1、解析几何大量精选
1.在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴求轨迹的方程；
⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．
【解析】 ⑴ ．
⑵将代入曲线的方程，
整理得，
因为直线与曲线交于不同的两点和，
所以 ①
设，，则， ②
且，
显然，曲线与轴的负半轴交于点，
所以，．
由，得．
将②、③代入上式，整理得．
所以，即或．经检验，都符合条件①
当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．
即直线经过点，与题意不符．
当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点，满足题意．
2、综上，与的关系是，且直线经过定点
2. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
⑶ 在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
【解析】 ⑴．
⑵ 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．
由得． ①
设点，，则．
直线的方程为．
令，得．
将，代入整理，得．②
由①得，代入②整理，得．
所以直线与轴相交于定点．
⑶ ．
３.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心
3、率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点．
⑴ 求椭圆的方程；
⑵ 是否存在直线，使得．若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】 ⑴．
⑵ 由题意知，直线与椭圆必有两个不同交点．
①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．
②设存在直线为，且，．
由，得，
，，
，
所以，
故直线的方程为或．
本题直线的方程也可设为，此时一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．
４.如图，椭圆的离心率为轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．
⑴ 求的方程；
⑵ 设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点，直线分别与相交与．
①证明：；
②记的面积分别是．问是否
4、存在直线，使得?请说明理由．
【解析】 ⑴ ．
⑵ ①由题意知，直线的斜率存在，设为，
则直线的方程为．
由得，
设，则是上述方程的两个实根，于是．
又点的坐标为，
所以，
故，即．
②设直线的斜率为，则直线的方程为，
由，解得或，则点的坐标为．
又直线的斜率为，同理可得点的坐标为．
于是．
由得，
解得或，则点的坐标为；
又直线的斜率为，同理可得点的坐标．
于是．
因此，
由题意知，解得或．
又由点的坐标可知，，所以．
故满足条件的直线存在，且有两条，其方程分别为和．
５. 在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．
⑴ 求轨迹的方程；
⑵ 当时，求与的关系，并证明直线过定点．
【解析】 ⑴ ．
⑵将代入曲线的方程，
整理得，
因为直线与曲线交于不同的两点和，
所以 ①
设，，则， ②
且，
显然，曲线与轴的负半轴交于点，
所以，．
由，得．
将②、③代入上式，整理得．
所以，即或．经检验，都符合条件①
当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．
即直线经过点，与题意不符．
当时，直线的方程为．
显然，此时直线经过定点点，满足题意．
综上，与的关系是，且直线经过定点．
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