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七年级数学

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第一讲 有理数（一）
一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。
2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成（互质）。
4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。
5、绝对值的意义与性质：
① ② 非负性
③ 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。
ii）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：
1、若的值等于多少？
2． 如果是大于1的有理数，那么一定小于它的（ ）
A.相反数 B.倒数 C.绝对值 D.平方
3、已知两数、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的值。
4、如果在数轴上表示、两上实数点的位置，如下图所示，那么化简的结果等于（ )
A. B. C.0 D.
5、已知，求的值是（ ）
A.2 B.3 C.9 D.6
6、 有3个有理数a,b,c，两两不等，那么中有几个负数？

7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，的形式式，又可表示为0，，的形式，求。

8三个有理数的积为负数，和为正数，且则的值是多少？

9、 若为整数，且，试求的值。

三、课堂备用练习题。
1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006

2、 计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)

3、 计算：

4、 已知为非负整数，且满足，求的所有可能值。

5、 若三个有理数满足，求的值。
第二讲 有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① 表示数对应的点到原点的距离。
② 表示数、对应的两点间的距离。
2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。
二、【典型例题解析】：
1、 （1）若，化简
（2）若，化简
2、设，且，试化简
3、、是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1） （2）
（3） （4）若则
（5）若，则 （6）若，则

4、若，求的取值范围。
5、不相等的有理数在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果，那么B点在A、C的什么位置？
6、设，求的最小值。
7、是一个五位数，，求的最大值。
8、设都是有理数，令
,,试比较M、N的大小。
三、【课堂备用练习题】：
1、 已知求的最小值。

2、 若与互为相反数，求的值。

3、 如果，求的值。

4、是什么样的有理数时，下列等式成立？
（1） （2）

5、化简下式：

第三讲 有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。
（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。
（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。
3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。
二、【典型例题解析】：
1、计算：
2、计算：（1）、
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-4）+
3、计算：①
②
4、 化简：计算：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（）
5、计算： （1）（2）

（3）

6、 计算：

7、计算：
：

第四讲 有理数（四）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。
3、巧算的一般性技巧：
① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律
③ 去、添括号法则； ④ 裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。
二、【典型例题解析】：
1、计算：

2、

3、计算：①
②
4、化简：并求当时的值。
5、计算：
6、比较与2的大小。
7、计算：
8、已知、是有理数，且，含，，，请将按从小到大的顺序排列。
三、【备用练习题】：
1、计算（1） （2）

2、 计算：

3、 计算：

4、如果，求代数式的值。

5、若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，求的值。

第五讲代数式（一）
一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义；
（3）代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1、用代数式表示：
（1）比的和的平方小的数。
（2）比的积的2倍大5的数。
（3）甲乙两数平方的和（差）。
（4）甲数与乙数的差的平方。
（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。
（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。
（7）比的平方的2倍小1的数。
（8）任意一个偶数（奇数）
（9）能被5整除的数。
（10任意一个三位数。
2、代数式的求值：
（1）已知，求代数式的值。
（2）已知的值是7，求代数式的值。
（3）已知；，求的值
（4）已知，求的值。
（5）已知：当时，代数式的值为2007，求当时，代数式的值。
（6）已知等式对一切都成立，求A、B的值。
（7）已知，求的值。
（8）当多项式时，求多项式的值。
3、找规律：
Ⅰ.（1）； （2）
（3） （4）
第N个式子呢？
Ⅱ.已知 ； ；
； 若
（、为正整数），求
Ⅲ. 猜想：

三、【备用练习题】：
1、若个人完成一项工程需要天，则个人完成这项工程需要多少天？
2、已知代数式的值为8，求代数式的值。

3、 某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？

4、已知求当时，

第六讲 代数式（二）
一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则；
（2）代数式的整体代入求值。
二、【典型例题解析】：
1、 已知多项式经合并后，不含有的项，求的值。
2、当达到最大值时，求的值。
3、已知多项式与多项式N的2倍之和是，求N？
4、若互异且，求的值。
5、已知，求的值。
6、已知，求的值。
7、已知均为正整数，且，求的值。
8、求证等于两个连续自然数的积。
9、已知，求的值。
10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？
三、【备用练习题】：
1、已知，比较M、N的大小。
， 。
2、已知，求的值。
3、已知，求K的值。
4、，比较的大小。
5、已知，求的值。
第七讲 发现规律
一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。
能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。
二、【典型例题解析】
1、 观察算式：
按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…+ ？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。观察图形的变化规律，写出第个小房子用了多少块石子？

3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第个图形中三角形的个数为多少？

5、 观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、 读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…+100”表示为，这里“”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1开始的100以内的连续奇数的和）可表示为又如“”可表示为，同学们，通过以上材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ；
（2）计算：= （填写最后的计算结果）。
7、 观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 … …
11×13=143，而143=122-1 … …
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来 。

8、 请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出13+23+33+…+1003的值。

三、【跟踪训练题】1
1、有一列数其中：=6×2+1，=6×3+2，=6×4+3，=6×5+4；…则第个数= ，当=2001时，= 。
2、将正偶数按下表排成5列

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第一行

2
4
6
8
第二行
16
14
12
10

第三行

18
20
22
24
……

……
28
26

根据上面的规律，则2006应在 行 列。
3、已知一个数列2，5，9，14，20，，35…则的值应为：（ ）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。A.333 B.334 C.335 D.336
5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：

拼成一行的桌子数
1
2
3
…
n
人数
4
6

…

6、给出下列算式：

观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25
252=625可写成100×2×（2+1）+25
352=1225可写成100×3×（3+1）+25
452=2025可写成100×4×（4+1）25
…………
752=5625可写成
归纳、猜想得：（10n+5）2=
根据猜想计算：19952=
8、已知，计算：
112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n是自然数时，代数式n2+n+41所表示的是质数。请验证一下，当n=40时，n2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？

第八讲 综合练习（一）
1、若，求的值。
2、已知与互为相反数，求。
3、已知，求的范围。
4、判断代数式的正负。
5、若，求的值。
6、若，求
7、已知，化简
8、已知互为相反数，互为倒数，的绝对值等于2，P是数轴上的表示原点的数，求的值。
9、问□中应填入什么数时，才能使
10、在数轴上的位置如图所示，
化简：
11、若，求使成立的的取值范围。
12、计算：
13、已知，，，求。
14、已知，求、的大小关系。
15、有理数均不为0，且。设，求代数式的值。
第九讲 一元一次方程（一）
一、知识点归纳：
1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。
3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。
二、典型例题解析：
1、解下列方程：（1） （2）；
（3）
2、 能否从；得到，为什么？反之，能否从得到，为什么？
3、若关于的方程，无论K为何值时，它的解总是，求、的值。
4、若。求的值。
5、已知是方程的解，求代数式的值。
6、关于的方程的解是正整数，求整数K的值。
7、若方程与方程同解，求的值。
8、关于的一元一次方程求代数式的值。

9、解方程
10、已知方程的解为，求方程的解。

11、当满足什么条件时，关于的方程，①有一解；②有无数解；③无解。

第十讲 一元一次方程（2）
一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。
2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）
二、典型例题解析。
1、 要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？

2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？

3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？

4、 某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？

5、 一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？

6、 初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？

7、 一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1/3后，用水加满，第二次倒出它的1/3后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。

8、 某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？

9、 1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？

10、 有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？

11、 狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？

12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？

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