理论力学虚位移原理(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,虚位移原理,虚位移原理,建立独立于牛顿力学体系的质点系平衡条件。,牛顿力学体系,矢量力学。,描述的力学量都用矢量表示,如：矢径，速度，加速度，角速度，,角加速度，力，力偶等。,分析力学体系,标量力学,。描述的物理量为标量。如广义坐标，,能量，功等。,虚位移原理以分析力学为基础，建立系统平衡的充要条件，,比牛顿力学建立的平衡条件具有更广泛的意义。,本章仅仅阐述虚位移原理在求解,静力平衡问题,中的应用。事实,上，虚位移原理建立的平衡准则还应用于动力学建立质点系统运动,与受力的关系、固体力学中物体变形的分析等。,1,质点系的位形、约束方程及分类,质点系中全部质点空间位置的坐标描述，称为该质,点系的位形。,质点系的位形可以由直角参考坐标系统确定，也可以由与质点系,自由度,对应的,广义坐标确定。,虚位移原理用于建立,约束系统,的平衡条件,2,X,Y,O,A,B,x,A,y,A,平面一般运动，,3,自由度，广义坐标：,定轴转动，单自由度，广义坐标：,x,B,y,B,3,对物体运动的限制称为约束,。用数学方程表示，称为,约束方程,。,约束与约束方程,y,滑块,滑道,质点被限制在某曲面上运动，约束方程为该曲面方程,约束方程,4,B,y,x,滑块,B,的约束方程,当,v=C,（常数）时，约束方程,或,当,v=,0时，约束方程,或,当,v,=,f,（,x,，,t,）不可积分函数时，约束方程,5,约束的分类,几何约束,：只限制质点的几何位置的约束。,运动约束,：约束方程包含质点坐标（对时间）的导数。,定常约束,：约束条件与时间无关，即约束方程中不显含时间,t,。,非定常约束,：约束条件与时间有关，即约束方程中显含时间,t,。,完整约束,：包括几何约束和可化成几何约束的运动约束。,非完整约束,：不可化成几何约束的运动约束。,理想约束,：约束力做功恒等于零的约束。,6,自由度和广义坐标,自由度,：描述在几何约束条件下质点系位形的独立参变量的个数。,对于,n,个自由质点组成的质点系,，可用,3,n,个直角坐标x,i,，,y,i,，,z,i,）,i,=1,，,2,，,3,n,，,描述每一个质点所在的位置称为质点系的位形。整,个系统有,3,n,个自由度。,对于,n,个质点组成的非自由质点系,，设其有,S,个约束方程，表明描,述质点系位形的,3,n,个直角坐标不独立。这时，可以选取独立的,k,个,参数表示质点系的位形，而,设,为描述系统位形的独立参数，称为,广义坐标。,7,X,Y,Z,两个质点组成质点系,约束方程,自由度数,广义坐标，取,8,一般地，具有,n,个质点的系统中每一个质点用矢径表示为,表示每个质点的直角坐标,注意，一般情况下，广义坐标是时间,t,的函数。,其中,即为选定的,k,个广义坐标9,约束方程,系统自由度,X,Y,取广义坐标,质点的直角坐标,:,10,实位移与虚位移,实位移：质点系发生的为约束允许的真实位移。,设一个具有,k,个自由度的，由,n,个质点组成的的质点系统，每一个,质点由矢径,r,i,表示其位置，而,r,i,可以用广义坐标表示如下：,在,t,时刻，,外力作用下,，经历无限小时间间隔,t,质点系中每一,个质点产生微小位移,d,r,i,（,i=,1,，,2,，,，,n,）。显然，表示系统位形,的广义坐标也将产生一组微小增量,dq,j,（,j=,1,，,2,，,，,k,）。称为,系统广义实位移,。满足条件,（,1,）,（,2,）,位移满足,约束条件,和,初始条件11,虚位移：在实位移概念的基础上，不考虑主动力的作用（产生位,移的动力）和初始条件，仅仅满足,约束条件,的位移。,与实位移的物理意义比较，虚位移是一种假设的、可能产生的,位移。两者的共同点是：,在一定的条件下（定常、完整约束）,实位移必是虚位移中的一组。,虚位移与时间无关，对应,k,个自由度的质点系统，质点位置矢径,虚位移表示如下：,显然，虚位移与时间无关。,12,确定系统中质点间虚位移的关系,如前所述，具有,k,个自由度的，由,n,个质点组成的质点系统，质点间的位置关系不是完全独立的，因此，每一个质点的虚位移并不完全独立。把每一个质点的虚位移用独立的广义坐标表示，分析中通常需要,建立非独立的质点虚位移之间的关系,，方法如下：,1,、,虚速度法,：方法等同于“,平面运动刚体上两点间的速度关系,”。把“点的虚位移”视为“点的速度”，应用“基点法”、“速度投影定理”和“速度瞬心法”以及“复合运动速度关系”，确定两点间的虚位移关系。,2,、,解析法,：在固定参考系中，将确定点的位置的直角坐标表示,为选定的独立广义坐标的函数，对其求,变分,。,13,A,B,C,D,E,试确定,D,、,B,、,E,、,C,点虚位移与广义坐标,的关系。,设,AD=DB=BE=EC=l,14,A,B,C,D,E,解：系统是单自由度，取,为广义坐标。,1,、解析法,X,Y,由于,AB=BC,建立图示坐标系统,15,求变分,负号表示,角增加时，虚位移方向与坐标方向相反。,16,各点虚位移关系，如,D,点虚位移与,C,点虚位移的关系,A,B,C,D,E,X,Y,17,（,2,）虚速度法,A,B,C,D,E,速度投影定理,各点虚位移方向如图,18,60,O,A,B,O,1,C,O,2,E,AB=BC=AC=O,1,B=O,2,C=OA=a,求：此瞬时,OE,的虚位移与,O,1,B,虚位移之间的关系。,19,60,O,A,B,O,1,C,O,2,E,p,虚速度法：根据约束，确定,，,方向如图,于是刚体,ABC,的速度瞬心在,p,点。确定,的方向如图,注意,各虚位移间关系,20,力和功,元功和有限功,元功,有限功,微分加,“,”,表示逆过程在某些情况（如耗散系统）中不成立。,X,Y,Z,r,F,A,B,21,特殊力系做功的计算,1,、,汇交力系合力做功,合力主矢,合力在有限路径做功等于分力在有限路径上做功之和,22,2,、内力做功,内力的特点,：,成对出现，大小相等，方向相反,M,1,M,2,X,Y,Z,F,12,F,21,r,1,r,2,r,12,设两个质点,M,1,，,M,2,相互作用力,F,12,，,F,21,则有,元功,当,M,1,与,M,2,间距不变时，即,r,12,等于常数,刚体内的两点,当,M,1,与,M,2,间距改变时，即,r,12,不等于常数,变形体内的两点,23,3,、弹性力做功,l,0,弹簧原长,k,弹簧刚度系数,定义,弹簧变形量,弹性恢复力,上式表明，弹性恢复力的方向,总与变形方向相反。,l,0,l,0,l,1,l,0,l,2,F,1,F,2,r,1,r,2,l,弹性力大小,弹性力方向,与变形方向相反,l,0,l,F,e,l,0,l,F,e,24,弹性恢复力做功,或,有限功,l,0,l,0,l,1,l,0,l,2,F,1,F,2,r,1,r,2,l,弹性恢复力,25,4,、约束力做功,光滑平面约束，柔绳约束,N,dr,由于约束力作用线与位移方向,恒垂直，因此做功恒等于零。,光滑铰链约束,固定铰约束点处位移恒等于零，因此做功恒等于零；,活动铰可移动方向约束力恒垂直，因此做功恒等于零。,中间铰处约束力做功恒等于零,自行分析,凡是约束反力做功恒等于零的约束称为,理想约束,26,有势力做功,有势力的大小和方向是位置的单值函数。如,重力,，,弹性力,，,万有引力,等都是有势力。,有势力,做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。,有势力的作用空间称为,有势力场,重力：,弹性力：,有势力作用的质点位置的改变将引起有势力做功称为,势能函数。,质点所处的空间位置,选定的参考位置（势能零点）,27,重力势能函数,：,弹性势能函数：,有势力做功等于负势能函数。,当取弹簧原长为势能零点时,物理意义是：有势力做正功时系统势能减少；,有势力做负功时系统势能增加。,28,平面运动刚体上力系做功,平面运动刚体上作用力系,F,i,(,i=,1,2,n),设,F,i,的作用点,D,i,其元功为,以刚体上一点,A,为基点,则有,于是,x,y,D,i,A,F,i,29,力系,F,i,(,i=,1,2,n),的元功,其中,力系的主矢,力系对,A,点的主矩,平面运动刚体上力系的元功,当选,A,点为,速度瞬心,p,时,30,作用于平面运动刚体上力系的有限功为,注意：对于有限功,一般不成立,特殊情况：,平动刚体,定轴转动刚体,（,设,A,为转动轴）,31,实功与虚功,实功,（广义）力在（广义）实位移上做功,。,当力系在自身引起的实位移上做功时，实功恒为正值。,当力系在非自身引起的实位移上做功时，实功可为正值，也可为负值。,虚功,（,广义）力在（广义）虚位移上做功,。,做虚功的力与位移可以毫不相关，所以虚功可以为正值，,也可以为负值。,虚功表示,对应,表示实元功,表示虚元功,虚功的计算与实元功相同。有限虚功没有意义，一般不考虑。,32,匀质圆盘重,P,，半径,R,，其轮心与一弹簧相连。弹簧刚度系数为,k,初始长度为,l,0,。系统在常力偶,M,0,作用下，在倾角为,的斜面上保,持平衡，求：系统虚元功。,M,0,P,33,l,0,l,解：,系统为单自由度，选取圆盘转角,为广义坐标。,圆盘受力分析如图，给圆盘一个微小的虚位移,P,M,0,F,e,N,F,与各力对应的虚功为1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,理想约束,纯滚动圆盘摩擦力做功等于零,（,5,）,34,M,0,P,l,0,l,建立虚位移,，,l,之间的关系,于是,系统总虚功,其中,35,虚位移原理（虚功原理）,具有定常、完整、理想约束的质点系，保持静止平衡的充分,必要条件是：,作用于质点系的主动力在平衡位置附近的虚位移上,所做的虚功之和等于零,。,与牛顿力学不同之处在于，虚位移原理给出质点系统,（包括刚体系统）保持平衡的充分必要条件。,36,虚位移原理在求解静力学平衡问题中的应用,mg,mg,M,A,B,圆盘半径,R,，,AB,杆长,l,，,杆与墙面光滑接触，圆盘做纯滚动。,在杆处于水平位置时保持平衡。,求：所加力偶,M,的大小。,37,mg,mg,M,A,B,C,解：,各主动力作用点的虚位移如图,p,虚功,mg,A,B,C,p,38,mg,mg,M,A,B,C,p,虚位移之间的关系,代入虚功方程,系统虚元功,39,虚位移原理,得,于是,mg,mg,M,A,B,C,p,40,设：,AE=AB,=,l,，,DB=CE=2l,，初始位置角度为,0,，,E,点只能,沿,Y,轴运动，弹簧刚度系数为,k,，当,=,0,时，弹簧为原长。,求：保持平衡状态时,P,、,Q,与的关系。,A,B,C,D,E,X,Y,P,Q,41,X,Y,A,B,C,D,E,P,Q,解：应用解析法,A,点纵坐标：B,点横坐标：,C,点横坐标：,求变分（给一个虚位移,）,42,求虚功,A,B,C,D,E,X,Y,P,Q,弹性力虚功，设,方向如图,F,e,F,e,43,虚位移原理,44,已知,:,OA,=,AB,=,l,C,为,AB,中点,弹簧,OB,的刚度系数为,k,。,AB,上作用,主动力偶,M,和主动力,F,方向垂直向上,作用点,C,，不计杆件自重。,设系统在图示位置处于平衡状态,求弹簧变形量。,30,M,F,O,A,B,C,45,解,:,系统单自由度,其中,AB,作平面一般运动,p,为速度瞬心,30,M,F,O,A,B,C,p,以,AB,杆转动角,为广义坐标,写出,M,F,和,F,e,所做的虚功虚位移原理,:,46,虚位移原理用于求解约束反力,a,a,a,P,b,M,A,B,C,D,试求图示结构,A,截面的约束反力。,47,a,a,a,P,b,M,A,B,C,D,F,Ax,F,Ay,M,A,解：,A,截面约束反力如图。结构自由度为零，为求解约束反力，,逐个解除对应约束反力的约束。,48,F,Ax,a,a,a,P,b,M,A,B,C,D,求解,F,Ax,解除对应约束后，给一个与,F,Ax,对应的虚位移,各点虚位移,系统虚功,49,a,a,a,P,b,M,A,B,C,D,F,Ay,p,解除对应,F,Ay,的约束，给一个与之对应的虚位移,对应各力虚功,注意各点虚位移之间的关系,虚功方程,50,解除与,M,A,对应的约束，各点虚位移如图,a,a,a,P,b,M,A,B,C,D,M,A,虚功方程,即,虚位移间的关系,51,应用虚位移原理求解静力学平衡问题分析过程,1,）,确定系统自由度数，选定与之对应的广义坐标。,若求解约束力（这时系统自由度数为零），则放松与之,对应的约束，代之以约束力并将其视为主动力。,3,）,给广义坐标一个虚位移,q,j,，建立与（广义）主动力对应的（广义）虚位移,r,p,和,q,j,的关系,。,4,）,求（广义）主动力在对应的（广义）虚位移,r,p,上做的虚功。,5,）,建立系统虚功方程。,2,）,分析系统中每一个刚体（约束许可）的运动状态。,52,PA,B,C,D,E,K,a,a,a,a,求图示结构,C,截面的约束反力,53,P,A,B,C,D,E,K,a,a,a,a,X,C,解：,1,）求,C,截面水平约束力,放松,C,截面水平方向约束，代之以约束力,X,C,54,P,A,B,C,D,E,K,a,a,a,a,r,C,r,B,给,C,截面水平方向一个虚位移,r,C,B,点虚位移,r,B,方向如图,B,点为,CB,杆速度瞬心，即,r,B,=0,于是,D,点虚位移,r,D,方向如图,r,D,AB,杆不动，,DK,杆,E,点虚位移,r,E,方向如图,r,E,C,为,DK,杆速度瞬心，,DK,杆,角位移,DK,DK,虚功方程,即,大小,55,PA,B,C,D,E,K,a,a,a,a,Y,C,求,C,截面垂直约束力,Y,C,放松,C,截面垂直方向约束，代之以约束力,Y,C,56,A,点为,CB,杆速度瞬心，于是,D,点虚位移,r,D,方向如图,另一方面，由基点法,给,C,截面垂直方向一个虚位移,r,C,B,点虚位移,r,B,方向如图，,？,？,于是,P,A,B,C,D,E,K,a,a,a,a,r,B,r,C,r,ED,r,D,注意：,E,点虚位移,（,AB,建动系，,DK,杆上,E,为动点）,57,向,轴投影：,解出：,注意：,得：,于是,A,P,K,r,ED,D,E,r,D,45,58,虚功方程,P,A,B,C,D,E,K,a,aa,a,r,C,Y,C,r,Ky,r,D,59,有势力场中质点系的平衡条件和平衡的稳定性,有势力,做功仅与力作用的起止位置有关而与移动路径无关。,当系统所受主动力为有势力，系统将具有势能,V,，并且有势力做功,W,与势能,V,有关系,V=,-,W,如：重力势能,弹性势能,符号的意义是：弹簧变形量,1,2,时弹性势能为正,势能增加,;,反之势能减小。,60,有势力与势能函数的关系,n,个质点组成的质点系受,有势力,作用，则势能可以表示为质点,位置的单值函数，即,第,i,个质点上作用的有势力,F,i,或写成广义坐标形式,k,为系统自由度数,61,则,F,i,在广义坐标,q,j,的虚位移上做,虚功这时，给系统一个虚位移,称,为对应广义坐标,q,j,的广义力,系统总虚功,62,系统总虚功,虚位移原理,由于,的任意性，有,即，建立,k,个独立的方程,有势力场中非自由质点系的平衡条件,63,平衡的稳定性（对单自由度系统）,V=V,（,q,）,势能函数,1,）稳定平衡,且,V,取极小值,2,）非稳定平衡,且,V,取极大值,3,）随遇平衡,且,V,各阶导数等于零,最小势能原理,64,质量块,D,质量为,m,，弹簧刚度系数,k,，初始变形,0,，杆长,BD=a,AB=BC=b,。求,BD,杆处于垂直位置，且系统为稳定平衡时弹簧,刚度系数,k,=,？,A,B,C,D,m,a,b,b,65,解：系统为单自由度保守系统。取平衡（,AC,水平,BD,垂直）位置为势能零点，取广义坐标,。,A,B,C,D,m,a,b,b,系统势能,由,当,时满足,稳定平衡条件,有,66,