高中数学函数及其表示知识点.doc

函数及其表示
（一）知识梳理
1．函数的概念
(1)函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的 ，在集合中都有 的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为__________
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量， 叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值， 称为函数的值域。
(3) 函数的三要素： 、 和
2．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法
（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；
（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。
3．分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。
4．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 ，f表示对应法则
注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。
（二）考点分析
考点1：判断两函数是否为同一个函数
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。
例1． 试判断以下各组函数是否表示同一函数？
（1），；
（2），
（3），；
（4），
（5），（n∈N*）；
考点2：映射的概念
例1．下述两个个对应是到的映射吗？
（1） ，，；
（2），，．
例2．若，，，则到的映射有 个，到的映射有 个
例3．设集合，，如果从到的映射满足条件：对中的每个元素与它在中的象的和都为奇数，则映射的个数是（ ）
8个 12个 16个 18个
考点3：求函数的定义域
题型1：求有解析式的函数的定义域
（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。
例1.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
例2、函数的定义域是（ ）
A. B. C. D.
题型2：求复合函数和抽象函数的定义域
例1．已知的定义域是，求函数的定义域

例2．已知的定义域是（-2，0），求的定义域

例3、已知函数的定义域为[-2，3]，则的定义域是_________
考点4：求函数解析式
方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；
（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；
（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出
题型1：用待定系数法求函数的解析式
例1.已知函数是一次函数,且,求表达式.

例2.已知是一次函数且（ ）
A． B． C． D．

例3.二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)解不等式f (x)＞2x＋5.

例4.已知g(x)＝－x2－3，f(x)是二次函数，当x∈[－1,2]时，f(x)的最小值为1，且f (x)＋g(x)为奇函数，求函数f(x)的表达式．

题型2：由复合函数的解析式求原来函数的解析式
例1．已知二次函数满足，求

例2.已知_____________。

例3．已知=，则的解析式可取为

题型3：求抽象函数解析式
例1．已知函数满足，求

例2、已知：，求表达式.
例3.设函数与的定义域是且,是偶函数, 是奇函数,且,求和的解析式.

1.2 函数及其表示
一、 选择题
1、函数的图象与直线的交点个数为（ ）
A．可能无数个 B．只有一个 C．至多一个 D．至少一个

2、设，函数的定义域为M，值域为N，则的图象可以是（ ）
2
2

0

2

0
-2

B．
A．

2
2

0
-2
-2
0

D．

C．

1
y
y
y
y
3、函数的图象是如图中的（ ）
1
1

-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
1

A． B． C． D．
4、已知是一次函数且（ ）
A． B． C． D．
5、设函数的值为（ ）
A． B． C． D．18
6、一个面积为的等腰梯形，上底长为 ，下底长为上底长的3倍，则把它的高表示成的函数为（ ）
A． B．
C． D．
7、函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
8、设，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9、已知函数分别由下表给出：

1
2
3

1
2
3

2
1
1

3
2
1
则的值为____________，当时，_______________。
10、 已知_____________。
11、函数的定义域为________________。
三、解答题
12、若函数的图象关于直线对称，求的值。

13、 已知是一次函数，且，求的解析式。

考点5：求函数的值域
1． 求值域的几种常用方法
（1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，
例1、

例2、 （1） （2） （3）

（3 换元法：通过等价转化换成常见函数模型，例如二次函数
例5、 例6、

（4）分段函数分别求函数值域，
例7、

例8、函数的值域是（ ）
A． B． C． D．

（5）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。 如求函数的值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域

（9） 对勾函数法 像y=x+，（m>0）的函数

三种模型：（1）如，求（1）单调区间（2）x的范围[3,5]，求值域
（3） x [-1,0 )(0,4],求值域

（2）如 ，求（1）[3,7]上的值域 （2）单调递增区间（x0或x4）
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