高考文科数学向量专题讲解及高考真题(含答案).doc

向 量
1.向量的概念
(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：几何表示法 ；字母表示：a；
坐标表示法 a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.
(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜.
(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.
单位向量aO为单位向量｜aO｜＝1.
(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）
(6) 相反向量：a=-bb=-aa+b=0
(7)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量.记作a∥b.平行向量也称为共线向量.
2..向量的运算
运算类型
几何方法
坐标方法
运算性质
向量的
加法
1.平行四边形法则
2.三角形法则

向量的
减法
三角形法则

,
数
乘
向
量
1.是一个向量,满足:
2.>0时, 同向;
<0时, 异向;
=0时, .

向
量
的
数
量
积
是一个数
1.时，
.
2.

3.向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：．

⑷运算性质：①交换律：；
②结合律：；③．
⑸坐标运算：设，，则．
4.向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设，，则．
设、两点的坐标分别为，，则．
5.向量数乘运算：
⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
①；
②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，．
⑵运算律：①；②；③．
⑶坐标运算：设，则．
6.向量共线定理：向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
7.平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）

8.分点坐标公式：设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当
9.平面向量的数量积：
⑴．零向量与任一向量的数量积为．
⑵性质：设和都是非零向量，则①．②当与同向时，；当与反向时，；或．③．
⑶运算律：①；②；③．
⑷坐标运算：设两个非零向量，，则．
若，则，或． 设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
⑤线段的定比分点公式：（和）
设 =（或=），且的坐标分别是，则
推广1：当时，得线段的中点公式：
推广2：则（对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC的顶点，重心坐标：
注意：在△ABC中，若0为重心，则，这是充要条件．
⑥平移公式：若点P按向量=平移到P‘，则
4．（1）正弦定理：设△ABC的三边为a、b、c，所对的角为A、B、C，则．
（2）余弦定理： （3）正切定理：
（4）三角形面积计算公式：
设△ABC的三边为a，b，c，其高分别为ha，hb，hc，半周长为P，外接圆、内切圆的半径为R，r．
①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc
②S△=Pr
③S△=abc/4R
④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA
⑤S△= [海伦公式]
⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb
[注]：到三角形三边的距离相等的点有4个，一个是内心，其余3个是旁心．
如图：图1中的I为S△ABC的内心， S△=Pr，图2中的I为S△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五个“心”；
重心：三角形三条中线交点．
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点．
内心：三角形三内角的平分线相交于一点．
垂心：三角形三边上的高相交于一点．
旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点．
（5）已知⊙O是△ABC的内切圆，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s为△ABC的半周长,即]，则：①AE==1/2（b+c-a）
②BN==1/2（a+c-b）
③FC==1/2（a+b-c）
综合上述：由已知得，一个角的邻边的切线长，等于半周长减去对边（如图4）．
特例：已知在Rt△ABC，c为斜边，则内切圆半径r=（如图3）．

（6）在△ABC中，有下列等式成立．
证明：因为所以，所以，结论！
（7）在△ABC中，D是BC上任意一点，则．
证明：在△ABCD中，由余弦定理，有①
在△ABC中，由余弦定理有②，
②代入①，化简可得，（斯德瓦定理）
①若AD是BC上的中线，；
②若AD是∠A的平分线，，其中为半周长；
③若AD是BC上的高，，其中为半周长．
（8）△ABC的判定：
△ABC为直角△∠A + ∠B =
＜△ABC为钝角△∠A + ∠B＜
＞△ABC为锐角△∠A + ∠B＞
附：证明：，得在钝角△ABC中，
（9）平行四边形对角线定理：对角线的平方和等于四边的平方和．

09-13高考真题
09.7. 函数的图像F按向量a平移到F/，F/的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时，向量a可以等于
A. B. C. D.
【答案】D
09.1. 若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=
A. 3a+b B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b
【答案】B
10.8. 已知和点M满足.若存在实使得成立，则=B
A.2 B.3 C.4 D.5
11.2． 若向量，，则与的夹角等于
A． B． C． D．
【详细解析】 分别求出与的坐标，再求出，，带入公式求夹角。
【考点定位】 考查向量的夹角公式cosθ=,属于简单题.
12.13 .已知向量,则
(1)与同向的单位向量的坐标表示为___；
(2)向量与向量夹角的余弦值为____