中考数学汇编压轴题专题13道题目(含答案).doc

中考数学精选汇编压轴题专题---13道题目
01给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P（M，O，N三点不共线，且P，O在直线MN的异侧），当∠MPN＋∠MON=180°时，则称点 P是线段MN关于点O
的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图.

在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1.
（1）如图2， ，.在A（1，0），B（1，1），
三点中, 是线段MN关于点O的关联点的是 ；
（2）如图3， M（0，1），N，点D是线段 MN关于点O的关联点.
①∠MDN的大小为 °；
②在第一象限内有一点E，点E是线段MN关于点O的关联点，
判断△MNE的形状，并直接写出点E的坐标；
③点F在直线上，当∠MFN≥∠MDN时，求点F的横坐标的取值范围．
解：（1）C； --------------2分
（2）① 60°；
② △MNE是等边三角形，点E的坐标为；--------------5分
③ 直线交 y轴于点K（0，2），交x轴于点.
∴，.
∴.
作OG⊥KT于点G,连接MG.
∵，
∴OM=1.
∴M为OK中点 .
∴ MG =MK=OM=1.
∴∠MGO =∠MOG=30°，OG=.
∴
∵,
∴ .
又，，
∴.
∴.
∴G是线段MN关于点O的关联点.
经验证，点在直线上.
结合图象可知， 当点F在线段GE上时 ，符合题意.
∵，
∴ .--------------8分

02对于平面内的⊙和⊙外一点，给出如下定义：若过点的直线与⊙存在公共点，记为点，，设，则称点（或点）是⊙的“相关依附点”，特别地，当点和点重合时，规定，（或）．
已知在平面直角坐标系中，，，⊙的半径为．
（1）如图，当时，
①若是⊙的“相关依附点”，则的值为__________．
②是否为⊙的“相关依附点”．答：__________（填“是”或否”）．
（2）若⊙上存在“相关依附点”点，
①当，直线与⊙相切时，求的值．
②当时，求的取值范围．
（3）若存在的值使得直线与⊙有公共点，且公共点时⊙的“相关依附点”，直接写出的取值范围．

【解析】（1）①．②是．
（2）①如图，当时，不妨设直线与⊙相切的切点在轴上方（切点在轴下方时同理），
连接，则，

∵，，，
∴，，
∴，
此时，
②如图，若直线与⊙不相切，设直线与⊙的另一个交点为（不妨设，点，在轴下方时同理），
作于点，则，

∴，
∵，
∴，
∴当时，，
此时，
假设⊙经过点，此时，
∵点早⊙外，
∴的取值范围是．
（3）．

03在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：若上存在一点不与重合，使点关于直线的对称点在上，则称为的反射点．下图为的反射点的示意图．

（1）已知点的坐标为，的半径为，
①在点，，中，的反射点是____________；
②点在直线上，若为的反射点，求点的横坐标的取值范围；
（2）的圆心在轴上，半径为，轴上存在点是的反射点，直接写出圆心的横坐标的取值范围．

．解（1）①的反射点是，． ………………1分
②设直线与以原点为圆心，半径为1和3的两个圆的交点从左至右依次为，，，，过点作轴于点，如图．

可求得点的横坐标为．
同理可求得点，，的横坐标分别为，，．
点是的反射点，则上存在一点，使点关于直线的对称点在上，则.
∵，∴．
反之，若，上存在点，使得，故线段的垂直平分线经过原点，且与相交．因此点是的反射点．
∴点的横坐标的取值范围是，或．………………4分
（2）圆心的横坐标的取值范围是． ………………7分

04对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形，给出如下定义：点P为图形上一点，点Q为图形上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形，的“中立点”．如果点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，那么“中立点”M的坐标为．
已知，点A(-3，0)，B(0，4)，C(4，0)．
（1）连接BC，在点D(，0)，E(0，1)，F(0，)中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是____________；
（2）已知点G(3，0)，⊙G的半径为2．如果直线y = - x + 1上存在点K可以成为点A和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；
（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y = 2x + 4上的一点，如果存在点N，使得轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”，直接写出点N的横坐标的取值范围．

解：（1）点和线段的“中立点”的是点D，点F； ………2分

（2）点A和⊙G的“中立点”在以点O为圆心、
半径为1的圆上运动.
因为点K在直线y=- x+1上，
设点K的坐标为（x，- x+1），
则x2+（- x+1）2=12，解得x1=0，x2=1.
所以点K的坐标为（0，1）或（1，0）. ………5分

（3）（说明：点与⊙C的“中立点”在以线段NC的中点P为圆心、
半径为1的圆上运动.圆P与y轴相切时，符合题意.）
x
y
x
y
所以点N的横坐标的取值范围为-6≤xN≤-2. ………8分

石景山区

05对于平面上两点A，B，给出如下定义：以点A或B为圆心，AB长为半径的圆称为点A，B的“确定圆”．如图为点A，B的“确定圆”的示意图．

（1）已知点A的坐标为，点的坐标为，
则点A，B的“确定圆”的面积为_________；
（2）已知点A的坐标为，若直线上只存在一个点B，使得点A，B的“确定圆”的面积为，求点B的坐标；
（3）已知点A在以为圆心，以1为半径的圆上，点B在直线上， 若要使所有点A，B的“确定圆”的面积都不小于，直接写出的取值范围．

．解：（1）； ………………… 2分
（2）∵直线上只存在一个点，使得点的“确定圆”的面积
为，
∴⊙的半径且直线与⊙相切于点，如图，
∴，．

①当时，则点在第二象限．
过点作轴于点，
∵在中，，，
∴．
∴．
②当时，则点在第四象限．
同理可得．
综上所述，点的坐标为或．
………………… 6分

（3）或． ………………… 8分

06 对于平面直角坐标系中的点P和线段AB，其中A(t，0)、B(t+2，0)两点，给出如下定义：若在线段AB上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为
线段AB的伴随点．
（1）当t=3时，
①在点P1（1，1），P2（0，0），P3（-2，-1）中，线段AB的伴随点是 ；
②在直线y=2x+b上存在线段AB的伴随点M、N， 且MN，求b的取值范围；
（2）线段AB的中点关于点（2，0）的对称点是C，将射线CO以点C为中心，顺时针
旋转30°得到射线l，若射线l上存在线段AB的伴随点，直接写出t的取值范围．

解：（1）①线段AB的伴随点是: . …………………2分
②如图1，当直线y=2x+b经过点（3，1）时，b=5，此时b取得最大值.
…………………………………………4分
如图2，当直线y=2x+b经过点（1，1）时，b=3，此时b取得最小值.
……………………………………………5分
∴ b的取值范围是3≤b≤5. ……………………………………6分

图2
图1

（2）t的取值范围是…………………………………………8分

07在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD是AB边的中线，DE⊥BC于E, 连结CD，点P在射线CB上（与B，C不重合）．
（1）如果∠A=30°
①如图1，∠DCB= °
②如图2，点P在线段CB上，连结DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF,连结BF，补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；
( 2 )如图3，若点P在线段CB 的延长线上，且∠A= （0°<<90°） ，连结DP, 将线段DP绕点逆时针旋转 得到线段DF,连结BF, 请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系（不需证明）．

解：(1) ①∠DCB=60°…………………………………1′

②补全图形
CP=BF …………………………………3′

△ DCP≌△ DBF …………………………………6′

（2）BF-BP=2DEtan…………………………………8′

08 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，,我们规定：如果存在点P，使是以线段MN为直角边的等腰直角三角形，那么称点P为点M、N的 “和谐点”.
（1）已知点A的坐标为，
①若点B的坐标为，在直线AB的上方，存在点A，B的“和谐点”C，直接写出点C的坐标；
②点C在直线x=5上，且点C为点A，B的“和谐点”，求直线AC的表达式.
（2）⊙O的半径为，点D为点E、F的“和谐点”，若使得△DEF与⊙O有交点，画出示意图直接写出半径的取值范围.

备用图1 备用图2

解： (1). ……………………………………………2分
‚由图可知，B
∵A(1,3) ∴AB=4
∵为等腰直角三角形
∴BC=4
∴
设直线AC的表达式为
当时，
…………………………………3分
当时，
…………………………………4分
∴综上所述，直线AC的表达式是或
(2)当点F在点E左侧时：

09在平面直角坐标系中，过轴上一点作平行于轴的直线交某函数图象于点，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线交轴于点（在线段上，不与点重合），则称为点，,的“平横纵直角”.图1为点，,的“平横纵直角”的示意图.

图1 图2

如图2，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象与轴交于点，与轴分别交于点（，0），（12，0）. 若过点F作平行于轴的直线交抛物线于点.
（1）点的横坐标为 ；

（2）已知一直角为点的“平横纵直角”，
若在线段上存在不同的两点、，使相应的点
、都与点重合，试求的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为点，连接与交于点,当时，求的取值范围．

（1）9 ………………………………………………………………… 1分
（2）方法一:
MK⊥MN，
要使线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合，也就是使以FN为直径的圆与OC有两个交点，即．
，
．
又，
． ………………………………………………4分
方法二：
，
点K在x轴的上方．
过N作NW⊥OC于点W，设，，
则 CW＝OC－OW＝3，WM＝．
由△MOK∽△NWM，
得，
∴．
∴．
当时，
，
化为．
当△=0，即，
解得时，
线段OC上有且只有一点M，使相应的点K与点F重合．
，
∴ 线段OC上存在不同的两点M1、M2，使相应的点K1、K2都与点F重合时的取值范围为． ………………………………………………………………………………4分

（3）设抛物线的表达式为：(a≠0)，

又抛物线过点F（0，），
．．
． …………………………………5分
过点Q 做QG⊥x轴与FN 交于点R
FN∥x轴
∠QRH=90°
，，
，
又，

当时，可求出，………………………………… 6分
当时，可求出． ……………………………………7分
的取值范围为． …………………………………8分

10在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为，点N的坐标为，且，，以MN为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x轴，y轴，则称该菱形为边的“坐标菱形”.
（1）已知点A（2,0），B（0,2），则以AB为边的“坐标菱形”的最小内角为_______；
（2）若点C（1,2），点D在直线y=5上，以CD为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式；
（3）⊙O的半径为，点P的坐标为(3,m) .若在⊙O上存在一点Q ，使得以QP为边的“坐标菱形”为正方形，求m的取值范围．

解：（1）60； 1
（2）∵以CD为边的“坐标菱形”为正方形，
∴直线CD与直线y=5的夹角是45°．
过点C作CE⊥DE于E．
∴D（4,5）或． 3
∴直线CD的表达式为或． 5
（3）或． 7

11P是⊙C外一点，若射线PC交⊙C于点A，B两点，则给出如下定义：若0＜PAPB≤3，则点P为⊙C的“特征点”．
(1)当⊙O的半径为1时．
①在点P1（,0）、P2（0,2）、P3（4，0）中，⊙O的“特征点”是 ；
②点P在直线y=x+b上，若点P为⊙O的“特征点”．求b的取值范围；
(2)⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于点M，N，若线段MN上的所有点都不是⊙C的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围．

(1)①P1（,0）、P2（0,2）…………………………………………………………………2分

②如图， 在y=x+b上，若存在⊙O的“特征点”点P，点O到直线y=x+b的距离m≤2.
直线y=x+b1交y轴于点E，过O作OH⊥直线y=x+b1于点H.
因为OH=2，在Rt△DOE中，可知OE=2.
可得b1=2.同理可得b2=-2.
∴b的取值范围是:≤b≤. …………………………………………………6分
(2)x>或 . …………………………………………………………………………8分

12平面直角坐标系xOy中，点，与，，如果满足，，其中，则称点A与点B互为反等点．
已知：点C(3，4)
（1）下列各点中， 与点C互为反等点；
D(3，4)，E（3，4），F（3，4）
（2）已知点G（5，4），连接线段CG，若在线段CG上存在两点P，Q互为反等点，求点P的横坐标的取值范围；
（3）已知⊙O的半径为r，若⊙O与（2）中线段CG的两个交点互为反等点，求r的取值范围．

(1)F ……1分
(2) -3≤≤3 且≠0 ……4分
(3)4 < r≤5 ……7分

13点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．
例如：如图2，以点O'为圆心，半径分别为、（都是常数）的两个同心圆、，从点O'任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为O'．
（1）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使⊙O与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；
（3）在（1）、（2）的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在⊙O与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

（1）是．
过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为D，C．
依题意可得A（k,k2）,B（2k,2k2）．……………………………………………… 2分
因此D（k,0），C（2k,0）．
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴AD∥BC．
∴．
∴两抛物线曲似，曲似比是． ………… 3分
（2）假设存在k值，使⊙O与直线BC相切．
则OA=OC=2k，
又∵OD=k，AD=k2，并且OD2+AD2= OA2，
∴k2+（k 2）2=（2k）2．
∴．（舍负）
由对称性可取．
综上，． ………………………… 6分
（3）m的取值范围是m＞1，
k与m之间的关系式为k 2=m2-1 ． ……… 8分

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