高中数学必修二直线、平面垂直的判定及其性质基础题练习.doc

直线、平面垂直的判定及其性质基础题练习

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 设 α，β 两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是   
A. 若 l⊥α，α⊥β，则 l⊂β B. 若 l∥α，α∥β，则 l⊂β
C. 若 l⊥α，α∥β，则 l⊥β D. 若 l∥α，α⊥β，则 l⊥β

2. 如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边．则能保证该直线与平面垂直的是   
A. ①③ B. ② C. ②④ D. ①②④

3. 已知四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 为正方形，PA⊥面ABCD ，则四棱锥的五个面中，互相垂直的面共有   
A. 3 组 B. 4 组 C. 5 组 D. 6 组

4. 如图，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，若 E 为 A1C1 的中点，则直线 CE 垂直于   

A. AC B. BD C. A1D D. A1D1

5. 在三棱柱 ABC−A1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点 D 是侧面 BB1C1C 的中心，则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是   
A. 30∘ B. 45∘ C. 60∘ D. 90∘

6. 正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，二面角 D1−AC−D 的正切值为   
A. 1 B. 2 C. 22 D. 2

7. 如图所示，在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中，∠BAC=90∘，BC1⊥AC，则 C1 在底面 ABC 上的射影 H 必在   

A. 直线 AB 上 B. 直线 BC 上 C. 直线 AC 上 D. △ABC 内部

8. 已知棱长为 1 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，下列命题不正确的是   

A. 平面 ACB1∥平面A1C1D，且两平面的距离为 33
B. 点 P 在线段 AB 上运动，则四面体 PA1B1C1 的体积不变
C. 与所有 12 条棱都相切的球的体积为 23π
D. M 是正方体的内切球的球面上任意一点，N 是 △AB1C 外接圆的圆周上任意一点，则 MN 的最小值是 3−22

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 空间四边形 ABCD 的四条边相等，则对角线 AC 与 BD 的位置关系为  ．

10. 判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．
（1）直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥α．  
（2）垂直于同一个平面的两平面平行．  
（3）直线 a⊥α，b⊥α，则 a∥b．  
（4）若 α⊥β，a⊥β⇒a∥α．  
（5）若 直线a⊥平面α，直线 b∥α，则直线 a 与 b 垂直．  

11. 如图所示，在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AH⊥A1C，垂足为 H，则 A1H:HC=  ．
第12题图

12. 如图，已知 α−l−β 为直二面角，点 A，B 在 l 上，AC，BD 分别在 α，β 内，且 AC 与 l 的夹角为 45∘，BD⊥l，若 AC=2，AB=2，BD=4，则 CD 的长为  ．

13. 如图，在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA1=1，则 BC1 与平面 BB1D1D 所成角的正弦值为  ．

14. 正四面体 A−BCD 中，相邻两个面所成二面角的余弦值为  ．

三、解答题（共2小题；共30分）
15. 如图，在四棱锥 P−ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面 ABCD 是菱形．
求证：（1）BD⊥平面PAC；（2）PC⊥BD．

16. 如图，直四棱柱 ABCD−A1B1C1D1 的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中点．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．

答案
第一部分
1. C 【解析】对于A，B，D，均可能出现 l∥β，而C正确．
2. A 【解析】①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能是平行的．
3. C
4. B
5. C
【解析】如图，取 BC 的中点 E，连接 AE，DE，则 AE⊥平面BCC1B1．
故 ∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角．
设各棱长为 a，则 AE=32a，DE=12a．
所以 tan∠ADE=3．
所以 ∠ADE=60∘．

6. D 【解析】连接 BD，AC 交于点 O，连接 OD1 ，则 DO⊥AC，
根据正方体的性质，D1D⊥面AC，
所以 D1D⊥AC，D1D∩DO=D，
所以 AC⊥面D1OD，所以 AC⊥D1O，
所以 ∠D1OD 为二面角 D1−AC−D 的平面角．
设正方体棱长为 1，
在直角三角形 D1OD 中，DO=22，DD1=1，
所以 tan∠D1OD=122=2．

7. A 【解析】连接 AC1，
因为 ∠BAC=90∘，
所以 AB⊥AC，
又 AC⊥BC1，BC1∩AB=B，
所以 AC⊥平面ABC1，
又 AC⊂平面ABC，
所以 平面ABC⊥平面ABC1．
因为 平面ABC1∩平面ABC=AB，
所以点 C1 在平面 ABC 上的射影 H 必在两平面的交线 AB 上．
8. D
第二部分
9. 垂直
【解析】取 AC 中点 E，连 BE 、 DE．
由 AB=BC 得 AC⊥BE．
同理 AC⊥DE，所以 AC⊥ 面 BED．
因此，AC⊥BD．

10. ×，×，√，×，√
11. 1:2
【解析】在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，连接 AC．
设 AB=a，则 AC=2a，A1C=3a．
因为 AA1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以 AA1⊥AC，又 AH⊥A1C，
所以 A1HAA1=AA1A1C．
所以 A1H=AA12A1C=a23a=33a．
所以 HC=A1C−A1H=3a−33a=233a，
所以 A1HHC=33a233a=12，
即 A1H:HC=1:2．
12. 26
【解析】连接 BC．
因为 α−l−β 是直二面角，
所以 α⊥β．
又因为 BD⊥l，α∩β=l，BD⊂β，
所以 BD⊥α．
因为 BC⊂α，
所以 BD⊥BC，即 △BCD 为直角三角形．
因为 AC 与 l 的夹角为 45∘，
所以在 △BCA 中，∠CAB=135∘，
则由余弦定理知，
BC2=AC2+AB2−2⋅AC⋅ABcos∠CAB=10．
在 Rt△BCD 中，
CD2=CB2+BD2=10+16=26，
所以 CD=26．
13. 105
14. 13

第三部分
15. （1） 因为四边形 ABCD 是菱形，
所以 AC⊥BD．
又因为 PA⊥平面ABCD，
所以 PA⊥BD．
所以 BD⊥平面PAC．
      （2） 由1知 BD⊥平面PAC，
因为 PC⊂平面PAC，
所以 PC⊥BD．
16. （1） 连接 B1C，ME．

因为 M，E 分别为 BB1，BC 的中点，
所以 ME∥B1C，且 ME=12B1C．
又因为 N 为 A1D 的中点，
所以 ND=12A1D．
由题设知 A1B1∥DC 且 A1B1=DC，可得 B1C∥A1D 且 B1C=A1D，
故 ME∥ND 且 ME=ND，
因此四边形 MNDE 为平行四边形，MN∥ED．
又 MN⊄平面C1DE，
所以 MN∥平面C1DE．
      （2） 过 C 作 C1E 的垂线，垂足为 H．
由已知可得 DE⊥BC，DE⊥C1C，
所以 DE⊥平面C1CE，
故 DE⊥CH．
从而 CH⊥平面C1DE，
故 CH 的长即为 C 到平面 C1DE 的距离，
由已知可得 CE=1，C1C=4，
所以 C1E=17，故 CH=41717．
从而点 C 到平面 C1DE 的距离为 41717．

第9页（共9 页）