圆锥曲线典型高考题总结.doc

1.（2010辽宁）设椭圆：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆相交于A，B两点，直线的倾斜角为60o，．K^S*5U.C#
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）如果=，求椭圆的方程．
【解析】设，由题意知＜0，＞0.
（Ⅰ）直线的方程为，其中.
联立得
解得
因为，所以.
即
得离心率 ．
（Ⅱ）因为，所以.
由得.所以，得a=3，.
椭圆C的方程为
2.（2013安徽）如图，分别是椭圆：+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°．

（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）已知△的面积为40，求a, b 的值．
【解析】（Ⅰ）
Ⅱ）设；则
在中，

面积
3. (2014新课标1) 已知点，椭圆：的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
（Ⅰ)求的方程；
（Ⅱ）设过点的动直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程．
【解析】

（Ⅱ）

．
4.（2010安徽文）椭圆E经过点A（2,3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率
(1) 求椭圆E的方程；
(2) 求∠F1AF2的角平分线所在直线的方程.
解：（1）设椭圆E的方程为 由e=，得=，b2=a2-c2 =3c2. ∴ 将A（2,3）代入，有 ，解得：c=2, 椭圆E的方程为
（Ⅱ）由(Ⅰ)知F1（-2,0），F2（2,0），所以直线AF1的方程为 y=(X+2)，
即3x-4y+6=0. 直线AF2的方程为x=2. 由椭圆E的图形知，
∠F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数.
设P（x，y）为∠F1AF2的角平分线所在直线上任一点，
则有
若3x-4y+6=5x-10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去.
于是3x-4y+6=-5x+10，即2x-y-1=0.
所以∠F1AF2的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0.
5.(2015浙江理)已知椭圆上两个不同的点关于直线对称．
（1）求实数的取值范围；
（2）求面积的最大值（为坐标原点）．
解：（1）由题意知，可设直线的方程为.
由消去，得.
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以。 ①
将线段中点代入直线方程解得。 ②
由①②得或。
（2）令，则，且到直线的距离为。
设的面积为，所以，当且仅当时，等号成立.
故面积的最大值为.
6.（2016全国1）设圆的圆心为A，直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；
（II）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.
解：（Ⅰ）因为，，故，
所以，故.
又圆的标准方程为，从而，所以.
由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为：
（）.
（Ⅱ）当与轴不垂直时，设的方程为，，.
由得.
则，.
所以.
过点且与垂直的直线：，到的距离为，所以
.故四边形的面积
.
可得当与轴不垂直时，四边形面积的取值范围为.
当与轴垂直时，其方程为，，，四边形的面积为12.
综上，四边形面积的取值范围为.
7.（2014安徽）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点 的直线交椭圆于两点，
（Ⅰ）若的周长为16，求；

（Ⅱ）若，求椭圆的离心率．
【解析】：（Ⅰ）由得。
因为的周长为16，所以由椭圆定义可得
故。
（Ⅱ）设，则且，由椭圆定义可得

在中，由余弦定理可得

即
化简可得，而，故
于是有，
因此，可得
故为等腰直角三角形．从而，所以椭圆的离心率．
8.（2015安徽）设椭圆的方程为，点为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点在线段上，满足，直线的斜率为．
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设点的坐标为，为线段的中点，点关于直线的对称点的纵坐标为，求的方程．
【解析】（1）由题设条件知，点的坐标为，又，从而，进而得，故．
（2）由题设条件和（I）的计算结果可得，直线的方程为点的坐标为，设点关于直线的对称点的坐标为，则线段的中点的坐标为．又点在直线上，且,从而有，解得，所以，
故椭圆的方程为．
9.(2016全国3)已知抛物线C： 的焦点为F，平行于x轴的两条直线分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
（I）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
（II）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
解：由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. .....3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则
.
所以. ......5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.
当与轴垂直时，与重合.所以，所求轨迹方程为.
10.已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，
两式相减得，
即
，，
　　这就是弦中点轨迹方程。
它与直线的交点必须在椭圆内
联立，得　则必须满足，
即，解得
11. 已知是椭圆不垂直于轴的任意一条弦，是的中点，为椭圆的中心.求证：直线和直线的斜率之积是定值.
证明 设且，
则，（1），（2）
得：，
，.
又，，（定值）
12.已知,椭圆C过点A （1,）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.
（1）求椭圆C的方程；
（2）E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.
【答案】（1）；（2）.
试题分析：（1）由c=1,利用待定系数法设椭圆方程为,代入A可得椭圆方程为；（2）直线AE方程为,代入消去得,设E（,）,F（,）则由根与系数的关系得,,直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代替k,可得,,故直线EF的斜率.
试题解析：（1）由题意,c=1,可设椭圆方程为.因为A在椭圆上,所以,解得=3,=（舍去）.所以椭圆方程为.

13.（2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，过的直线交椭圆于两点，且。求四边形面积的最小值。
解  由方程可知，，则。
设直线与轴的夹角为，因为，所以直线与轴

Q
P
N
M
F
O

的夹角为。代入弦长公式得，，。故四边形的面积为，。
所以四边形面积的最小值为。
14.(全国卷II)、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
解：如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为K，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1
将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则

从而
亦即
(1)当≠0时，MN的斜率为－，同上可推得
故四边形面积
令=得
∵=≥2
当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数
∴
②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。
15.（2013全国2）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M： =1(a > b > 0)的右焦点的直线x + y - = 0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为 .
（Ι）求M的方程
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD的面积最大值.
【解】（Ⅰ）设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2)，P (x 0, y 0)
⇒⇒ = - ⇒ kAB = -
OP的斜率为 ⇒ = 2，直线x + y - = 0的斜率为-1 ⇒ kAB =-1
⇒-1= - ⇒ a2 = 2b2 ……①
由题意知直线x + y - = 0与x轴的交点F(，0)是椭圆的右焦点，则才c =
⇒a2 - b2 = 3 ……②
联立解得①、②解得a2 = 6，b2 = 3
所以M的方程为：+ = 1
（Ⅱ）联立方程组，解得A(, - )、B(0, )，求得| AB | =
依题意可设直线CD的方程为：y = x + m
CD与线段AB相交⇒ - < m <
联立方程组 消去x得：3x 2 + 4mx +2m2 - 6 = 0 …… (*)
设C (x 3, y 3)，D (x 4, y 4)，则| CD |2 = 2(x 3 - x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 - 4x 3x 4]= (9 - m2)
四边形ACBD的面积S = | AB |• | CD | =
当n = 0时，S最大，最大值为.
所以四边形ACBD的面积最大值为.