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东北大学《非线性振动》学习总结

第一章 非线性振动的定性分析方法
1.1 稳定性理论的基本概念
特定的运动成为系统的未受干扰的运动，简称为稳态运动，而受扰运动则是偏离稳态运动的系统的运动。李雅普诺夫关于稳定性的定义有：稳定的、渐进稳定、不稳定
李雅普诺夫直接方法的理论基础由三个定理组成：（1）若能够早可谓征订函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为半负定或等于零，则系统的未扰运动稳定。（2）若能构造可微正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为负定，则系统的未扰运动渐进稳定。（3）若能构造可微正定、半正定函数V(x)，使得沿扰动方程解曲线计算的全导数V为正定，则系统的未扰运动不稳定。
定理：若保守系统的势能在平衡状态处有孤立极小值，则平衡状态稳定。
对于复杂的非线性系统，可以以近似的线性系统代替
可以根据一次近似方程的稳定性，判断原方程的稳定性：（1）若一次方程的所有本征实部均为负，则原方程的零解渐进稳定（2）若一次近似方程至少有一本征实部为正，则原方程的零解不稳定（3）若一次近似方程存在零实部的本征值，其余根的实部为负，则不能判断原方程的零解的稳定性

1.2相平面、相轨迹和奇点

与系统的运动状态一一对应的像平面上的点称为系统的相点，相点的移动轨迹称为相轨迹。像平面内能使方程右边分子分母同时为零的特殊点称为相轨迹的奇点。
保守系统的相轨迹有以下特点：
（1）相轨迹曲线相对横坐标对称；（2）势能曲线z=V(x)与横坐标轴的平行线z=E交点的横坐标C1，C2，C3，处，相轨迹与横坐标轴相交；（3）横坐标轴上与势能曲线的驻点相对应的点S1，S2，S3，为奇点，因为他们满足几点的定义；（4）在势能取极小值处，设E>V（S1），则在x= S1的某个小领域内都有E大于等于V（x）。这种类型的奇点是稳定的，称为中心。（5）在势能取极大值的点x= S2处，设E小于V(S2)则在区间（C1，C2），内没有对应的相轨迹，这种类型的奇点是不稳定的，称为鞍点。通过鞍点的相轨迹称为分割线。在势能曲线的拐点x= S3，奇点为退化的鞍点，对应于不稳定的平衡态

保守系统的势能在平衡状态处有非孤立极小值，则平衡状态不稳定。
线性系统存在等时性。

分段线性系统是一类特殊的非线性振动系统，其恢复力f（x）为x的分段线性函数。
f（x）=Fsgn x 这类最简单的分段线性恢复力常见于自动控制系统，称为邦邦控制。
具有线性恢复力的保守系统的相轨迹为椭圆族。对于更复杂的分段线性系统，其相轨迹可由直线、抛物线和椭圆线拼接形成。

定理：如果区域f（xs，μ）>0位于曲线f（xs，μ）=0的上方，则平衡位置稳定，奇点为中心。如果f（xs，μ）=0的下方，则平衡位置不稳定，起点为鞍点。
曲线是那个dμ/d xs为零或取不定值所对应的点μ=μ1，μ2，μ3，都具有临界性质，因为当μ经过这些点时，奇点的个数和类型都发生突变，因此μ1，μ2，μ3，就是相轨迹的分叉点。若f（x，μ）为线性函数，则不存在分叉点，所以分叉现象只发生于非线性系统。

1.2.5相轨迹的作图法
等倾线法：另方程右边等于常数C，得到（x，y）两平面内以C为参数的曲线族，称为相轨迹的等倾线族。
列纳法：只用于线性恢复力的特殊情形

1.2.6耗散系统的自由振动
1、粘性阻尼
运动过程伴随能量耗散的机械系统称为耗散系统，如带有粘性阻尼活干摩擦的系统。

图a相轨迹是朝原点趋紧的螺线，它围绕奇点（远点）转动却始终达不到奇点的位置，这类奇点称为稳定焦点。系统的运动为衰减振动。
图b相轨迹尚未完成绕奇点转动一周既接近奇点，这类奇点称为稳定节点，系统的运动为衰减的非往复运动。

耗散系统的c必须为正数，若c为负值，则意味着系统的总机械能不仅没有耗散，相反，不断从外界取得能量。这种特殊情况称为负阻尼。负阻尼系统的平衡状态不稳定，相轨迹为不断向外扩展的螺线或射线。这类奇点称为不稳定焦点或不稳定结点
2、干摩擦

相轨迹线为由半径递减的半圆组成的螺线，x轴上区间（-F，F）内的每个点都是奇点而构成干摩擦的死区。

1.3奇点的分类
1.3.1平面动力学系统
设动力学系统的状态方程的普遍形式为
含两个状态变量的动力学系统成为平面动力学系统，或简称平面系统。右边不含时间t而称为平面自治系统。

其中为状态变量，选择适当的T可是变换后的J称为若当标准型，矩阵J与A有相同的本征值
1.3.2线性系统的奇点类型
分别对以下不同情形讨论矩阵J的本征值与奇点的关系：
1、J有不同的本征值λ1，λ2

相轨迹为指数曲线族。α<0即λ1，λ2异号时，奇点为鞍点，α>0即λ1，λ2同号时，奇点为结点。结点的稳定性可以利用式来判断，λ1，λ2同为负号时为稳定节点，λ1，λ2同为正号时为不稳定节点。
2、J有二重实本征值λ1=λ2

若λ1=0，则相轨迹与u2轴重合，。若λ1≠0，当t→∞时u2/u1无限增大，du2/du1→∞，及所有的相轨迹都趋向于u2轴相切，奇点为结点。结点的稳定性用式
来判断，λ1>0时不稳定，λ1<0时稳定。

3、J有共轭负本征值λ1，2=α±iβ
相轨迹为围绕奇点的螺线，奇点为焦点。焦点的稳定性用式判断
α<0时为稳定焦点，α>0时为不稳定焦点。对于α=0的特殊情形，相轨迹转化为椭圆奇点为中心。

1.3.3奇点的分类准则
线性变换后的变量与变换前的变量x为线性同构，他们的奇点的类型完全相同。
起点的不同类型由参数p和Δ完全确定：
Δ>0：λ1，2 为不等实根；若p>0,则λ1，λ2同号，奇点为节点，p<0稳定，p>0不稳定。若q<0，则λ1，λ2异号，奇点为鞍点。若q=0.，即A为奇异情形，则λ1，2出现零根，相轨迹为平行直线族。奇点为退化情形
Δ=0：λ1，2为重根。奇点为结点。P<0稳定,P>0不稳定
Δ<0：λ1，2为共轭复根。若p=0，奇点为中心，p≠0，奇点为焦点，p<0稳定，P>0不稳定。

1.4极限环
1.4.1瑞利方程和范德波尔方程
极限环：其运动微分方程的解在相平面上所确定的相轨迹是一条孤立的封闭曲线
自激振动是一种与极限环相对应的周期运动。
瑞利方程：
范德波尔方程：

1.4.2闭轨迹的稳定性
定义：若给定任意小的正数ε，存在正数δ，使得在初始时刻t=t0，从闭轨迹Γ的任一侧距离δ处出现的受扰相轨迹上的点在t>t0时从留在闭轨迹Γ的距离ε以内，则称未扰闭轨迹为稳定。反之不稳定。若未扰闭轨迹稳定，且受扰轨迹与未扰闭轨迹距离当t→∞时趋近于零，则称无扰闭轨迹为渐进稳定。
极限环的稳定性也可以利用点映射概念说明：
在相平面内做线段L使在任何位置均不与相轨迹相切，称为无切点线段。从L上任一点P出发的相轨迹若再一次与线段L相交，称交点P’为P的后继点。设P和P’相对于L上的参考点O的坐标为s和s’，则s’是s的函数，称为后继函数，此函数建立起线段L上得点P与后继点P’之间的点映射关系。定义为P与P’的距离，若飞f（s0）=s0或d（s0）=0，则s0是点映射的不动点，即过该点的相轨迹为闭轨迹。若d（s0）=0，而d’（s0）≠0，则为Γ孤立闭轨迹，即极限环。d’（s0）<0，时为Γ稳定极限环，d’（s0）>0，为不稳定极限环。极限环也有可能出现一侧稳定但另一侧不稳定的情形，称为半稳定极限环。更普遍的意义下，若，且，则称Γ为k的重极限环。k=1时称为单重极限环，若k为奇数，且，则Γ稳定；Γ不稳定。若k为偶数，则为Γ半稳定。稳定或不稳定的单重极限环也成为双曲闭轨。

1.4.3闭轨迹存在的必要条件
（1）封闭相轨迹内部至少有一个奇点
（2）若只有一个奇点，则此奇点必须是中心、焦点或结点
（3）若有几个奇点，则奇点指数的代数和为+1，即鞍点的数目必须比其他奇点的数目少1

1.4.4闭轨迹存在的充分条件
若平面自治系统在环形域D的边界上的相轨迹均由外向内进入D域，且D域内无奇点，则在D域内存在稳定极限环。

1.4.5闭轨迹不存在条件
对于用式描述的平面自治系统，如果在单连通域D内P，Q有连续偏导数，且为常号函数，则在D域内必不存在闭轨迹。

1.4.6闭轨迹稳定性定理
若平面自治系统的闭轨迹Γ的特征指数h<0，则闭轨迹Γ稳定；若h>0，则Γ不稳定。

第二章 非线性振动的近似解析方法
近似解析方法的研究对象多为弱非线性系统，通常是寻求非线性系统可能存在的周期解。

2.1谐波平衡法
2.1.1谐波平衡法概述
谐波平衡法的基本思想是将振动系统的激励项和方程的解都展成傅里叶级数。
从物理意义考虑，为保证系统的作用力与惯性力的各阶谐波分量自相平衡，必须令动力学方程两端的同阶谐波的系数相等，从而得到包含未知系数的一系列代数方程，以确定待定的傅里叶级数的系数。
讨论以下普遍形式的非线性系统的受迫振动：

不是一般性，设F(t)为偶函数，且不含常值分量。
另一种叙述方式称为伽辽金法
根据虚功原理，得到：
伽辽金法只要求此等式在每个周期内的平均意义上成立。

2.1.2弱非线性系统
但自由度弱非线性系统的动力学方程可写为：

ε是足够小的独立参数，称为小参数
方程所表示的线性系统成为原非线性系统的派生系统，ω0为派生系统的固有频率。派生系统的解称为派生解。方程的解称为基本解。

2.1.3达芬系统的自由振动
达芬系统就是打分方程描述的系统。对于弱非线性情形，以三项系数ε为小参数，动力学方程为：

2.1.4达芬系统的受迫振动
相位差与频率的关系式为：

线性系统的相频特性是该式ε=0的特殊情形

2.1.6跳跃现象

当激励频率从零开始缓慢的增大时，受迫振动振幅从图2.3的点A处沿幅频特性曲线连续变化至点B处，在增大频率，则振幅从点B突降至C点。这种振幅突然变化的线性称为跳跃现象，是非线性系统特有的现象之一。系统的运动状态随着参数变化而发生突然变化的现象称为动态分岔。

2.2正规摄动法
2.2.1摄动法概述
按小参数ε的幂次展开的近似计算方法，称为摄动法或小参数法。
讨论由以下带小参数的动力学方程描述的但自由度非自治系统：

当ε=0时，方程退化为固有频率为w0的线性方程：

即原系统的派生系统。
实际使用小参数法，由于计算工作量随着幂次的增高而迅速增加，因此往往只取级数的前几项。
2.2.2远离共振的受迫振动
讨论达芬系统受简谐激励的受迫振动，动力学方程为：

其中激励频率ω远离派生系统的固有频率ω0。
基本系统的受迫振动规律为：

省略号为更高阶的近似解。
与线性系统的受迫振动比较，非线性系统在ω频率的激励作用下，所产生的响应中不仅包含ω频率的受迫振动，而且有3ω，5ω，等频率高次谐波同时发生，称为倍频响应，是非线性系统的有一特有现象。

2.2.3多频激励的受迫振动
设硬弹簧系统同时受到两个频率不同的间歇激励，激励频率ω1和ω2都远离派生系统的固有频率，动力学方程为：

解为：

除了激励频率ω1和ω2及其倍数之外，还存在2ω1+ω2、ω1+2ω2、|2ω1-ω2|、|ω1-2ω2|，等组合频率，这种从根本上不服从线性系统叠加原理的频率耦合现象，是非线性系统的又一重要特征。

2.2.4久期项问题
以达芬系统为例，其自由振动方程为：

整理后得：

于是出现了激励频率和固有频率相同的共振情况。
随时间不断增长的项称为久期项。久期项的出现反映了正规摄动法的缺陷，而各种改进方法称为奇异摄动法。

2.3 林滋泰德-庞加莱法
2.3.1达芬系统的自由振动
基本思想是认为非线性系统的固有频率ω并不等于派生系统的固有频率ω0，而也应该是小参数ε的未知函数。应将频率ω写成ε的幂级数。幂级数的待定系数根据周期运动的要求依次确定。
将原系统的解展成ε的幂级数：自由振动频率也展成ε的幂级数，
整理后得到，

为避免次方程的解中出现久期项，以保证x1(t)的周期性，必须令方程右边的cosψ项的系数等于零，
同理可得，

周期解中除基频为ω的谐波以外，还有频率为3ω，5ω的高次谐波存在，是非线性系统区别于线性系统的有一本质特点。在声学中，这些高次谐波称为泛音。

2.3.2接近共振的受迫振动
讨论带微阻尼的达芬系统接近共振的受迫振动。设激励力的幅值与小参数ε同数量级，动力学方程为：
整理后得到：

避免次方程的解中出现久期项以保证响应的周期性，并得到幅频关系式：

2.3.3亚谐波共振
当达芬系统的派生系统固有频率w0接近于激励频率的三分之一时，也可能发生强烈的共振现象，称为三分之一次亚谐波响应，或三分之一次亚谐波共振。

2.4平均法
2.4.1弱非线性系统的自由振动
如果所要求的精度只限于ε的一次项，则可采用更为有效的方法直接求出一次近似解，这就是非线性振动解析方法的依次近似理论，其中最主要的方法是平均法。
但如果当ε充分小时，实际观察到原系统的运动与周期运动十分接近，只是振幅和初相角随时间t缓慢变化。
平均发的物理本质：在每一个运动周期中认为运动是简谐振动，但第二个周期的振幅和初相角与第一个周期相比，已经发生了微小的改变。平均化方程就是描述振幅和初相角变化规律的微分方程。也可形象的认为，简化方程是计算振动过程的包络线方程。

平均化方程：

式中P和Q的定义为：

2.4.2动相平面
以x和为坐标建立相平面（x，y），可以认为（x1，y1）平面以角速度平面相对（x，y）平面以角速度ω0匀速旋转。我们将（x1，y1）平面称为动相平面。

2.4.3谐波线性化方法
忽略其他高次谐波时，可将函数写为：
整理后得到线性方程：

方程成为线性常系数常微分方程，从而简化为线性系统的自由振动问题，这种近似解析方法称为谐波线性化法。

2.4.4弱非线性系统的受迫振动
弱非线性系统的受迫振动，写为：

化为自治形式的一阶微分方程：

系统的振幅特性：

系统的相频特性：

此线性扰动方程的本征方程为：

其中

2.4.5达芬系统
1、达芬系统的自由振动
达芬系统的自由振动为简谐运动，振动频率为

打分方程的谐波线性化方程：

2、达芬系统的受迫振动
其微分方程为：

幅频特性和相频特性关系式为：

图2-2 周期分叉的时间波形，相轨迹 f=0.25

图2-3 混沌状态的时域波形和相平面图 f=0.36
当大于0.826时，系统进入大尺度的周期运动如图2-4所示，此时0.826为由混沌转为周期运动的阀值。相轨迹将焦点、鞍点统统围住，其对应的Poincaré映射亦为不动点。当f为0.826时，系统处于由混沌转为周期运动的临界状态,

2-4 稳定周期状态的时域波形，相平面图 f=0.826
2.3.1 Duffing方程的改进—-受迫Duffing方程
在混沌运动基本特性研究中曾经指出：只有3个或3个以上变量的自治的非线性系统才有可能作混沌运动。而上一节介绍的Duffing系统是二维自治系统，因为二维自治系统在相平面上的轨线不相交，这就注定二维自治系统只可能趋于定点或无穷远，或者作闭曲线的周期运动。从这一点看，二维的Duffing系统是不能出现混沌的。因此，有必要对Duffing系统作必要的改进，使之成为能够产生混沌运动。常用的手段是给Duffing系统加上周期性策动力f cosωt，使系统维数增加到三维。改进后的Duffing方程称为受迫Duffing方程，如下式所示：

2.4.6分段线性系统
1、分段线性系统的自由振动
自由振动的微分方程为：

导出：

G(α)的定义为：

2、分段线性系统的受迫振动
其动力学方程为：

积分得到：

2.5多尺度法
2.5.1多尺度法概述
为了提高平均法的计算精度，将时间尺度划分的更为精细，由此发展出多尺度法。与摄动法相比，多尺度法的明显优点是不仅能计算周期运动，而且能计算耗散系统的衰减运动；不仅能计算稳态响应，而且能计算非稳态过程；也可以分析稳态响应的稳定性，描绘非自治系统的全局运动性态。

2.5.2达芬系统的自由振动
达芬方程的二阶近似解：

其中

2.5.3达芬系统的受迫振动
其动力方程为：

经整理后，得到幅频关系式为

2.5.4达芬系统的超谐波共振
派生系统的固有频率ω0接近激励频率ω时产生的共振现象称为主共振。实践中还可以观察到ω0接近激励频率的整数倍或分数倍时出现的共振现象，分别称为超谐波共振和亚谐波共振，或统称为次共振。
方程可写为：
经整理后，得到：

在ω0≈ω或ω0≈ω/3时也可能出现次共振现象，分别称为三次超谐波共振和三分之一次亚谐波共振。
超谐波共振情况下，

ω0频率的自由振动振幅并不衰减为零。

超谐波共振的峰值不仅与激励力的幅值和阻尼系数有关，而且是非线性项系数α的函数。
超谐波共振也存在与主共振类似的跳跃现象。

2.6渐进法
2.6.1渐进方程组
将平均法与摄动法相结合形成一种新方法，称为渐进法。
讨论自治的弱非线性系统，动力学方程为：

我们所关心的只是当ε充分小时，取级数解前m项伟近似解，能否在足够长的时间范围内与精确解相近。
整理后，得到渐进方程组：

其中

2.6.2渐近解
在一次近似方程中，是ψ的周期为2π的函数，可展成傅里叶级数：

整理后，可求出：

平均化方法是渐进法的一次近似特例。
同理，对于也可求出：

2.6.3远离共振的受迫振动
讨论受周期激励的弱非线性系统：

弱非线性系统可能在满足时发生共振。
弱非线性系统的共振通常有以下三种类型
（1） k=l=1, ω0≈ω：固有频率ω0接近激励频率ω，即主共振
（2） k=1, ω0≈ω/l，固有频率ω0接近激励频率ω的分数倍，即亚谐波共振
（3） l=1, ω0≈kω，固有频率ω0接近激励频率ω的整数倍，即超谐波共振

讨论远离共振的受迫振动，可得到渐进方程组：

其中

2.6.4接近共振的受迫振动
受激励后发生共振的方程为：

经整理后，得到渐进方程组：

其中

2.7多自由度系统的自由振动和受迫振动
2.7.1非线性多自由度系统的研究方法
对于弱非线性的多自由度系统和连续系统，谐波平衡法、平均法、多尺度法和渐进法等近似解析方法都可以使用。对强非线性系统，需要先求的与之相近而又精确可积的非线性系统的精确解，然后对精确的非线性解进行摄动。
对于非线性连续系统，数值-解析方法的应用有两种途径，一是对空间变量作出家丁，然后利用模态的正交性或伽辽金方法得到含对时间导数的非线性二阶常微分方程组。另一种是对时间关系做出假定，然后利用谐波平衡法导出描述空间性质的非线性微分方程的边值问题，通常用含迭代过程的数值方法求解。
第三章 自激振动

自激振动靠系统外的来源补充能量，但能量是恒定的而不同于受迫振动。
振动频率和振幅均由系统的物理参数确定，与初始条件无关。
能产生自激振动的系统必为非线性系统。

3.1.1自激振动的产生
自振系统：接受外界的能量补充，但能源是恒定的，而不是周期变化的。系统已自己的运动状态为调节器。这类系统能自主地从定长的能源汲取能量。当输入的能量与耗散的能量达到平衡时，系统即可维持等振幅振动，称为自激振动。
自振系统由三部分组成：耗散的振动系统，恒定的能源，受系统运动状态反馈的调机器

3.1.2自激振动的特征
（1）振动过程中，存在能量的输入与耗散，因此自振系统为非保守系统。
（2）能源恒定，能量的输入仅受运动状态，即振动系统的位移和速度的调节，因此自振系统不显含时间变量，为自治系统。
（3）振动的特征量，如频率和振幅，由系统的物理参数确定，与初始条件无关。
4）自治的线性系统只能产生衰减自由振动，无耗散时也只能产生振幅由初始条件确定的等幅自由振动。因此自振系统必为非线性系统。
（5）自激振动的稳定性取决于能量的输入与耗散的相互关系。若振幅偏离稳态值时，能量的增减能促使振幅回至稳态值，则自激振动稳定。反之，自激振动不稳定。

3.2工程中的自激振动
3.2.1时钟原理
振动系统是带干摩擦的重力摆，恒定的能量来源是发条机构，调节器是特殊设计的擒纵机构。这种机构能保证摆在指定位

受干摩擦作用的单摆微幅振动的相轨迹与§1.2中讨论的受干摩擦作用的质量-弹簧系统（图2.2）相同。

当 y > 0 时是以（-F,0）为圆心的圆，y < 0
时，是以（F,0）为圆心的圆。设相点从起始位置（ξ,0）开始向下运动，相轨迹方程为

在x=α处，摆受冲击前的速度为

受冲击后，摆有能量增量ΔE ，即

从而导出冲击后摆的速度：

冲击后，相点从（ α,-y2 ）沿半径增大了的圆继续运动，相轨迹方程为

将式（3.2.2）和式（3.2.4）代入上式，整理为

相点到达x轴时的坐标为（-η,0）。令式（3.2.6）中的x=- η ，y=0,求出为

在平面（ξ, η ）上作曲线（3.2.7）及直线η = ξ（ 图2.4），此二曲线的交点P的坐标为

若相点从点（ξP, 0）出发运动，则绕原点一周后必回至原处，形成孤立的封闭相轨迹，即极限环。从图2.4可看出，无论相点的初始坐标ξ大于或小于ξP ，以后都朝点P趋近。表明极限环内的相轨迹不断向外贴近极限环，极限环外的相轨迹不断向内贴近极限环，从而证明极限环是稳定的。
这种构造的钟只要收到微小的冲击使摆幅到达x=±α处接受擒纵机构的冲击，就能自动产生并维持稳定的周期运动。
上述自激振动的成因还可以从能量的观点解释。设每次冲击的输入能量ΔE为常值。由于干摩擦为常值，每个往复耗散的能量必与摆动幅度成正比。作出输入能量及耗散能量随运动幅度的变化曲线，二曲线的交点即与稳定的自激振动相对应。

3.2.2干摩擦自振
由干摩擦激发引起的自激振动是生活中的常见现象。提琴弓子摩擦琴弦产生的音乐或推门时轴承产生的噪音都是干摩擦自振现象。工程中的典型例子是车刀在切削时产生的振动。
要解释这种现象必须考虑滑动摩擦力随相对速度v变化非线性关系φ(v)，如图2.7所示。图中表明当静摩擦转化为动摩擦时，摩擦力突然下降，然后随相对速度的增加而缓慢地上升。

当相点沿线段P1P2运动时，滑块相对平台的相对速度为零，这时平台咬住滑块以速度v0一同匀速运动。待弹簧恢复力随弹簧变形增长得足以克服静摩擦力时，滑块开始相对平台向后滑动，并在摩擦力作用下不断减速，直到相对速度减至零，平台再次咬住滑块，则上述过程重复发生。在此系统中，等速移动的平台将恒定的能源通过滑块与平台之间的干摩擦特性的调节作用输入滑块，使滑块维持稳定的自激振动。
各种实际的干摩擦现象都可以从以上简单模型的分析得到解释。在工程中，滑块与平台之间时而粘住时而滑动的不连续爬行现象，可在机械传动系统中发生。利用润滑剂使干摩擦转化为粘性摩擦，则干摩擦自振现象自然消失。

3.2.3输电线舞动
被冰层覆盖的输电线在水平阵风作用下可产生强烈的上下抖动，振幅可达一二米而导致严重事故。这种自激振动现象称为输电线舞动。

截取一小段电线为集中质量，以无振动时线段的质心平衡位置O为原点，建立坐标系（Oxy），质心C的垂直坐标为y（图2.12）。当风速为v0的水平阵风吹来时，其相对输电线的相对速度v为
其中j为y轴的单位矢量。设α为攻角，及速度v与水平轴x的夹角。则有

由于输电线的圆形断面被冰层覆盖成为非圆形的不规则形状，因此阵风对输电线不仅产生沿v方向的阻力Fd，同时产生于v垂直的升力FL 。根据空气动力学的实验结果，阻力与升力的变化规律为
其中ρ为空气密度、l为断面的特征长度，cd，cL分别为阻力系数和升力系数。小攻角时空气动力沿y轴的垂直分量Fy近似为

其中

cy随攻角α变化的非线性规律如图2.13所示，代入式（3.2.20）后， Fy随α的变化可近似以三次多项式模拟：

设m为线段的质量，线段两端拉力合成的弹性恢复力的刚度系数为k，风力Fy以式（3.2.18）代入，导出输电线段在风力作用下沿y轴运动的动力学方程为瑞利方程：

其中

因此输电线舞动现象可用瑞利方程的极限环解释。

3.2.4管内流体喘振
输水管道系统内的流体在一定流速范围内发生的强烈振动也是一种自激振动。拧开水龙头时自来水管内的水流与水管的耦合振动常伴随强烈的噪音。这种自激振动称为流体喘振。
利用动量定理列写管内水流的动力学方程：

管内水流的流量为q=S1v，水泵的输出水流的压强p1和阻力Fd均为流量q的函数。令

函数的实验曲线如图2.15所示。导管与容器连接处的压强p2取决于容器内的水面高度h，

设q0为容器的出水流量，则流体的连续性要求：

将方程（3.2.25）各项对t求导，并将式(3.2.26),（3.2.27）和（3.2.28）代入，化为

导出q稳态值为q=q0 ，此时进入容器与流出容器的流量完全相等，若图2.15中q0对应的函数值f(q0)恰好位于特性曲线的斜率为正的拐点处，则在q=q0附近，函数f(q)可近似表示为

令x= q-q0，方程（3.2.29）即化作范德波尔方程：

其中

因此喘振现象也可用范德波尔方程的极限环解释。在输水管道系统的设计中应避免正常流量q0与特性曲线f(q)的正斜率相对应，以防止管内流体喘振。

3.3 自激振动的定性分析
瑞利方程或范德波尔方程可产生稳定的极限环。极限环的几何形状取决于非线性参数ε的大小。当ε足够小时，系统接近线性，零斜率等倾线与y轴接近重合，极限环的形状接近于圆形，自激振动接近于简谐振动，可称为拟简谐振动。
讨论ε→∞的极限情形。引入新的变量ξ=x/ε ，将方程（1.4.3）

化为

当ε→∞时，（ ξ , y）相平面内除了零斜率等倾线上各点的斜率为零外，向量场的每一点的斜率都接近于无穷大。因此，极限环只能由零斜率等倾线的一部分与两条垂直线组成。相应的y波形为断续的，x波形为锯齿形。这种与简谐振动完全不同的周期运动称为张弛振动。

3.2.2张弛振动的物理解释
从能量观点出发，对拟简谐振动和张弛振动进行比较。ε足够小时，自振系统与保守系统十分接近。保守系统的总机械能由动能和势能组成，在振动过程中能量在动能和势能两个储能器之间周期性交换，表现为振动的简谐性。接近保守系统的自振系统的波形自然也接近简谐。当ε极大时，动力学方程的惯性项可近似地忽略，也可以认为系统总机械能中的动能部分可以忽略。系统只有一个势能储能器，因此自激振动只有两个阶段，即储能和放能。整个过程是张与弛的交替，表现为断续的张弛振动。
可用一个直观模型解释张弛振动（图3.3）。将虹吸管嵌在漏斗的塞子中，水自水龙头注入漏斗，当水位达到一定高度时，虹吸管开始作用，水由漏斗流出，待水位将到一定高度时，虹吸管停止作用，漏斗又重新积水。水量作锯齿形振荡，总流量作断续振荡。这种张弛振动可从自然界中的间歇泉中观察到。
再以干摩擦自振为例。当滑块与平台粘着时，滑块的动能固定不变，而弹簧势能不断增加，成为单储能器系统，振动为张弛性。但当弹簧恢复力大于静摩擦力时，滑块跳脱平台作相对滑动，系统又成为双储能器系统，振动接近简谐性。因此，干摩擦自振为简谐振动与张弛振动的综合。v0较大时接近于简谐振动，v0很小时接近于张弛振动。

3.3.3动态分岔
研究干摩擦自振现象时，可以发现，当平台以很大速度v0运动时，不能激发起滑块的自激振动，滑块在弹簧和干摩擦作用下，在平衡位置附近只能做衰减振动。当v0减小到某个临界值时，稳定的平衡状态突然变得不稳定而转化为自激振动。这种运动状态随参数变化而发生突变的现象称为动态分岔。上述衰减振动向自激振动的转化在相平面内对应于稳定焦点向不稳定焦点伴随极限环的转变。这种特殊的动态分岔称为霍普夫（E.Hopf）分岔。

3.4自激振动的定量计算
3.4.1谐波平衡法
自激振动的数学模型：

令范德波尔方程（1.4.2）中的参数d =1，写为

只取一次谐波，设自激振动解为

代入方程（3.4.1），化为

省略号表示超过一次的其他高次谐波。从上式导出自激振动的频率和振幅的近似值：

表明自激振动频率w的近似值等于ε=0时派生的线性系统的固有频率w0。

3.4.2平均法
令范德波尔方程（1.4.2）中d =1，写为

即
近似以派生系统的固有频率w0为自激振动的频率，令x=acos(w0 t-θ)，代入式（2.4.9），积分得到
代入方程组（2.4.8），得到

积分得到

其中a0和θ0为积分常数。

3.4.3多尺度法
为适当简化计算，令范德波尔方程（1.4.2）中的w0=1和d =1，写为

讨论二次近似解。将式（2.5.8），（2.5.4）和（2.5.5）代入方程（3.4.10），令ε的同次幂系数为零，得到以下线性偏微分方程组：

方程（3.4.11a）的解

为避免久期项出现，要求

则从方程（3.4.13）解出

将式（3.4.12）和（3.4.15）代入方程（3.4.11c）的右边，得到

为避免久期项出现，要求：

则方程（3.4.16）的解为

为确定复函数A，从条件（3.4.14）和（3.4.17）解出D1A和D2A代入式（2.5.18）

表示的A对t的导数，

得到A应满足的常微分方程：

将复函数A写成与式（2.5.20）相同的指数形式：

代入方程（3.4.20），将实虚部分开，得到

将方程（3.4.22a）两边乘以a，可化为

积分得到

整理后得到

方程（3.4.22b）可利用方程（3.4.22a）改写为

可积分得到

将式（3.4.25）和（3.4.27）代入式（3.4.21），再代入式（3.4.12），（3.4.15）和（3.4.18）等式，最终由式（2.5.8）得到范德波尔方程的二次近似解为

其中

a和θ的变化规律分别由式（3.4.25）和（3.4.27）给出。其中振幅变化规律（3.4.25）与用谐波平衡法计算的式（3.4.8）完全一致。将式（3.4.29）对t求导，设振幅保持稳态值a0，从式（3.4.22b）导出自激振动的频率为

上式为考虑二次近似精度时对自激振动的修正。用多尺度法不仅能算出振幅和频率，而且能导出近似解（3.4.28）以定量地描述自激振动的运动过程。

3.4.4 KMB法
仍令范德波尔方程（1.4.2）中的w0=1和d =1，写为

即

将代入式（2.6.14a），整理后得到

代入方程（2.6.13a），得到

周期解条件要求

解出

整理后得到

周期解条件要求

解出

继续计算至满足精度要求，得到

以及a和ψ应满足的微分方程：

与式（3.4.22）完全一致。从方程（3.4.42）积分得到与式（3.4.25）相同的振幅变化规律：

当振幅保持稳态值a0时，从式（3.4.43）导出自激振动的频率为

与多尺度法算出的式（3.4.30）完全一致。

3.5自激系统的受迫振动
3.5.1远离共振的受迫振动
动力学方程为：

利用多尺度法，只考虑一次近似，令

将式（3.5.2）和式（2.5.4），（2.5.5）代入方程（3.5.1），导出以下线性方程组：

方程（3.5.3a）的零次近似解为频率w0的自由振动解与频率w的受迫振动解叠加。其复数形式为：
其中A为表示自由振动振幅的未知复函数，L为复数形式的受迫振动振幅， 和 为A和L的共轭复数，且有

将零次近似解（3.5.4）代入一次近似方程（3.5.3b）的右边，整理后得到

从方程（3.5.6）可看出，系统在频率w的简谐激励下，除产生派生系统固有频率w0的自由振动和激励频率w的受迫振动以外，还产生3w0，3w等倍频响应，以及2w0+w，2w0-w，2w +w0，2w -w0等组合频率响应。表明系统除可产生w ≈w0时的主共振外，还可能出现w ≈3w0时的亚谐波共振，以及w ≈w0/3时的超谐波共振。对于非共振情形，为避免方程出现久期项，复函数A必须满足以下条件：

其中

由于D0A=0，从式（2.5.18）和（3.5.7）导出一次近似意义下A的微分方程：

将复函数A表示为式（2.5.20）的指数形式：

代入方程（3.5.9），将实部和虚部分开，得到以下方程组

将方程（3.5.11a）两边乘以a，化为

积分后导出

方程（3.5.11b）的积分为

将式（3.5.13）和式（3.5.14）代入式（3.5.10），再代入方程（3.5.6）的右边，可以看出，一次近似解的稳态运动取决于参数η的符号。当η<0，即F0>21/2|w02 - w2|时，随着t→∞，a趋近于零，表明自由振动趋于衰减，范德波尔方程（3.5.1）受激励后的稳态运动为w频率的受迫振动。若η>0 ，即F0<21/2|w02 - w2| ，则随着t→∞，a朝2η1/2趋近，表明稳态运动中除受迫振动以外，还包含w0频率的稳态自由振动。由于一般情况下w与w0不可通约，此稳态自由振动为非周期的。

上述大激励力引起自由振动衰减，小激励力产生稳态自由振动的结论明显不同于§2.1中关于达芬系统受迫振动的分析。达芬系统的自由振动与激励无关，而范德波尔系统由于激励引起的受迫振动会通过非线性项对运动进行反馈，从而增强了阻尼作用，使自由振动受到抑制。

3.5.2 接近共振的受迫振动
动力学方程为

由于w与w0接近，令w2=1+ εσ1。利用平均法，将方程（3.5.15）写为

其中

令x=acos(wt-θ)，代入式（2.4.24），积分得到

代入式（2.4.28），得到幅频特性关系式：

在上一节中已算出自激振动的振幅为a0=2。将上式各项除以a02w2，化为

其中

方程（3.5.20）在参数（σ，ρ）平面内作出以α为参数的幅频特性曲线（图5.1）。其中稳定区与不稳定区的分界线应满足∂W/∂ρ=0。根据式（3.5.20）算出的分界线为图5.1中的椭圆，椭圆方程为

此椭圆所围区域为不稳定区域。此外，若本征方程（2.4.32）中的系数a1<0，则稳态周期运动亦不稳定。此条件可利用式（2.4.33）对a1的定义写为

即as<21/2或， ρ<1/2。因此图（5.1）中ρ=1/2直线

在激励频率w与固有频率w0接近的过程中，当频率差w -w0减小到某个临界值时，尽管w与w0并不严格相等，仍可出现与激励频率相同且振幅足够大的稳态受迫振动。这种响应频率向激励频率靠近的现象称为同步现象。
惠更斯最早发现两只挂钟相靠近时的同步现象。在电子技术中同步现象得到实际应用，例如利用一个频率高度稳定的石英振子使一个振动系统与它同步而构成石英钟。从更普遍的意义上理解，月球的自转频率与绕地球的公转频率严格相同也可用同步现象加以解释。
月球约27天绕地球运行一周，即公转周期；月球自转周期27.32166日。我们看不见月球背面，这种现象我们称“同步自转”

3.6多自由度系统的自激振动
3.6.1电子管振荡器

范德波尔关于自激振动问题的研究来自对电子管振荡器回路的分析。图（6.1）所示的电子管振荡器由相互耦合的两个回