中考数学第一轮复习导学案之二次函数及其图象.doc

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二次函数及其图象
◆【课前热身】
1.向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A． 第8秒 B． 第10秒 C．第12秒 D．第15秒
2.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）
4.二次函数的最小值是（ ）．
A．2 B．1 C．－3 D．
5.抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

【参考答案】
1. B
2. B
3. A
4. A
5. D

◆【考点聚焦】

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向
〖大纲要求〗
1． 理解二次函数的概念；
2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；
3． 会平移二次函数y＝ax2(a≠0)的图象得到二次函数y＝a(ax＋m)2＋k的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；
4． 会用待定系数法求二次函数的解析式；
5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系.
◆【备考兵法】
〖考查重点与常见题型〗
1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y＝(m－2)x2＋m2－m－2额图象经过原点，则m的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图象，习题的特点是在同一直角
坐标系内考查两个函数的图象，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y＝kx＋b的图象在第一、二、三象限内，那么函数y＝kx2＋bx－1的图象大致是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D
3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x＝，求这条抛物线的解析式.
4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题.
抛物线的平移
抛物线的平移主要是移动顶点的位置，将y=ax2沿着y轴（上“＋”，下“－”）平移k（k>0）个单位得到函数y=ax2±k，将y=ax2沿着x轴（右“－”，左“＋”）平移h（h>0）个单位得到y=a（x±h）2．在平移之前先将函数解析式化为顶点式，再来平移，若沿y轴平移则直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减），若沿x轴平移则直接在含x的括号内进行加减（右减左加）．

◆【考点链接】
1. 二次函数的图象和性质

＞0
y
x
O
＜0

图 象

开 口

对 称 轴

顶点坐标

最 值
当x＝ 时，y有最 　 值
当x＝ ，y有最 值
增减性
在对称轴左侧
y随x的增大而　
y 随x的增大而　
在对称轴右侧
y随x的增大而　
y随x的增大而　
2. 二次函数用配方法可化成的形式，其中
＝ ， ＝ .
3. 二次函数的图象和图象的关系.

4. 二次函数中的符号的确定.
◆【典例精析】
例1 已知：二次函数为y=x2－x+m，（1）写出它的图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；（2）m为何值时，顶点在x轴上方，（3）若抛物线与y轴交于A，过A作AB∥x轴交抛物线于另一点B，当S△AOB=4时，求此二次函数的解析式．
【分析】（1）用配方法可以达到目的；（2）顶点在x轴的上方，即顶点的纵坐标为正；（3）AB∥x轴，A，B两点的纵坐标是相等的，从而可求出m的值．
【解答】（1）∵由已知y=x2－x+m中，二次项系数a=1>0，∴开口向上，
又∵y=x2－x+m=[x2－x+（）2]－ +m=（x－）2+
∴对称轴是直线x=，顶点坐标为（，）．
（2）∵顶点在x轴上方，
∴顶点的纵坐标大于0，即>0
∴m>
∴m>时，顶点在x轴上方．
（3）令x=0，则y=m．
即抛物线y=x2－x+m与y轴交点的坐标是A（0，m）．
∵AB∥x轴
∴B点的纵坐标为m．
当x2－x+m=m时，解得x1=0，x2=1．
∴A（0，m），B（1，m）
在Rt△BAO中，AB=1，OA=│m│．
∵S△AOB =OA·AB=4．
∴│m│·1=4，∴m=±8
故所求二次函数的解析式为y=x2－x+8或y=x2－x－8．
【点评】正确理解并掌握二次函数中常数a，b，c的符号与函数性质及位置的关系是解答本题的关键之处．
会用待定系数法求二次函数解析式
例2(湖北武汉)如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．
y
x
O
A
B
C

【分析】（1）中用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）中考查象限，点关于直线的对称点求法；（3）中主要是做出正确的辅助线求解，进而求出点的坐标.
【答案】解：（1）抛物线经过，两点，

解得
抛物线的解析式为．
（2）点在抛物线上，，
即，或．
点在第一象限，点的坐标为．
y
x
O
A
B
C
D
E

由（1）知．
设点关于直线的对称点为点．
，，且，
，
点在轴上，且．
，．
即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．

（3）方法一：作于，于．
y
x
O
A
B
C
D
E
P
F

由（1）有：，
．
，且．
，
．
，，，
．
设，则，，
．
点在抛物线上，
，
（舍去）或，．
方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．
y
x
O
A
B
C
D
P
Q
G
H

．
，
又，．
，，．
由（2）知，．
，直线的解析式为．
解方程组得
点的坐标为．
◆【迎考精练】
一、选择题
1.(上海市)抛物线（是常数）的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2.(陕西省)根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 （ ）
x
…
－1
0
1
2
…
y
…
－1

－2

…
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
3.（湖北荆门）函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象可能是（ ）

A． 　B． C． 　　　　D．

4.（广东深圳）二次函数的图象如图2所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定

5.（湖北孝感）将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为
A．1 B．2 C．3 D．4
6.（天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A．　　B． C.　　D．
7.（四川遂宁）把二次函数用配方法化成的形式
A. B.
C. D.
8.(河北)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（ ）
A．40 m/s B．20 m/s
C．10 m/s D．5 m/s
二、填空题
1.（北京市）若把代数式化为的形式，其中为常数，
则= .
2.（安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为
3.（湖南郴州）抛物线的顶点坐标为__________．
4.（内蒙古包头）已知二次函数的图象与轴交于点、，且，与轴的正半轴的交点在的下方．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是 个．
y
x
O
3
x=1
5题
5.（湖北襄樊）抛物线的图象如图所示，
则此抛物线的解析式为 ．

6.（湖北荆门）函数取得最大值时，______．
三、解答题
1.（湖南衡阳）已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是（1，－2），求这个二次函数的关系式．

2.（湖南株洲）已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．
（1）求点的坐标（用表示）；
（2）求抛物线的解析式；

（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．

3.（湖南常德）已知二次函数过点A （0，），B（，0），C（）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）判断点M（1，）是否在直线AC上？
第3题
（3）过点M（1，）作一条直线与二次函数的图象交于E、F两点（不同于A，B，C三点），请自已给出E点的坐标，并证明△BEF是直角三角形．

4. (陕西省) 如图，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB＝2OA，点A的坐标是
(－1，2)．
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP＝S△ABO．

5.(湖北黄冈)新星电子科技公司积极应对世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12

（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程
（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

6.（内蒙古包头）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且时，；时，．
（1）求一次函数的表达式；
（2）若该商场获得利润为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价的范围．

7.（福建漳州）如图1，已知：抛物线与轴交于两点，与轴交于点C，经过B、C两点的直线是，连结．
（1）B、C两点坐标分别为B（_____，_____）、C（_____，_____），抛物线的函数关系式为______________；
（2）判断的形状，并说明理由；
（3）若内部能否截出面积最大的矩形（顶点在各边上）？若能，求出在边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
[抛物线的顶点坐标是]

【参考答案】
选择题
1. B
2. B
3. C
【解析】本题考查函数图象与性质，当时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，D是错的，函数y=ax＋1与y=ax2＋bx＋1（a≠0）的图象必过（0，1），所以C是正确的，故选C．
4. C
5. B
6. C
7. D
8. C
填空题
1. -3
2. ，
3. （1，5）
4. 4
【解析】本题考查二次函数图象的画法、识别理解，方程根与系数的关系筀等知识和数形结合能力.根据题意画大致图象如图所示，由与X轴的交点坐标为(-2,0)得，即 所以①正确；
由图象开口向下知，由与X轴的另一个交点坐标为且，则该抛物线的对称轴为 由a<0得b>a,所以结论②正确；
由一元二次方程根与系数的关系知，结合a<0得，所以③结论正确；
由得，而00,所以结论④正确.
点拨： 是否成立，也就是判断当时，的函数值是否为0；判断中a符号利用抛物线的开口方向来判断，开口向上a>0,开口向下a<0;判断a、b的小关系时，可利用对称轴的值的情况来判断；判断a、c的关系时，可利用由一元二次方程根与系数的关系的值的范围来判断；2a-b+1的值情况可用来判断.
5.
【解析】本题考查二次函数的有关知识，由图象知该抛物线的对称轴是，且过点（3，0），所以，解得，所以抛物线的解析式为，
故填
6.
【解析】本题考查二次函数的最值问题，可以用配方法或二次函数顶点坐标公式求出当为何值时二次函数取得最大值，下面用配方法，
，所以当时，函数取得最大值，故填
解答题
1. 解：设这个二次函数的关系式为得：
解得：
∴这个二次函数的关系式是，即
2. （1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，
∴，，所以点A的坐标是（）.
（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.
又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：
解得 ∴抛物线的解析式为
（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.
∵ ∴∽ ∴ 即，得
∵ ∴∽ ∴ 即，得
又∵
∴
即为定值8.
3. （1）设二次函数的解析式为（），
把A （0，），B（，0），C（）代入得
解得 a=2 ， b=0 ， c=－2，
∴
（2）设直线AC的解析式为 ，
把A （0，－2），C（）代入得
第3题
， 解得 ，∴
当x=1时， ∴M（1，）在直线AC上
（3）设E点坐标为（），则直线EM的解析式为
由 化简得，即，
∴F点的坐标为（）．
过E点作EH⊥x轴于H，则H的坐标为（）．
∴ ∴，
类似地可得 ，
，
∴，∴△BEF是直角三角形．
4. 解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，
则AF＝2，OF＝1．

∵OA⊥OB，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
又 ∵∠BOE+∠OBE＝90°，
∴∠AOF＝∠OBE．
∴Rt△AFO∽Rt△OEB．
∴．
∴BE＝2，OE＝4．
∴B(4，2)．
（2）设过点A(－1，2)，B(4，2)，O(0，0)的抛物线为y=ax2+bx+c．
∴解之，得
∴所求抛物线的表达式为．
（3）由题意，知AB∥x轴．
设抛物线上符合条件的点P到AB的距离为d，
则S△ABP＝．
∴d＝2．
∴点P的纵坐标只能是0或4．
令y＝0，得，解之，得x＝0，或x＝3．
∴符合条件的点P1(0，0)，P2(3，0)．
令y＝4，得，解之，得．
∴符合条件的点P3(，4)，P4(，4)．
∴综上，符合题意的点有四个：
P1(0，0)，P2(3，0)，P3(，4)，P4(，4)．
（评卷时，无P1(0，0)不扣分）
5.解：（1）当时，线段OA的函数关系式为;
当时，
由于曲线AB所在抛物线的顶点为A（4，－40），设其解析式为
在中，令x=10，得；∴B（10，320）
∵B（10，320）在该抛物线上
∴
解得
∴当时，=
综上可知，
(2) 当时,
当时,
当时,
(3) 10月份该公司所获得的利润最多,最多利润是110万元.
6. 解：（1）根据题意得解得．
所求一次函数的表达式为．
（2）

，
抛物线的开口向下，当时，随的增大而增大，
而，
当时，．
当销售单价定为87元时，商场可获得最大利润，最大利润是891元．
（3）由，得，
整理得，，解得，．
由图象可知，要使该商场获得利润不低于500元，销售单价应在70元到110元之间，而，所以，销售单价的范围是．
7. （1）（4，0），．．
（2）是直角三角形．
证明：令，则．
．
．
解法一：．
．
是直角三角形．
解法二：
，
．
．
，
．即．
是直角三角形．
（3）能．当矩形两个顶点在上时，如图1，交于．
，
．
．
解法一：设，则，，
．
=．
当时，最大．
．
，
．
，．
解法二：设，则．
．
当时，最大．
．
，
．
，．
当矩形一个顶点在上时，与重合，如图2，
，
．
．
解法一：设，，
．
=．
当时，最大．
，
．

解法二：设，
，，
，．．
=
∴当时，最大，
．．
∴
综上所述：当矩形两个顶点在上时，坐标分别为，（2，0）；
当矩形一个顶点在上时，坐标为