高考数学资料——5年高考题、3年模拟题分类汇编专题(5)空间向量在立体几何中的应用.doc

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第三节 空间向量在立体几何中的应用
一、 填空题
1.若等边的边长为，平面内一点满足，则_________
2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。
【解析】设由可得故
【答案】(0,-1，0)
二、解答题
3.（本小题满分12分）
如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(II) 证明平面AMD平面CDE；
（III）求二面角A-CD-E的余弦值。
如图所示，建立空间直角坐标系，
点为坐标原点。设依题意得

（I）

所以异面直线与所成的角的大小为.
（II）证明： ，

（III）

又由题设，平面的一个法向量为

4．（本题满分15分）如图，平面平面，
是以为斜边的等腰直角三角形，分别为，
，的中点，，．
（I）设是的中点，证明：平面；
（II）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离．
证明：（I）如图，连结OP，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系O，
则，由题意得，因，因此平面BOE的法向量为，得，又直线不在平面内，因此有平面
6.（本小题满分12分）
如图，已知两个正方行ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点 。
（I）若平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角的正值弦；
（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

设正方形ABCD，DCEF的边长为2，以D为坐标原点，分别以射线DC，DF，DA为x,y,z轴正半轴建立空间直角坐标系如图.
则M1,0,2）,N(0,1,0),可得=(-1,1,2).
又=（0，0，2）为平面DCEF的法向量，
可得cos(,)=·
所以MN与平面DCEF所成角的正弦值为
cos· ……6分
(Ⅱ)假设直线ME与BN共面， ……8分
则AB平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN
由已知，两正方形不共面，故AB平面DCEF。
又AB//CD，所以AB//平面DCEF。面EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，
所以AB//EN。
又AB//CD//EF，
所以EN//EF，这与EN∩EF=E矛盾，故假设不成立。
所以ME与BN不共面，它们是异面直线. ……12分
7.（13分）
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，，
，且MD=NB=1，E为BC的中点
（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值
（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由
17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标
依题意，得。

，
所以异面直线与所成角的余弦值为.A
（2）假设在线段上存在点，使得平面.
,
可设
又.
由平面，得即
故，此时.
经检验，当时，平面.
故线段上存在点，使得平面，此时.
8.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面
（I）证明：
（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。
分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：
（Ⅰ）点到平面的距离；
（Ⅱ）二面角的大小．
（Ⅰ）如答（19）图2，以S(O)为坐标原点，射线OD,OC分别为x轴，y轴正向，建立空间坐标系，设，因平面
即点A在xoz平面上，因此
又

因AD//BC，故BC⊥平面CSD，即BCS与平面
yOx重合，从而点A到平面BCS的距离为.
(Ⅱ)易知C(0,2,0)，D(,0,0). 因E为BS的中点.
ΔBCS为直角三角形 ,
知
设B(0,2, )，＞0，则＝2，故B（0，2，2），所以E（0，1，1） .
在CD上取点G，设G（），使GE⊥CD .
由故
①　
又点G在直线CD上，即，由=（），则有　②
联立①、②，解得G＝　,
故=.又由AD⊥CD，所以二面角E－CD－A的平面角为向量与向量所成的角，记此角为 .
因为=，,所以

故所求的二面角的大小为 .
作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.
设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为
分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。
分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
9．（本小题共14分）
如图，四棱锥的底面是正方形，，点E在棱PB上.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，求AE与
平面PDB所成的角的大小.
【解法2】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，
设
则，
（Ⅰ）∵，
∴，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，∴AC⊥平面PDB，
∴平面.
（Ⅱ）当且E为PB的中点时，，
设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∵，
∴，
∴，即AE与平面PDB所成的角的大小为.
10.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
如题（18）图，在五面体ABCDEF中，AB//DC，∠BAD=，CD=AD=2.，四边形ABFE为平行四边形，FA⊥平面ABCD，FC=3，ED=，求：
（Ⅰ）直线AB到平面EFCD的距离：
（Ⅱ）二面角F-AD-E的平面角的正切值，
18.（本小题满分12分）
如图4，在正三棱柱中，
D是的中点，点E在上，且。
（I） 证明平面平面
（II） 求直线和平面所成角的正弦值。

解 （I） 如图所示，由正三棱柱的性质知平面
又DE平面ABC，所以DEAA.
而DEAE。AAAE=A 所以DE平面AC CA，又DE平面ADE，故平面ADE平面AC CA。
解法2 如图所示，设O使AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，不妨设
A A=，则AB=2，相关各点的坐标分别是
A(0,-1,0)， B（，0，0）， C（0，1，）， D（，-，）。
易知=(，1，0)， =(0，2，)， =(，-，）
设平面ABC的法向量为n=（x，y，z）,则有

解得x=-y， z=-，
故可取n=(1，-，)。
所以，(n·)===。
由此即知，直线AD和平面AB C所成角的正弦值为。
11.（本小题满分12分）
如图3，在正三棱柱ABC-中，AB=4, A=,点D是BC的中点，点E在AC上，且DEE
（Ⅰ）证明：平面平面;
（Ⅱ）求直线AD和平面所成角的正弦值。

解法2 如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，则相关各
点的坐标分别是A(2,0,0,), .(2,0, ), D(-1, ), E(-1,0.0)
易知=3，，-），=（0，-，0），=（-3，，0）
设n=（x，y，z）是平面DE的一个法向量，则

解得
故可取n=（,0,-3，）于是

=
由此即知，直线AD和平面DE所成的角是正弦为
12．（本小题满分12分）
在四棱锥中，底面是矩形，平面，，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求点到平面的距离.
方法二：
（1）同方法一；
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，则，，， ，，；设平面的一个法向量，由可得令，则
。设所求角为，则，
所以所求角的大小为。
（3）由条件可得，.在中，,所以,则, ，所以所求距离等于点到平面距离的，设点到平面距离为则，所以所求距离为。

19（本小题满分12分）
如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互
相垂直，△是等腰直角三角形，

（I）求证：；
（II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；
（III）求二面角的大小。
(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,
所以AE⊥AB.
又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,
平面ABEF∩平面ABCD=AB,
所以AE⊥平面ABCD.
所以AE⊥AD.
因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.
设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) ,
E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).
因为FA=FE, ∠AEF = 45°,
所以∠AFE= 90°.
从而，.
所以,,.
,.
所以EF⊥BE, EF⊥BC.
因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,
所以EF⊥平面BCE.
(Ⅱ)存在点M,当M为AE中点时,PM∥平面BCE.
M ( 0,0, ), P ( 1, ,0 ).
从而=,
于是·=·=0
所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内，
故PMM∥平面BCE. ………………………………8分
(Ⅲ)设平面BDF的一个法向量为，并设=（x,y,z）.
，
即
取y=1，则x=1，z=3。从而。
取平面ABD的一个法向量为。
。
故二面角F—BD—A的大小为arccos。……………………………………12分
14.（本题满分14分）
如图，在直三棱柱中，,
,求二面角的大小。
简答：

第一部分 五年高考荟萃
2009年高考题
2005—2008年高考题
解答题
1. A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
（2008全国Ⅱ19）（本小题满分12分）
如图，正四棱柱中，，点在上且．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求二面角的大小．
以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
y
x
z
建立如图所示直角坐标系．依题设，．
，
．
（Ⅰ）证明 因为，，
故，．
又，
所以平面．
（Ⅱ）解 设向量是平面的法向量，则
，．
故，．
令，则，，．
等于二面角的平面角，
．
所以二面角的大小为．
2. （2008安徽）如图，在四棱锥中，底面四边长
为1的菱形，, , ,为
的中点，为的中点
（Ⅰ）证明：直线；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为
轴建立坐标系

,
(1)证明
设平面OCD的法向量为,则
即
取,解得

(2)解 设与所成的角为,
, 与所成角的大小为.
(3)解 设点B到平面OCD的距离为，
则为在向量上的投影的绝对值,
由 , 得.所以点B到平面OCD的距离为
3. （2008湖南17 ）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面
ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD
的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.

如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系.则相关各点的
坐标分别是A（0，0，0），B（1，0，0），
P（0，0，2）,
（Ⅰ）证明 因为，
平面PAB的一个法向量是，
所以共线.从而BE⊥平面PAB.
又因为平面PBE，
故平面PBE⊥平面PAB.

(Ⅱ)解 易知
设是平面PBE的一个法向量，则由得
所以
设是平面PAD的一个法向量，则由得所以故可取

于是，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
4. （2008福建18）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面 ABCD，侧棱PA=PD＝，底面ABCD为直角梯形，
其中BC∥ AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点.

（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出　的值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）证明 在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD,
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
(Ⅱ)解 以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、
z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得
A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),
所以
所以异面直线PB与CD所成的角是arccos，
(Ⅲ)解 假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，
由(Ⅱ)知
设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0).
则所以即，
取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1).
设由，得
解y=-或y=(舍去)，
此时，所以存在点Q满足题意，此时.
5. （2007福建理•18）如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有
棱长都为2，D为CC1中点。
（Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD；
（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的大小；
（Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离；
（Ⅰ）证明 取中点，连结．
为正三角形，．
在正三棱柱中，平面平面，
平面．
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，
，，．
，，
x
z

A
B
C
D

O
F
y
，．
平面．
（Ⅱ）解 设平面的法向量为．
，．
，，

令得为平面的一个法向量．
由（Ⅰ）知平面，
为平面的法向量．
，．
二面角的大小为．
（Ⅲ）解 由（Ⅱ），为平面法向量，
．
点到平面的距离．
6.（2006广东卷）如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直
径.AD与两圆所在的平面均垂直，AD＝8,BC是⊙O的直径，
AB＝AC＝6，OE//AD.
(Ⅰ)求二面角B—AD—F的大小；
(Ⅱ)求直线BD与EF所成的角.

解 (Ⅰ)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角，
依题意可知，ABCD是正方形，所以∠BAD＝450.
即二面角B—AD—F的大小为450.
(Ⅱ)以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，，0），B（，0，0）,D（0，，8），E（0，0，8），F（0，，0）
所以，
.
设异面直线BD与EF所成角为，
则
直线BD与EF所成的角为
7.（2005江西）如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.
（1）证明：D1E⊥A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；
（3）AE等于何值时，二面角D1—EC—D的大小为.

以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x, y, z轴，建 立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），
E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）
（1）证明
（2）解 因为E为AB的中点，则E（1，1，0），
从而，
，
设平面ACD1的法向量为，
则
也即，得，从而，所以点E到平面AD1C的距离为

（3）解 设平面D1EC的法向量，
∴
由 令b=1, ∴c=2,a=2－x，
∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴AE=时，二面角D1—EC—D的大小为.
第二部分 三年联考汇编
2009年联考题
解答题
1.(湖南省衡阳市八中2009届高三第三次月考试题)如图，P—ABCD是正四棱锥，是正方体，其中
（1）求证：；
（2）求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值；
（3）求到平面PAD的距离
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
（1）证明 设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，∴
又， ∴ ∴∴
∴ ， 即。
（2）解 设平面PAD的法向量是，

∴ 取得，又平面的法向量是∴ ， ∴。
M
P
D
C
B
A
（3解 ∴到平面PAD的距离。
2. (陕西省西安铁一中2009届高三12月月考)如图，边长为2的等
边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝，
M为BC的中点
(Ⅰ)证明：AM⊥PM ；
(Ⅱ)求二面角P－AM－D的大小；
z
y
x
M
P
D
C
B
Á
(Ⅲ)求点D到平面AMP的距离。
(Ⅰ) 证明 以D点为原点，分别以直线DA、DC为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意，可得

∴

∴
即,∴AM⊥PM .
(Ⅱ)解 设，且平面PAM，则
即

∴ ，
取，得
取，显然平面ABCD， ∴
结合图形可知，二面角P－AM－D为45°；
(Ⅲ) 设点D到平面PAM的距离为，由(Ⅱ)可知与平面PAM垂直，则
=
即点D到平面PAM的距离为
3.(厦门市第二外国语学校2008—2009学年高三数学第四次月考)已知点H在正方体的对角线上，∠HDA=．
A
B
C
D

x
y
z
H
（Ⅰ）求DH与所成角的大小；
（Ⅱ）求DH与平面所成角的大小．
解：以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．
设
则，．连结，．
设，由已知，
由
可得．解得，
所以．（Ⅰ）因为，
所以．即DH与所成的角为．
（Ⅱ）平面的一个法向量是．
因为， 所以．
可得DH与平面所成的角为．
A
C
D
O
B

E
y
z
x
4.(广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)如图，
在四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，

（1）求证：平面BCD；
（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（3）求点E到平面ACD的距离．
⑴ 证明 连结OC

，．
在中，由已知可得
而，
A
C
D
O
B

E
y
z
x
即
∴平面．
(2)解 以O为原点，如图建立空间直角坐标系，
则

，
∴ 异面直线AB与CD所成角的余弦值为．
⑶解 设平面ACD的法向量为则
，
∴，令得是平面ACD的一个法向量．
又 ∴点E到平面ACD的距离 ．
A
B
C
D
E
F
5.(广东省高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，
已知平面，平面，△为
等边三角形，，为的中点.
(1) 求证：平面；
(2) 求证：平面平面；
(3) 求直线和平面所成角的正弦值.

设，建立如图所示的坐标系，则
.
∵为的中点，∴.
 (1) 证明 ，

∵，平面，∴平面.
 (2) 证明 ∵，
∴，∴.
∴平面，又平面，
∴平面平面.
 (3) 解 设平面的法向量为，由可得：
，取.
又，设和平面所成的角为，则
.

∴直线和平面所成角的正弦值为.
6. (2009年广东省广州市高三年级调研测试)如图，已知
等腰直角三角形，其中∠=90º，．
点A、D分别是、的中点，现将△沿着边
折起到△位置，使⊥，连结、．
（1）求证：⊥；
（2求二面角的平面角的余弦值．
（1）证明 ∵点A、D分别是、的中点，
∴.
∴∠=90º.
∴.
∴ ,
∵,
∴⊥平面.
∵平面,
∴.
（2）解 建立如图所示的空间直角坐标系．
则（－1，0，0），（－2，1，0），（0，0，1）.
∴=（－1，1，0），=（1，0，1）,
设平面的法向量为=（x，y，z），则
，
令，得，
∴=（1，1，－1）.
显然，是平面的一个法向量，=（）．
∴cos<，>=．
∴二面角的平面角的余弦值是.
9月份更新
1. 连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于2、4，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M ②弦AB、CD可能相交于点N　　③MN的最大值为5 ④MN的最小值为l，其中真命题的个数为　　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 C
2.某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a+b的最大值为（ ）A.　B.　C.　D.
答案 C
3.等边三角形与正方形有一公共边，二面角的余弦值为，分别是的中点，则所成角的余弦值等于
A
C
B
D
P
答案 .
4.如图，在三棱锥中，，，．
（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离．
解法一：（Ⅰ）取中点，连结．，．，．
A
C
B
E
P
，平面．平面，．
（Ⅱ），，．又，．
又，即，且，平面．取中点．连结．
，．是在平面内的射影，．
A
C
B
D
P
H
是二面角的平面角．在中，，，，．二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，平面平面．过作，垂足为．
平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．
A
C
B
P
z
x
y
H
E
由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．
在中，，，
．． 点到平面的距离为．
解法二：（Ⅰ），，．又，．
，平面．平面，．
（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．
设．，，．取中点，连结．
，，，．是二面角的平面角．
，，，
．二面角的大小为．
（Ⅲ），在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．
如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．
点到平面的距离为．
5.如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且．
（1）求证：四点共面；（4分）；（2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分）；（3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．
证明：（1）建立如图所示的坐标系，则，，，
所以，故，，共面．又它们有公共点，所以四点共面．
（2）如图，设，则，而，由题设得，
得．因为，，有，又，，所以，，从而，．故平面．
（3）设向量截面，于是，．
而，，得，，解得，，所以．又平面，所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是． 故．

2007—2008年联考题
1. (江西省鹰潭市2008届高三第一次模拟)已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.

(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求到平面的距离；
(Ⅲ)求二面角的大小.
(Ⅰ)证明 如图,取的中点,则,∵,∴,
又平面,以为轴建立空间坐标系,
则,,,,,,
,,由,知,
又,从而平面.
(Ⅱ)解 由,得.设平面的法向量
为,,,,
设,则
∴点到平面的距离.
(Ⅲ)解 设面的法向量为,,,
∴
设,则,故,
根据法向量的方向可知二面角的大小为.
2. 山西大学附中2008届二月月考)正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点
（1）求证：；
（2）求二面角的大小（用反三角函数表示）；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明 建立如图所示，

∵
∴ ， 即AE⊥A1D， AE⊥BD ， ∴AE⊥面A1BD
（2）解 设面DA1B的法向量为
由 ， ∴取
设面AA1B的法向量为 ，
由图可知二面角D—BA1—A为锐角，∴它的大小为arcos .
（3）解 ，平面A1BD的法向量取,
则B1到平面A1BD的距离d= .
3. (安徽省皖南八校2008届高三第一次联考)已知斜三棱柱
，，，
在底面上的射影恰为的中点，
又知。
（I）求证：平面；
（II）求到平面的距离；
（III）求二面角的大小。
（I）证明 如图，取的中点，则，因为，
所以，又平面，
以为轴建立空间坐标系，
则，，，
，，
，，
，由，知，
又，从而平面；
（II）解 由，得。
设平面的法向量为，，，
所以，设，则
所以点到平面的距离。
（III）解 再设平面的法向量为，，，
所以，设，则，
故，根据法向量的方向，
可知二面角的大小为。
4. ( 四川省成都市2008一诊) 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝2，E为PA的中点，过E作平行于底面的平面EFGH，分别与另外三条侧棱相交于点F、G、H. 已知底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥AD，∠BCD=135°.
（1） 求异面直线AF与BG所成的角的大小；
（2） 求平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小.
解 由题意可知：AP、AD、AB两两垂直，可建立空间直角坐标系A-xyz
由平面几何知识知：AD＝4, D (0, 4, 0), B (2 , 0 , 0 ),
C ( 2, 2, 0 ), P (0, 0, 2), E (0, 0, 1), F (1 ,0, 1), G (1 ,1 ,1)
(1)＝(1,0,1),＝(－1,1,1)
∴·＝0，
∴AF与BG所成角为 .
(2) 可证明AD⊥平面APB，
∴平面APB的法向量为n＝(0,1,0)
设平面CPD的法向量为m＝(1，y，z)
由 Þ
故m＝(1,1,2)
∵cos＝
∴平面APB与平面CPD所成的锐二面角的大小为arccos.
5. (安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)如图，正三棱柱ABC－的底面边长是2，D是侧棱C的中点，直线AD与侧面所成的角为45°.
( 1 )求二面角A-BD-C的大小；
（2）求点C到平面ABD的距离.
解 （1）如图，建立空间直角坐标系．
则．
设为平面的法向量．
由 得．
取
又平面的一个法向量
．
结合图形可知，二面角的大小为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
D
A1
D1
C1
B1

E1
B
A
C
P
O
点到平面的距离＝．
6. (安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)如图，
、分别是正四棱柱上、下底面的中
心，是的中点，.
（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的大小；
z
x
y
D
A1
D1
C1
B1

E1
B
A
C
P
O
(Ⅲ) 当取何值时，在平面内的射影恰好为的重心?

以点为原点，直线所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，
则得、、、、
(Ⅰ)证明 由上得、、
，设得

解得， ∴
， ∴∥平面
_
（Ⅱ）解 当时，由、得、、
设平面的法向量为，则由，得， ，∴直线与平面所成角的大小为.
(Ⅲ) 解 由(Ⅰ)知的重心为，则，
若在平面内的射影恰好为的重心，则有，解得
∴当时，在平面内的射影恰好为的重心.
7. (北京市东城区2008年高三综合练习二)如图，在四棱锥P—ABCD中，
平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，
△PAB等边三角形.
（1）求二面角B—AC—P的大小；
（2）求点A到平面PCD的距离.
解 （1）建立如图的空间直角坐标系O—xyz，
则A（－1，0，0），B（1，0，0），
则P（0，0，），C（1，2，0）
设为平面PAC的一个法向量，
则
又
令z=1，得
得
又是平面ABC的一个法向量，
设二面角B—AC—P的大小为，
则

（2）设为平面PCD的一个法向量.
则 由D（－1，2，0），可知），可得a=0，令，则c=2.
得，
设点A到平面PCD的距离为d，则
∴点A到平面PCD的距离为
8. (北京市十一学校2008届高三数学练习题)如图，
在正四棱锥中，,点在
棱上．
(Ⅰ)问点在何处时，，并加以证明；
(Ⅱ)当时,求点到平面的距离；
(Ⅲ)求二面角的大小.
解 (Ⅰ)当E为PC中点时，．
连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，
∴OE为△ACP的中位线，
∴，又，
∴.
(Ⅱ)作,依题意是正方形的中心,如图建立空间坐标系.
则, , ，，．
∴ ， ，
，，
设面的法向量为
,
点到平面的距离为.
(Ⅲ)设二面角的平面角为，平面的法向量为. 设平面的法向量为, .
.
9. (北京市西城区2008年4月高三抽样测试)如图，在三棱锥中，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的大小；
（Ⅲ）求异面直线和所成角的大小.

作于点，
平面平面，
平面.
过点作的平行线，交于点.
如图，以为原点，直线分别为轴，
轴，轴，建立空间直角坐标系 .
.
.
，
.

（Ⅰ）证明
.
又.

（Ⅱ）解 作于点，连结.
平面， 根据三垂线定理得 ，
是二面角的平面角.
在中， ，
从而，
，
即二面角的大小是.
（Ⅲ）解，
，
E
O1
O
D1
C1
B1
D
C
B
A
A1
异面直线和所成角的大小为arccos.
10.(广东地区2008年01月份期末试题) 如图，直四棱柱
ABCD—A1B1C1D1的高为3，底面是边长为4
且∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，
E是O1A的中点.
（1）求二面角O1－BC－D的大小；
（2）求点E到平面O1BC的距离.
解 (1）∵OO1⊥平面AC，
∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，

建立如图所示的空间直角坐标系（如图）
∵底面ABCD是边长为4，∠DAB=60°的菱形，
∴OA=2，OB=2，
则A（2，0，0），B（0，2，0），C（－2，0，0），
O1（0，0，3）
设平面O1BC的法向量为=（x，y，z），
则⊥，⊥，
∴，则z=2，则x=－，y=3，
∴=（－，3，2），而平面AC的法向量=（0，0，3）
∴cos<，>=，
设O1－BC－D的平面角为α， ∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1－BC－D为60°.
（2）设点E到平面O1BC的距离为d，
∵E是O1A的中点，∴=（－，0，），
则d=，∴点E到面O1BC的距离等于.

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