中考数学第一轮复习导学案之二次根式.doc

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二次根式
◆【课前热身】
1．已知是正整数，则实数n的最大值为（ ）
A．12 B．11 C．8 D．3
2．下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．最接近的整数是（　　）
A．0 B．2 C．4 D．5
4.二次根式的值是（ ）
A． B．或 C． D．
5.计算－＝____．
【参考答案】1.B 2.C 3.B 4.D 5.
◆【考点聚焦】
1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式.掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；
2.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化.
1．二次根式
式子（a≥0）叫做二次根式．
2．最简二次根式
同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．
4．二次根式的性质
①（）2=a（a≥0）； ②=│a│=；
③=·（a≥0，b≥0）； ④（b≥0，a>0）．
5．分母有理化及有理化因式
把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．
◆【备考兵法】
（本知识点涉及到的常用解题方法）
1.考查最简二次根式、同类二次根式概念.有关习题经常出现在选择题中.
2.考查二次根式的计算或化简求值，有关问题在中考题中出现的频率非常高，在选择题和中档解答题中出现的较多.
二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．
◆【考点链接】
1．二次根式的有关概念
⑴ 式子 叫做二次根式．注意被开方数只能是 ．
⑵ 最简二次根式
被开方数所含因数是 ，因式是 ，不含能 的二次根式，叫做最简二次根式．
(3) 同类二次根式
化成最简二次根式后，被开方数 几个二次根式，叫做同类二次根式．
2．二次根式的性质 ⑴ 0；
⑵ （≥0） ⑶ ；
⑶ （）；
⑷ （）.
3．二次根式的运算
(1) 二次根式的加减：
①先把各个二次根式化成 ；
②再把 分别合并，合并时，仅合并 ，
不变.
◆【典例精析】
例1 填空题：
（1）若式子有意义，则x的取值范围是_______．
（2）实数a，b，c，如图所示，化简－│a－b│+=______．

【解答】
（1）由x－3≥0及－2≠0，得x≥3且x≠7．
（2）由图可知，a<0，b>0，c<0，且│b│>│c│
∴=－a，－│a－b│=a－b，=b+c
∴－│a－b│+=c．
例2 选择题：
（1）在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．和                       B．和
C．
（2）在根式1) ，最简二次根式是（ ）
A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)
（3）已知a>b>0，a+b=6，则的值为（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】（1）∵=3，∴与不是同类二次根式，A错．
=，∴与是同类二次根，∴B正确．
∵=│a│，
∴C错，而显然，D错，∴选B．
（2）选C．
（3）∵a>b>0，∴（+）2=a+b+2=8，（－）2
=a+b－2=4
∴，故选A．
例3 (贵州安顺)先化简，再求值：，其中
【答案】
或
x=时，
【解析】遇到此种问题，要注意观察整个式子，然后合理运用分解因式的方法进行化简，得到最简式子后，代入求值.

◆【迎考精练】
一、选择题
1. (湖北武汉)函数中自变量的取值范围是（
A． B． C． D．
2. （湖北荆门）若，则x－y的值为（ ）
A．－1 B．1 C．2 D．3
3. （湖北黄石）下列根式中，不是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4. （四川眉山）估算的值( )
A．在1到2之间 B．在2到3之间 C．在3到4之间 D．在4到5之间
5. （湖南益阳）在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为 （ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6. （新疆）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
1.（河南省）16的平方根是 .
2.（山西省）计算：= ．
3.（2009年辽宁铁岭）函数自变量的取值范围是 ．
4.（广西崇左）当时，化简的结果是 ．
5.（湖北襄樊）计算： ．
6．(上海市)分母有理化： ．
7．（黑龙江大兴安岭）计算： ．
8.（广东佛山）（1）有这样一个问题：与下列哪些数相乘，结果是有理数？
A． B． C． D． E．
问题的答案是（只需填字母）： ；
（2）如果一个数与相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式
9.（福建福州）请写出一个比小的整数 .
10.（湖南湘西自治州）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2=．那么12※4=
11．（浙江嘉兴）当时，代数式的值是　　　　．
三、解答题
1.(广东梅州)计算：．

2.（湖南邵阳）在进行二次根式化简时我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
＝；（一）
＝（二）　
＝＝　（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
还可以用以下方法化简：
　＝（四）　　
（1) 请用不同的方法化简。
（2) 　参照（三）式得＝______________________________________________；
　　　‚参照（四）式得＝_________________________________________.
　（2）化简：.
3.（山东威海）先化简，再求值：，其中．

4.（2009年辽宁朝阳）先化简，再求值：，其中．

5.（湖南怀化）先化简，再求值：其中

6.（山东泰安）先化简、再求值：.

【参考答案】
选择题
1.B
2.C [解析]本题考查二次根式的意义，由题意可知，，∴x－y=2，故选C．
3.C
4.C
5.C
6.D
填空题
1. ±4 2. 3.
4. 1 【解析】二次根式的性质及绝对值的化简，，∵，∴原式=1-x+x=1
5.
【解析】本题考查二次根式的运算，，故填
6.
7.
8. （1）；
（2）设这个数为，则（为有理数），所以（为有理数）．
注：无“为有理数”扣1分；写视同
9. 答案不唯一，小于或等于２的整数均可，如：2，1等.
10.
11. 5
解答题
1. 解：．

2. 解：（1），
；
（2）原式=

=
=．
3. 解：．
当，时，
原式
4. 解：原式=
=
=．
将代入上式得原式=．
5. 解：

6. 解：原式=
=
=
=
当