1、三角函数的诱导公式(二)
【知识梳理】
诱导公式五和公式六
【常考题型】
题型一、给角求值问题
【例1】 (1)已知cos 31°＝m，则sin 239°tan 149°的值是( )
A. B.
C．－ D．－
(2)已知sin＝，求cos的值．
[解析] (1)sin 239°＋tan 149°
＝sin(180°＋59°)tan(180°－31°)
＝－sin 59°(－tan 31°)
＝－sin(90°－31°)(－tan 31°)
＝－cos 31°·(－tan 31°)
＝sin 31°＝＝.
[答案] B
(2)cos
2、＝cos
＝sin＝.
【类题通法】
角的转化方法
(1)对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数．若转化之后的正角大于360°，再利用诱导公式一，化为0°到360°间的角的三角函数．
(2)当化成的角是90°到180°间的角时，再利用180°－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
(3)当化成的角是270°到360°间的角时，则利用360°－α及－α的诱导公式化为0°到90°间的角的三角函数．
【对点训练】
已知cos(π＋α)＝－，求cos的值．
解：∵cos(π＋α)＝－cos α＝－，
∴cos α＝，∴α为第一或第四象限角．
①若
3、α为第一象限角，
则cos＝－sin α＝－
＝－ ＝－；
②若α为第四象限角，
则cos＝－sin α＝＝ ＝
.
题型二、化简求值问题
【例2】 已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若α为第三象限角，且cos＝，求f(α)的值；
(3)若α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)f(α)＝＝－cos α.
(2)∵cos＝－sin α＝，∴sin α＝－，
又∵α为第三象限角，∴cos α＝－＝－，
∴f(α)＝.
(3)f＝－cos
＝－cos＝－cos
＝－cos＝－.
【类题通法】
化简求值的方法
解决此类问题时，可先用诱导公式化简变
4、形，将三角函数的角度统一后再用同角三角函数的基本关系式变形求解．
【对点训练】
已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角α的终边在第二象限且sin α＝，求f(α)．
解：(1)f(α)＝
＝
＝－cos α.
(2)由题意知cos α＝－＝－，
∴f(α)＝－cos α＝.
题型三、三角恒等式的证明
【例3】 求证：＝1.
[证明] 左边
＝
＝＝1＝右边．∴原式成立．
【类题通法】
三角恒等式的证明策略
对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”
5、的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．
【对点训练】
求证：＋
＝.
证明：左边＝＋
＝＋＝
＝＝＝右边．∴原式成立．
【练习反馈】
1．若sin<0，且cos>0，则θ是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析：选B 由于sin＝cos θ<0，cos＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2．如果cos(π＋A)＝－，那么sin等于( )
A. － B.
C．－ D.
解析：选B cos(π＋A)＝－cos A＝－
6、
∴cos A＝，
∴sin＝cos A＝.
3．化简：sin(－α－7π)·cos＝________.
解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos
＝－sin(π＋α)·
＝sin α·(－sin α)
＝－sin2α.
答案：－sin2α
4．sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝________.
解析：将sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°中的首末两项相加得1，第二项与倒数第二项相加得1，…，共有44组，和为44，剩下sin245°＝，
则sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝.
答案：
5．化简：＋.
解：∵tan(－α)＝－tan α，sin＝cos α，
cos＝cos＝－sin α，
tan(π＋α)＝tan α，
∴原式＝＋
＝＋＝＝－＝－1.
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