高中数学第一册(上)棱锥同步练习.doc

棱锥 同步练习
一、选择题
1.下列命题中正确的是（　　）
A.底面为正三角形的三棱锥是正三棱锥
B.正三棱锥相对棱中点的连线是相对棱的公垂线
C.正三棱锥的侧面是三个全等的等边三角形
D.正三棱锥的相对棱互相垂直
2.一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（　　）
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
3.若棱锥的底面积等于64，则它的中截面面积等于（　　）
A.32 B.16 C.8 D.4
4.已知正三棱锥的一个侧面积与底面积的比是，则此正三棱锥的高与斜高之比是（　　）
A. B. C. D.1
5.已知三棱锥S－ABC中，面SAB与面SBC都是边长为的正三角形，另外两个面都是等腰直角三角形，则此三棱锥的体积是（　　）
A. B. C.3 D.6
6.若一个正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则底面上任一点P到三个侧面距离之和等于这个正三棱锥的（　　）
A.高 B.斜高的长
C.侧棱的长 D.底面各顶点与点P的距离之和
二、填空题
7.若正三棱锥底面的边长为a，且两个侧面所成的角均为90°，则底面中心到侧面的距离为_____.
8.正四棱锥S—ABCD的侧棱长为，底面边长为，E是SA的中点，则异面直线BE与SC所成的角等于_____.
9.将一个棱长为1的正方体木块锯成最大的一个正四面体木块，则正四面体木块的体积为_____.
10.一个正n棱锥和一个正n棱柱的底面边长、高和侧面积都分别相等，则这个棱锥的侧面与底面所成二面角的度数为_____.
三、解答题
11.如图9－8－35，已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，SA⊥底面ABCD，且SA=a，E、F分别是侧棱SC和底边CD的中点.
（1）求证：平面BDE⊥平面ABCD；
（2）设平面SAB∩平面SCD=l，证明:l∥AB∥CD;
（3）求二面角E—AF—B的大小（用反正弦表示）.

图9－8－35
12.如图9－8－36，平面α内有半径为2的圆O，过直径AB的端点A作PA⊥α且PA=2，C是圆O上一点，且∠CAB=60°，求三棱锥P—OBC的侧面积.

图9－8－36
13.已知正三棱锥S—ABC的底面边长为a,侧面与底面所成的角为60°，求它的高、侧棱长及两相邻侧面所成二面角的余弦值.
14.如图9－8－37所示，一个四棱锥P—ABCD的底面是面积为1的矩形，有两个侧面PAD与PAB都垂直于底面，另两个侧面分别和底面成30°和60°的二面角.

图9－8－37
（1）求这个棱锥的侧面积；
（2）求点A到平面PBD的距离.

参 考 答 案

一、1.D　2.D　3.B　4.A　5.A　6.C
二、7.a　8.60°　9.　10.30°
三、11.（1）连结AC交BD于O，证明OE⊥平面ABCD即可.
（2）∵CD∥AB，∴CD∥平面SAB，
∴CD∥l,故l∥AB∥CD.
（3）过O作OG⊥AF于G，连结EG.
　　可证∠EGO为二面角的平面角，易得∠EGO=arcsin.
12.S△POB=PA·OB=2，可证PC⊥BC，且可得BC=2，PC=PO=2，
∴S△PBC=PC·BC=2，S△POC=.
∴S侧=2+2+.
13.解：如图9－8－38所示，在正三棱锥S—ABC中，设O是底面中心，D是AB中点，再作BE⊥SC于E，连结AE.

图9－8－38
∵S—ABC是正三棱锥，∴SO⊥底面ABC，CD⊥AB.
∴SD⊥AB.∴∠SDO为侧面SAB与底面ABC所成二面角的平面角，∠SDO=60°.
在正△ABC中，AB=a,DO=a,CO=a.
在Rt△SDO中，SO=DO·tanSDO=atan60°=.
在Rt△SOC中，
SC===a.
∵BC=AC,∠ACE=∠BCE,CE是公共边，
∴△BCE≌△ACE.
又∵∠BEC=90°，∴∠AEC=90°，即AE⊥EC.
∴∠AEB是二面角A－SC－B的平面角.
∵∠SBD=∠BCE,∠SDB=∠BEC=90°,
∴△SDB∽△BEC.
∴.而SD==a,
∴BE=a.
∴在△ABE中，cosAEB==.故该棱锥的高为，侧棱长为a,相邻侧面所成二面角的余弦值为.
14.解：如图9－8－39所示，在四棱锥P—ABCD中，

图9－8－39
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，
∴PA⊥平面ABCD.
又∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥PB，DC⊥PD.
∴∠PBA、∠PDA分别是另两个侧面和底面所成二面角的平面角.不妨设∠PBA=30°，∠PDA=60°.
（1）令PA=a,则AB=PA·cot30°=a,AD=PA·cot60°=a.
PB== =2a,
PD=.
∴S侧=（AB+AD）·PA+BC·PB+DC·PD=（a+a）·a+·a·2a
+·a·a=（+1）·a2.
又∵S矩形ABCD=1，∴AB·AD=1，即a·a=1.∴a=1.∴S侧=+1.
（2）作AE⊥BD于E，连结PE，作AH⊥PE于H.
∵BD⊥AE，BD⊥PA，∴BD⊥平面PAE，BD⊥AH.
∴AH⊥平面PBD.
在Rt△ABD中，AE=.
在Rt△PAE中，AH==.
故点A到平面PBD的距离为.