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初中数学中考复习 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)

函数的基本知识：
基本概念
1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
3、确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；

（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
4、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
5.函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
6、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；
第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
7、函数的表示方法:列表法、解析式法、图象法

一次函数图象和性质
【知识梳理】
一、一次函数的基础知识
1、定义：一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数
当b=0时，y=kx＋b即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式： y=kx+b (k≠0)
说明： ① k不为零 ②x指数为1 ③ b取任意实数
2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)
3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,
4、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而增大（单调增）；k<0，y随x而增大而减小（单调减）
5、必过点：（0，b）和（-，0）：理由如下：y=kx+b中，
⑴当x=o,时，y=？？ 所以，该函数经过（ ， ）点
⑵当y=o,时，x=？？所以，该函数经过（ ， ）点
所以，一次函数的图象是必经过（，0）和（0，b）两点的一条直线.，注：两点确定一条直线。画图时，可通过这两点来确定直线。
6、一次函数图像的画法：两点法
１、计算必过点（0，b）和（-，0）２、描点３、连线（从左到右光滑的直线）
7、增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
8、倾斜度(只与k相关)：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.

9、与y轴交点
①当b>0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；
②当b<0时，直线与y轴交于原点的下方。（即y轴的负半轴）

10、图像的上下平移（只与b相关）：直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.
上加下减
例如：y=2x+3, 将直线 向 平移 个单位；y=5x-6,将直线 　的图象向 　 平移 个单位
11、一次函数的图象与性质

b>0
b<0
b=0（正比例函数）
k>0
经过：第一、二、三象限
不经过：第四象限
经过：第一、三、四象限不经过：第二象限
经过：第一、三象限
不经过：第二、四象限

增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增
k<0
经过第一、二、四象限
不经过：第三象限
经过第二、三、四象限
不经过：第一象限
经过第二、四象限
不经过：第一、三象限

增减性（单调性）：图象从左到右下降，y随x的增大而减小，单调减

必过点：经过（，0）和（0，b两点，正比例函数即是经过原点（0，0）

12、两直线之间的位置关系（平行或相交）：
①平行：
②相交：将两直线方程联立成一个方程组， ，解得结果，即为交点。
13、二元一次方程组与一次函数的关系：两元一次函数图象的交点的坐标即为所对应方程组的解。
反比例函数图象和性质
【知识梳理】
一、反比例函数的基础知识
1、定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。
还可以写成

2、解析式：（为常数，）
注：反比例函数解析式的特征：
①等号左边是函数，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数（也叫做比例系数），分母中含有自变量，且指数为1.②比例系数
③自变量的取值为一切非零实数。（反比例函数有意义的条件：分母≠0）
④函数的取值是一切非零实数。
3、增减性（单调性）： k>0，y随x的增大而减小（单调减）；k<0，y随x增大而增大（单调增）

4、反比例函数的图象：双曲线
（1）图像的画法：描点法
① 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线）

（3）反比例函数（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支（称为左、右支），延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
（4）比例系数的几何含义（右图）：反比例函数y＝ (k≠0)中比例系数k的
几何意义，即过双曲线y＝ (k≠0)上任意一点P作x轴、y轴垂线，设垂足分
别为A、B，则所得矩形OAPB的面积(阴影面积)为 .
（由y＝变形可得：k=xy 因为面积为正数，所以k取绝对值。）

5、反比例函数性质如下表：
k的符号
o
y
x
k＞0
y
x
o
k＜0
图像的大致位置

经过象限
第 象限
第 象限
增减性（单调性：单调区间内讨论）

在每一象限内，从左到右看，y随x的增大而减小 ；
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调减
在每一象限内,从左到右看
y随x的增大而增大
（-∞，0）U（0，+∞）区间内，单调增
图像的对称性
中心称图形，对称中心是原点；
同时，也是轴对称图形，对称轴是直线y=x 和直线y=-x

二次函数图象和性质
【知识梳理】
一、二次函数的基础知识：
1．定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．
二次函数的定义域（x的取值范围）：全体实数，R．
2. 解析式（表达式）：一般式：（，是常数）：
说明：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．
⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．

补充：⑴二次函数解析式的表示方法（三种）
①一般式：（，，为常数，）；
②顶点式：（，，为常数，）；[抛物线的顶点P（h，k）]

③两根式（交点式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
[仅限于与x轴有两个交点A（x1，0）和 B（x2，0）的抛物线，即△≥0]

其中 (即一元二次方程求根公式)
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
⑵二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
3、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
4、二次函数图象的画法
五点绘图法：
① 利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标;
② ②然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.

3、 二次函数的图像：抛物线
（1）对称性：抛物线是轴对称图形。对称轴：直线,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
（2）抛物线有一个顶点P，
当=0时，P在y轴上；当Δ= =0时，P在x轴上

4. a.b.c与抛物线的关系（是二次项系数，是一次项系数，是常数项）
y=5x2
y=x2
x
y
（1）a决定抛物线的开口方向和大小：
开口方向：a为正(a＞0)，开口朝上，有最小值；
a为负(a＜0)，开口朝下，有最大值；
开口大小：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（2）a、b共同决定
的符号决定对称轴的位置，分两种情况：
①当a与b同号时即ab＞0），对称轴在y轴左侧；
②当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧。
概括的说就是“左同右异”
（3）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c），分三种情况：
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为；
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．
6、抛物线与x轴交点个数
Δ= ＞0时，抛物线与x轴有2个交点。A（x1,0）和B（x2,0）
Δ==0时，抛物线与x轴有1个交点。顶点P
Δ= ＜0时，抛物线与x轴没有交点。
y
△=0
x
△＜0
y
x
△＞0
y
x
A
B
P
配图：开口向上(开口向下，情况类似)

7、类比一元二次方程的根的情况：
特别地，二次函数（以下称函数）
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

8、二次函数的图像和性质

＞0
y
x
O
＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 时，
y有最 值，y
当x＝ 时，
y有最 值，y
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
9. 应用：
（1）最大面积；（2）最大利润；（3）其它
10、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移？

2. 平移规律
在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）

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