上海高考数学填选难题解析.doc

上海 2012-2015 高考填选难题解析

2015 年
13.（理）已知函数 f (x) = sin x ，若存在 x1 、 x2 、…、 xm 满足 0 £ x1 < x2 < ... < xm £ 6 ，

*
且 | f (x1 ) - f (x2 ) | + | f (x2 ) - f (x3 ) | +...+ | f (xm-1) - f (xm ) | = 12 (m ³ 2, m Î N
的最小值为 ；
【解析】根据题意，| f ( xm-1 ) - f ( xm ) | £ 2 ，如图所示，最少需要 8 个数
) ，则 m

13.（文）已知平面向量 a 、b 、c 满足 a ^ b ，且{| a |,| b |,| c |} = {1, 2, 3} ，则| a + b + c | 的 最大值是 ；
【解析】平方后可知 c 与 a + b 同向时，取最大， 情况不是很多，可以列举法，如图可得最大值为
3 + 5
14. 在锐角三角形 ABC 中， tan A = 1 ， D 为边 BC 上的点，△ ABD 与△ ACD 的面积分
2
别为 2 和 4，过 D 作 DE ^ AB 于 E ， DF ^ AC 于 F ，则 = ；
【解析】取特殊情况 AB = AC ，根据题意 DC = 2DB ，

设 DB = a ，则 DC = 2a ，∵ tan A = 1 ，∴ tan A =

5 - 2

2 2
3( 5 + 2)a 4
可表示高 h = ，∵△ ABC 面积为 6，∴ h =
2 a

即 4 = 3( 5 + 2)a ，解得 a2 =
8 ( 5 - 2) ， DE = a sin B

a 2 3
uuur uuur
DF = 2a sin B ，∴ DE × DF = 2a2 sin2 B × cos ÐEDF = 2a2 cos2 A × (- cos A) = - 16
2 15
17.（理）记方程①：x2 + a1 x +1 = 0 ；方程②：x2 + a2x + 1 = 0 ；方程③：x2 + a3x +1 = 0 ；

其中 a1 、 a2 、 a3 是正实数，当 a1 、 a2 、 a3 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 实数根的是（ ）
A. 方程①有实根，且②有实根 B. 方程①有实根，且②无实根
C. 方程①无实根，且②有实根 D. 方程①无实根，且②无实根

【解析】A 选项，方程①有实根说明 a 2 ³ 4 ，方程②有实根说明 a 2 ³ 4 ，并不能推出是递
1 2
增还是递减，也就无法得出 a 2 < 4 ；B 选项， a 2 ³ 4 ， a 2 < 4 ，说明递减，则 a 2 < 4 ，
3 1 2 3

可推出方程③无实数根；C、D 选项同理分析，均不对，故选 B；
17.（文）已知点 A 的坐标为 (,1) ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至OB，则B点纵坐标为（ ）

3 3 5 3 11 13
A. B. C. D.
2 2 2 2

【解析】设 ÐAOx = ，∴ sinq = 1 ， cosq = 4 3 ，
7 7
∴，根据题意， B 点纵坐标可表示为 7 sin(q + p ) ，
3

∴ 7 sin(q + p
) = 7 sinq × 1 + 7 cosq × 3 = 13

3 2 2 2

n *
18、设是直线（）与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 n ® ¥ 时，直线方程趋近于 2x - y = 1，与圆 x2 + y2 = 2 在第一象限的交点逐
n n n
渐靠近 (1,1) ，而 yn -1 可看作点 P (x , y ) 与点 (1,1) 连线的斜率，这两个点是越来越靠近
xn -1
的，它的斜率会逐渐接近圆 x2 + y2 = 2 在点 (1,1) 处的切线的斜率，斜率为 -1，故选 A；

2014 年
13. 某游戏的得分为1、2 、3 、4 、5 ，随机变量 表示小白玩该游戏的得分，若 E( ) = 4.2 ， 则小白得 5 分的概率至少为 ；
【解析】设得 i 分的概率为 pi ，∴ p1 + 2 p2 + 3 p3 + 4 p4 + 5 p5 = 4.2 ，
且 p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1 ，∴ 4 p1 + 4 p2 + 4 p3 + 4 p4 + 4 p5 = 4 ，与前式相减得：
-3 p1 - 2 p2 - p3 + p5 = 0.2 ，∵ pi ³ 0 ，∴ -3 p1 - 2 p2 - p3 + p5 £ p5 ，即 p5 ³ 0.2

14. 已知曲线 C : x = -
4 - y2 ，直线 l : x = 6 ，若对于点 A(m , 0) ，存在 C 上的点 P 和 l 上

的 Q 使得 AP + AQ = 0 ，则 m 的取值范围为 ；

x + x
【解析】根据题意，A 是 PQ 中点，即 m = P Q
= xP + 6 ，∵ -2 £ x

£ 0 ，∴ m Î[2, 3]

2 2 P

17. 已知 P1 (a1 , b1 ) 与 P2 (a2 , b2 ) 是直线 y = kx +1（ k 为常数）上两个不同的点，则关于 x 和
ìa x + b y = 1
y 的方程组 í 1 1 的解的情况是（ ）
îa2 x + b2 y = 1
A. 无论 k , P1 , P2 如何，总是无解 B. 无论 k , P1 , P2 如何，总有唯一解
C. 存在 k , P1 , P2 ，使之恰有两解 D. 存在 k , P1 , P2 ，使之有无穷多解

a1 b1

a b
【解析】由已知条件 b1 = ka1 +1， b2 = ka2 +1， D =
2 2
= a1b2 - a2b1 = a1 (ka2 +1) -

a2 (ka1 +1) = a1 - a2 ¹ 0 ，∴有唯一解，选 B；

ì(x - a)2 ,
ï
x £ 0

18. 设 f (x) = í 1
，若 f (0) 是 f (x) 的最小值，则 a 的取值范围为（ ）

ïx + + a,
x > 0

î x
A. [-1 , 2]

B. [-1 , 0]

C. [1 , 2] D. [0 , 2]

【解析】先分析 x £ 0 的情况，是一个对称轴为 x = a 的二次函数，当 a < 0 时，

f (x)min =
f (a) ¹
f (0) ，不符合题意，排除 AB 选项当 a = 0 时，根据图像 f (x)min =
f (0) ，

即 a = 0 符合题意，排除 C 选项；∴选 D；解这类题要熟悉图像，找出关键区别点；

2013 年
13. 在 xOy 平面上，将两个半圆弧 (x -1)2 + y2 = 1 (x ³ 1) 和 (x - 3)2 + y2 = 1 (x ³ 3) 、两 条直线 y = 1和 y = -1围成的封闭图形记为 D ，如图中阴影部分．记 D 绕 y 轴旋转一周而

成的几何体为 W ．过 (0, y) (| y |£ 1) 作 W 的水平截面，所得截面面积为
试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出 W 的体积值为 .

【解析】题目中已经给出截面面积为 4p
1- y2 + 8p ；

所以根据祖暅原理，构造一个平放的圆柱和一个长方 体（题中有提示，如下图所示），圆柱的底面半径为 1， 高为 2p ，长方体底面积为 8p ，高为 2；所以当用同 一个平面去截下图三个几何体，圆柱的截面为长方形，

长是 2p ，宽是 2 1- y2 ，所以面积为 4p
1- y2 ，长方体的截面面积始终是 8p ，根据祖

暅原理，该圆柱和长方体的体积之和即我们所求几何体的体积，易求得体积为 2p 2 +16p ；

14.（理）对区间 I 上有定义的函数 g(x) ，记 g(I ) = {y | y = g(x), x Î I}，定义域为[0, 3] 的

函数 y = f (x) 有反函数 y =
f -1 (x) ，且 f -1 ([0,1)) = [1, 2) ， f -1 ((2, 4]) = [0,1) ，若方程

f (x) - x = 0 有解 x0 ，则 x0 = ；
【解析】根据已知条件 f -1 ([0,1)) = [1, 2) ，
f -1 ((2, 4]) = [0,1) ，可知 f ([1, 2)) = [0,1) ，
f ([0,1)) (2, 4]，推出 f ([2, 3]) Í [1, 2] ，
画出如右示意图，若有解，只能 x0 = 2 ；
14.（文）已知正方形 ABCD 的边长为 1．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a1 、
a2 、 a3 ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 ．若 i, j, k, l Î{1, 2, 3} ，

且 i ¹
j ， k ¹ l ，则 (ai + a j ) × (ck + cl ) 的最小值是 .

【解析】 (ai + a j ) × (ck + cl ) =| ai + a j | × | ck + cl | ×cosq ，如下图所示，当夹角为p ，

| ai + a j |=| ck + cl |=
5 时，取得最小值 -5 ；

n
17. 在数列{an}中， an = 2
-1，若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i 行第 j 列的元素 ci, j =

ai × a j + ai + a j （ i = 1, 2,L, 7 ； j = 1, 2,L,12 ），则该矩阵元素能取到的不同数值的个数 为（ ）
A . 18 B. 28 C. 48 D. 63

【解析】 ci, j = ai × a j + ai + a j = (ai + 1)(a j + 1) -1 = 2

i+ j
-1，根据已知条件 i = 1, 2,L, 7 ，

j = 1, 2,L,12 ，∴ i + j = 2, 3,L,19 ，∴可以取到 18 个不同数值，选 A； 18.（理）在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分 别为 a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 ；以 D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 d1 、 d2 、 d3 、 d4 、 d5 ，若 m 、 M 分别为 (ai + a j + ak ) × (dr + ds dt ) 的最小值、最大值，其中{i, j, k}
Í {1, 2, 3, 4, 5}，{r, s, t} Í {1, 2, 3, 4, 5} ，则 m 、 M 满足（ ）

A. m = 0 ， M > 0
C. m < 0 ， M = 0
B. m < 0 ， M > 0
D. m < 0 ， M < 0

【解析】因为点 A 、点 D 是六边形正相对的点，∴ a1 、 a2 、 a3 、 a4 、 a5 中任三个向量
的合向量与 d1 、d2 、 d3 、d4 、 d5 中任三个向量的合向量的大致方向是相反的（至少夹角 为钝角），所以数量积是负值；选 D；这类题目，与其说是考计算，不如说是考数学感觉；

18．记椭圆＝1围成的区域(含边界)为Ωn(n＝1，2，…)，当点(x，y)分别在Ω1，Ω2，…上时，x＋y的最大值分别是M1，M2，…，则＝(　　)
A．0 B． ` C．2 D．
答案：D　椭圆方程为：，
联立x2＋(u－x)2＝42x2－2ux＋u2－4＝0Δ＝4u2－8(u2－4)≥0u2－2(u2－4)≥08≤u2u[，]，所以x＋y的最大值为，选D.

（2010 年 11 题）将直线 l1 : nx + y - n = 0 、 l2 : x + ny - n = 0 (n Î N

的封闭区域的面积记为 Sn ，则 lim Sn = ；
n®¥
* ) 、 x 轴、 y 轴围成

y x
【解析】直线先化为 l1 : x + -1 = 0 、l2 : + y -1 = 0 ，当 n ® +¥ 时，l1 趋近于直线 x = 1 ，
n n
l2 趋近于直线 y = 1，封闭区域的极限位置是一个边长为 1 的正方形，∴面积极限为 1；

（2011 年 14 题） 已知点 O(0, 0) 、Q0 (0,1) 和点 R0 (3,1) ，记 Q0 R0 的中点为 P1 ，取 Q0 P1 和
P1R0 中的一条，记其端点为 Q1 、 R1 ，使之满足 ( OQ1 - 2)( OR1 - 2) < 0 ，记 Q1 R1 的中点

为 P2 ，取 Q1 P2 和 P2 R1 中的一条，记其端点为 Q2 、 R2 ，使之满足 ( OQ2
- 2)( OR2
- 2) < 0

依次下去，得到 P1 , P2 ,L, Pn ,L, 则 lim
n®+¥
Q0 Pn
= ；

【解析】依次下去，有 ( OQn
- 2)( ORn
- 2) < 0 ，表示 OQn
、 ORn
其中一条长度大于 2，

另一条长度小于 2，当 n ® +¥ 时，它们的长度都会趋近于 2，即 OPn
的长度趋近于 2，结

合勾股定理，可知 lim
n®+¥
Q0 Pn
= 3 ；

2012 年
12．在平行四边形中，，边、的长分别为2、1，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】以向量所在直线为轴，以向量所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为，所以 设根据题意，有.
所以，所以

【点评】本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时，要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中.
13. 已知函数 y = f (x) 的图像是折线段 ABC ，其中 A(0, 0) 、 B( 1 , 5) 、 C(1, 0) ，函数
2
y = xf (x) （ 0 £ x £ 1）的图像与 x 轴围成的图形的面积为 ；
ì10x, x Î[0, 0.5]
【解析】根据题意 f (x) = í ，
î10 -10x, x Î (0.5,1]
ìï10x2 , x Î[0, 0.5]

∴ xf (x) = í
ïî10x -10x2 , x Î (0.5,1]
，画出图像，如

图所示，利用割补法，所求面积即三角形 AB¢C 的
5

面积，求得面积为
4
；或者用计算器求积分；

14.（理）如图， AD 与 BC 是四面体 ABCD 中互相垂直的棱， BC = 2 ，若 AD = 2c ，且
AB + BD = AC + CD = 2a ，其中 a, c 为常数，则四面体 ABCD 体积最大值是 ；

【解析】如图作截面 EBC ⊥ AD ，∴V = 1 S
3


V EBC

AD ，

AD = 2c ，即求截面 EBC 面积的最大值，∵ AB + BD
= AC + CD = 2a ，∴ B 、 C 在一个以 A 、 D 为焦点的 椭球上，易知当 E 为 AD 中点时， EB 和 EC 同时取到

最大值
a2 - c2 ，即截面面积最大为
a2 - c2 -1 ，即

2 2 2
体积最大为 c a - c -1 ；
3

14.（文）已知 f (x) =
1
1+ x
，各项均为正数的数列{an } 满足 a1 = 1， an+2 = f (an ) ，若

a2010 = a2012 ，则 a20 + a11 的值是 .

1

2
， a7 =
3

5

8
2

3

5

8

13

【解析】∵ a1 = 1，代入求得 a3 = ， a5 =
1


5 -1
， a9 = ， a11 = ；再根据

a2010 = a2012 =

5 -1
1+ a2010
，解得 a2010 = a2012 = 2 ，代入 an+2 = f (an ) 继续求得偶数项均
5 -1 8 13 5 + 3

为 ，∴ a
+ a = + = ；
2 20 11
2 13 26

17．设，，随机变量取值的概率均为，随机变量取值的概率也均为，若记分别为的方差，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系与的取值有关
【答案】 A
【解析】 由随机变量的取值情况，它们的平均数分别为：，
且随机变量的概率都为，所以有＞. 故选择A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提和基础，本题属于中档题.
18．设，，在中，正数的个数是（ ）
A．25 B．50 C．75 D．100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题主要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.
18.若（），则在中，正数的个数是（ ）
A．16 B.72 C.86 D.100
【答案】C
【解析】依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项.
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律，从题目出发可以看出来相邻的14项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题的能力.