B．，，
将代入，得，从而.选B．
7．A．　依题意，a1＋a200＝1，故选A．
8．C．因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则

即，所以，故选择答案C．
9．D．　f（n）=，选D．
10．B．　正四面体的特征和题设构造过程，第k层为k个连续自然数的和，化简通项再裂项用公式求和.依题设第k层正四面体为则前k层共有，k最大为6，剩4，选B．
11．A．认识信息，理解理想数的意义有，
，选A．
12．C．由已知＝+＝ -12，＝+＝－24,=+= -30，选C．
13．由，即=2，所以数列｛＋3｝是以（+3）为首项，以2为公比的等比数列，故＋3=（+3），=－3.
14．由，整体求和所求值为5．
15．
的规律由，所以

所以

16．观察整数对的特点，整数对和为2的1个，和为3的2个，和为4的3个，和为5的4个，和n为的
n－1个，于是，借助估算，取n=10，则第55个整数对为，注意横
坐标递增，纵坐标递减的特点，第60个整数对为
17．（1）由可得，两式相减得
又 ∴ 故{an}是首项为1，公比为3得等比数列 ∴.
（2）设{bn}的公差为d，由得，可得，可得，
故可设
又由题意可得解得
∵等差数列{bn}的各项为正，∴，∴ ∴
18．必要性：设数列是公差为的等差数列，则：
==－=0，
∴（n=1，2，3，…）成立；
又=6（常数）（n=1，2，3，…）
∴数列为等差数列.
充分性：设数列是公差为的等差数列，且（n=1，2，3，…），
∵……① ∴……②
①－②得：=
∵
∴……③ 从而有……④
④－③得：……⑤
∵，，，
∴由⑤得：（n=1，2，3，…），
由此，不妨设（n=1，2，3，…），则（常数）
故……⑥
从而……⑦
⑦－⑥得：，
故（常数）（n=1，2，3，…），
∴数列为等差数列.
综上所述：为等差数列的充分必要条件是为等差数列且（n=1，2，3，…）.
19．（1）.
（2）， ，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当 时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
20．设第n天新患者人数最多，则从n+1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n天流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n项和，，而后30－n天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为，公差为30，项数为30－n的等差数列的和，依题设构建方程有，化简，或（舍），第12天的新的患者人数为 20+（12－1）·50=570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.
21．（1）时，的项都是中的项；（任一非负偶数均可）;
时，的项不都是中的项．（任一正奇数均可）;
（2） 时，
的项一定都是中的项
（3）当且仅当取（即非负偶数）时，的项都是中的项．
理由是：①当时，时，
，其中
是的非负整数倍，设为（），只要取即（为正整数）即可得，
即的项都是中的项；②当时，不是整数，也不可能
是的项．
22．（1），而，∴．
∴{}是首项为，公差为1的等差数列．
（2）依题意有，而，
∴.对于函数，在x＞3.5时，y＞0，，在（3.5，）
上为减函数.　故当n＝4时，取最大值3. 而函数在x＜3.5时，y＜0，
，在（，3.5）上也为减函数．故当n＝3时，取最小值，＝－1.
（3）先用数学归纳法证明，再证明. ①当时，成立；
②假设当时命题成立，即，当时，
故当时也成立，
综合①②有，命题对任意时成立，即.
（也可设（1≤≤2），则，
故）.
下证：　
.