1112学年高中数学1.6微积分基本定理同步练习新人教A版选修.doc

选修2-2 1.6 微积分基本定理

一、选择题
1．下列积分正确的是(　　)

[答案]　A

A.　　 　 B.　　 　
C.　　 　 D.
[答案]　A
[解析]　－2dx＝－2x2dx＋－2dx
＝x3＋
＝(x3－x－3)
＝－＝.
故应选A.
3.－1|x|dx等于(　　)
A.－1xdx B.－1dx
C.－1(－x)dx＋xdx D.－1xdx＋(－x)dx
[答案]　C
[解析]　∵|x|＝
∴－1|x|dx＝－1|x|dx＋|x|dx
＝－1(－x)dx＋xdx，故应选C.
4．设fx)＝，则f(x)dx等于(　　)
A. B.
C. D．不存在
[答案]　C
[解析]　f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
取F1(x)＝x3，F2(x)＝2x－x2，
则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x
∴f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)
＝－0＋2×2－×22－＝.故应选C.
5.f′(3x)dx＝(　　)
A．f(b)－f(a) B．f(3b)－f(3a)
C.[f(3b)－f(3a)] D．3[f(3b)－f(3a)]
[答案]　C
[解析]　∵′＝f′(3x)
∴取F(x)＝f(3x)，则
f′(3x)dx＝F(b)－F(a)＝[f(3b)－f(3a)]．故应选C.
6.|x2－4|dx＝(　　)
A.　　　 B.　　　
C.　　　 D.
[答案]　C
[解析]　|x2－4|dx＝(4－x2)dx＋(x2－4)dx
＝＋＝.

A．－ B．－
C. D.
[答案]　D
[解析]　∵1－2sin2＝cosθ

8．函数F(x)＝costdt的导数是(　　)
A．cosx B．sinx
C．－cosx D．－sinx
[答案]　A
[解析]　F(x)＝costdt＝sint＝sinx－sin0＝sinx.
所以F′(x)＝cosx，故应选A.
9．若(2x－3x2)dx＝0，则k＝(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．以上都不对
[答案]　C
[解析]　(2x－3x2)dx＝(x2－x3)＝k2－k3＝0，
∴k＝0或1.
10．函数F(x)＝t(t－4)dt在[－1,5]上(　　)
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0和最小值－
C．有最小值－，无最大值
D．既无最大值也无最小值
[答案]　B
[解析]　F(x)＝(t2－4t)dt＝＝x3－2x2(－1≤x≤5)．
F′(x)＝x2－4x，由F′(x)＝0得x＝0或x＝4，列表如下：
x
(－1,0)
0
(0,4)
4
(4,5)
F′(x)
＋
0
－
0
＋
F(x)

极大值

极小值

可见极大值F(0)＝0，极小值F(4)＝－.
又F(－1)＝－，F(5)＝－
∴最大值为0，最小值为－.
二、填空题
11．计算定积分：
①－1x2dx＝________
②dx＝________
③|x2－1|dx＝________
④－|sinx|dx＝________
[答案]　；；2；1
[解析]　①－1x2dx＝x3＝.
②dx＝＝.
③|x2－1|dx＝(1－x2)dx＋(x2－1)dx
＝＋＝2.

[答案]　1＋

13．(2010·陕西理，13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．
[答案]　
[解析]　长方形的面积为S1＝3，S阴＝3x2dx＝x3＝1，则P＝＝.
14．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.
[答案]　－1或
[解析]　由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，
∴－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，
∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.
即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或.
三、解答题
15．计算下列定积分：
(1)2xdx；(2)(x2－2x)dx；
(3)(4－2x)(4－x2)dx；(4)dx.
[解析]　(1)2xdx＝x2＝25－0＝25.
(2)(x2－2x)dx＝x2dx－2xdx
＝x3－x2＝－1＝－.
(3)(4－2x)(4－x2)dx＝(16－8x－4x2＋2x3)dx
＝
＝32－16－＋8＝.
(4)dx＝dx
＝＝－3ln2.
16．计算下列定积分：

[解析]　(1)取F(x)＝sin2x，则F′(x)＝cos2x

＝＝(2－)．
(2)取F(x)＝＋lnx＋2x，则
F′(x)＝x＋＋2.
∴2dx＝dx
＝F(3)－F(2)
＝－
＝＋ln.
(3)取F(x)＝x2－cosx，则F′(x)＝3x＋sinx

17．计算下列定积分：
(1)－4|x＋2|dx；
(2)已知f(x)＝，求－1f(x)dx的值．
[解析]　(1)∵f(x)＝|x＋2|＝
∴－4|x＋2|dx＝－(x＋2)dx＋－2(x＋2)dx
＝－＋
＝2＋2＝4.
(2)∵f(x)＝
∴－1f(x)dx＝－1f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＋f(x)dx＝(1－x)dx＋(x－1)dx
＝＋
＝＋＝1.
18．(1)已知f(a)＝(2ax2－a2x)dx，求f(a)的最大值；
(2)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，f(x)dx＝－2，求a，b，c的值．
[解析]　(1)取F(x)＝ax3－a2x2
则F′(x)＝2ax2－a2x
∴f(a)＝(2ax2－a2x)dx
＝F(1)－F(0)＝a－a2
＝－2＋
∴当a＝时，f(a)有最大值.
(2)∵f(－1)＝2，∴a－b＋c＝2①
又∵f′(x)＝2ax＋b，∴f′(0)＝b＝0②
而f(x)dx＝(ax2＋bx＋c)dx
取F(x)＝ax3＋bx2＋cx
则F′(x)＝ax2＋bx＋c
∴f(x)dx＝F(1)－F(0)＝a＋b＋c＝－2③
解①②③得a＝6，b＝0，c＝－4.

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