高中数学必修5第1章《解三角形》综合测试题(B)及解析.doc

高中数学必修5第一章《解三角形》综合测试题（B）
班级：________ 姓名：___________ 座号：________ 得分：________
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．四个选项中只有一项是符合题目要求的）
1.在中，已知，，则此三角形 【 D 】
A.无解 B.只有一解 C.有两解 D. 解的个数不确定
答案：D.
解析：由得，只知一边，故三角形解的个数不确定. 故选D.
2.在中，已知，，的面积，则等于 【 C 】
A. B. C. D.
答案：C.
解析：由，解得，故
，故.故选C.
3.在中，，，，则等于 【 A 】
A. B. C.或 D. 以上答案都不对
答案：A.
解析：由正弦定理可求得，因为，故，故.故选A.
4.在中，，则一定是 【 B 】
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上都有可能
答案：B.
解析：由已知根据正、余弦定理得，整理得
，即，故，
故为直角三角形. 故选B.
5.在中，，为锐角，则为 【 D 】
A. B. C. D.
答案：D.
解析：由已知得，又为锐角，故；又，故，故.故选D.
6.在锐角三角形中，、、分别是三内角、、的对边，设，则的取值
范围是 【 D 】
A. B. C. D.
答案：D.
解一：因，故，故，解得
，故，故选D.
解二：由正弦定理得，因，故，即
，又，故，由题意得，故，又
，故，故，故，即
，即.故选D.
7.在中，若，，则边长的取值范围是 【 C 】
A. B. C. D.
答案：C.
解析：由正弦定理可得，因，故.故选C.
8.在中，若，则、、的关系是 【 A 】
A. B. C. D.
答案：A.
解析：由已知得，即，由正弦定
理，得，故
，即，又，故
，由正弦定理，得.故选A.
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在横线上）
题号
9
10
11
12
13
14
答案

cm

9.三角形一边长为14，它的对角为，另两边之比为:，则此三角形的面积为____________.
答案：.
解析：设另两边的长为和，由余弦定理，得，解得，则
另两边的长为和，故此三角形的面积为.
10.在中，，，，则边上的高的长度是__________.
答案：.
解析：由已知得，由正弦定理得，解得，故边上的
高.
11.三角形的两边分别为和，它们的夹角的余弦值是方程的根，则此三角形的
面积为___________.
答案：.
解析：由方程解得，则，故.
12.在中，已知，且，，则的面积是_________.
答案：.
解析：由，得；由余弦定理，得
，解得，故，故.
13.用长度分别为2、3、4、5、6(单位：cm)的5根细木棒围成一个三角形（允许木棒连接，但
不允许折断），能够得到的三角形面积的最大值是_________.(提示：对于三个正数、、，
若为定值，则当且仅当时，最大，当三个正数不能全相等时，应使三个
正数尽量接近).
答案：cm.
解一：由三角形面积公式和余弦定理得
，由题意可知三边之和为，根据提示可知，当三
边分别为，，时，此三角形的面积最大，最大面积为
.
解析：由已知条件知当三边长为、、时，三角形的面积最大，由余弦定理，得
，故，故.
点评：解题过程实际上是一个知识的积累过程.要注意联想的作用.面积公式中涉及边和角，利用什
么样的关系将角转化为边是解决问题的关键.
14.圆内接四边形中，，，，，则__
答案：.
解析：在中，由余弦定理，得；在
中，由余弦定理，得；因圆内接四
边形对角互补，故，故，解得.
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15．（本题满分10分）在中，已知，，，.求.
解：因为，且，故；又，，故由，得，即，解得或舍去.故.
点评：解此题的关键是由求出，应注意根据先判断的正负，
以防产生漏解.
16．（本题满分12分）已知的周长为，且.
（1）求边的长；
（2）若的面积为，求角的度数.
解：（1）由题意得，由正弦定理得，两式相减得.
（2）由题意得，得，由余弦定理得
，故.
点评：本题主要考查正、余弦定理及三角形面积公式，应注意在三角形中使用正、弦定理的条件.
17．（本题满分14分）在中，、、分别是三内角、、的对边，且，又已
知.
（1）求、的值；
（2）求的内切圆半径.
解：（1）由，，得，变为，故
，又因为，故，故.故是直角三角形，且.则由题意，得，解得.即、的值分别为、.
（2）因，，故的内切圆半径.
点评：直角三角形中，若、为直角边，为斜边，则其外接圆半径，内切圆半径.
若求一般三角形的内切圆半径，则可考虑用面积公式求解.
18．（本题满分14分）设锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求的大小；
（2）求的取值范围.
解：（1）由根据正弦定理，得，故.因为锐角三
角形，故.
（2）
.由为锐角三角形，知，而，故
，故，故，.故的取值范围是.
19．（本题满分14分）海岛上有一座海拔m的山，山顶处设有观察站，上午时测得一轮
船在海岛北偏东的处，俯角为；11时10分又测得该轮船在海岛北偏西的处，俯
东
北
A
B
C
D
E
角为.
（1）求此船的速度；
（2）若船的速度和航向不变，则它何时到达岛的正西方？
导思：（1）求船速，先要求路程.在中，先求、
和，再利用余弦定理即可求出；（2）在
中，先求，再进一步求出，
再利用正弦定理求出.
解：（1）如图，km，，，
在Rt中，km；在Rt
中，(km)；在中，，由余弦定理，
得(km)，故船速(km/h).
（2）设轮船沿从处经时间后到达岛的正西方处，在中，由正弦定理得
，故，故；
在中，由正弦定理，得(km)，故(h).即船于时分到
达岛的正西方.
答：若船的速度和航向不变，则它于时分到达岛的正西方.
点评：本题画出的是立体图形而不是平面图形.
20．（本题满分16分）在中，、、的对边分别为、、，已知,,
.
（1）求；
（2）若为外接圆劣弧上的一点，且，求四边形的面积.
A
B
C
D
导思：（1）由边、的关系可得角、的关系，再利用将
转化为，从而得到关于的式子，进而求得的值；
（2）要求四边形的面积，可考虑将其分割成两个三角形，
从而转化为求三角形的面积问题来解决.
解：（1）由正弦定理得，因，
故；又，故，
故
，即，即.
（2）因、、、四点共圆，又，故.在中，由余弦定理，得
，解得，故；在
中，由余弦定理，得，解得，
故.故.
点评：研究四边形的面积或周长等问题，一般通过辅助线将其转化为几个三角形来解决，并且注意将
题目中的条件集中到某个三角形中来解决.

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