概率论第一章习题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,作业习题解答,教材：盛骤 等,概率论与数理统计,第,4,版,.,高等教育出版社,2008,概率论与数理统计,1,第,1,章 概率论的基本概念,习题,3(1),3(1),设,A,B,C,是三个事件,，,且,P,(,A,)=,P,(,B,),=P,(,C,),=,1/4,P,(,AB,),=P,(,BC,),=,0,P,(,AC,),=,1/8,求,A,B,C,至少有一个发生的概率,。,解：利用三个事件的加法公式,P,(,A,B,C,),=P,(,A,),+P,(,B,),+P,(,C,),P,(,AB,),P,(,AC,),P,(,BC,),+P,(,ABC,),其中,P,(,ABC,),=P,(,C|AB,),P,(,AB,),=,0,故,P,(,A,B,C,),=,1/4+1/4+1/4,1/8=5/8,2,第,1,章 概率论的基本概念,习题,3(2),3(2),已知,求,的概率。,利用德摩根律和逆事件概率可得：,解：由加法公式可得,P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C),P(AB),P(AC),P(BC)+P(ABC)=17/20,P(AB)=P(A)+P(B),P(AB)=1/2+1/3,1/10=11/15,3,第,1,章 概率论的基本概念,习题,3(2),利用差事件概率可得,由加法公式可得,或利用条件概率的乘法定理可得,或,4,3.(3),已知,P(A)=1/2,(a),若,A,B,互不相容，求,(b),若,P(AB)=1/8,求,若,A,B,互不相容，则,P(AB)=0,故,(a),(b),解：利用差事件概率可得,第,1,章 概率论的基本概念,习题,3(3),5,第,1,章 概率论的基本概念,4.,设,A,B,是两个事件,.,(1),已知,验证,A,=,B,习题,4(1),证：,方法一,6,第,1,章 概率论的基本概念,4.,设,A,B,是两个事件,.,(1),已知,验证,A,=,B,习题,4(1),方法二,利用,分配律,可得，上式等价于,即,7,第,1,章 概率论的基本概念,习题,4(2),(2),验证事件,A,和事件,B,恰有一个发生的概率为,P,(,A,)+,P,(,B,),2,P,(,AB,),4.,设,A,B,是两个事件,.,证：,“A,B,恰有一个发生”,空集,方法一,8,第,1,章 概率论的基本概念,习题,4(2),(2),验证事件,A,和事件,B,恰有一个发生的概率为,P,(,A,)+,P,(,B,),2,P,(,AB,),4.,设,A,B,是两个事件,.,方法二,“,事件,A,，,B,都发生”,=,AB,“,事件,A,B,都不发生”,=,“,事件,A,B,恰有一个发生”,=,9,5.10,片药片中有,5,片是安慰剂,.(1),从中任意抽取,5,片，求其中至少有,2,片是安慰剂的概率,.(2),从中每次取一片，作不放回抽样，求前三次都取到安慰剂的概率,.,解,(1):,这属于经典概型的组合问题,令,Ai=“,取到的,5,片中有,i,片是安慰剂”，,i=0,1,2,3,4,5,，它们是互不相容的。,根据概率的有限可加性，所求概率为,则,且,(2),令,Ai=“,第,i,次取到的是安慰剂”,利用条件概率的乘法定理可得,或,第,1,章 概率论的基本概念,习题,5,10,第,1,章 概率论的基本概念,习题,6(1),6.,在房间里有,10,个人，分别佩戴从,1,号到,10,号的纪念章，任选,3,人记录其纪念章的号码,.,(1),求最小号码为,5,的概率,.,解：,样本空间的基本事件总数目为,最小号码为,5,，则另外,两个,号码只能在,6,，,7,，,8,，,9,，,10,共,5,个号码中任选,，故：,事件“最小号码为,5”,包含的基本事件数目为,P“,最小号码为,5”=,11,第,1,章 概率论的基本概念,习题,6(2),6.,在房间里有,10,个人，分别佩戴从,1,号到,10,号的纪念章，任选,3,人记录其纪念章的号码,.,(2),求最大号码为,5,的概率,.,P“,最大号码为,5”=,解：分析方法同,(1),可得,12,8.,在,1500,件产品中有,400,件次品，,1100,件正品，任取,200,件,.(1),求恰有,90,件次品的概率,.(2),求至少有,2,件次品的概率。,解,(1),这属于经典概型的组合问题,恰有,90,件次品的概率,(2),令,Ai=“,取出的,200,件产品中有,i,件次品”，则所求概率为,第,1,章 概率论的基本概念,习题,8,13,第,1,章 概率论的基本概念,习题,14,（,1,）,14.(1),已知 求条件概率,解：,(1),(2),(3),(2)(3),代入,(1),可得,14,第,1,章 概率论的基本概念,习题,14,（,2,）,14.(2),已知,P,(,A,)=1/4,P,(,B,|,A,)=1/3,P,(,A,|,B,)=1/2,求,P,(,A,B,).,解：由已知条件可得,于是,15,21.,已知男子有,5%,是色盲患者，女子有,0.25%,是色盲患者,.,今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲者,.,问此人是男性的概率是多少,?,解：设,A=“,任选一人为男性”，,B=“,任选一人为色盲”,则由题意知：,利用全概率公式可得,第,1,章 概率论的基本概念,习题,21,再根据贝叶斯公式可得所求概率为,16,第,1,章 概率论的基本概念,习题,22,22.,一学生接连参加同一课程的两次考试,.,第一次及格的概率为,p,若第一次及格则第二次及格的概率也为,p,;,若第一次不及格则第二次及格的概率为,p,/2.,(1),若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率,.,(2),若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率,.,解：,令,A,i,=“,第,i,次考试及格”，,i,=1,2,由题给条件可知,可得,，,17,第,1,章 概率论的基本概念,习题,22,(1),(2),18,第,1,章 概率论的基本概念,习题,24,24.,有两箱同种类的零件，第一箱装,50,只，其中,10,只一等品；第二箱装,30,只，其中,18,只一等品,.,今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样,.,求第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率,.,解：设,A,=“,第一次取到的是一等品”，,B,=“,第二次取到的是一等品”，,C,=“,零件来自第一箱”,.,根据全概率公式可得,19,第,1,章 概率论的基本概念,习题,24,也可以这样：,注意：,20,34.,试分别求以下两个系统的可靠性,:,(1),设有,4,个独立工作的元件,1,，,2,，,3,，,4.,它们的可靠性分别为,p1,p2,p3,p4,将它们按图,1,方式连接,.(2),设有,5,个独立工作的元件,1,，,2,，,3,，,4,，,5.,它们的可靠性均为,p,将它们按图,2,方式连接,.,解：令,Ai=“,元件,i,正常工作”,图,1,1,2,3,4,图,2,1,2,3,4,5,(1),利用加法公式可得,交换律及,由独立性,(2),解法,(,一,),列举出系统正常工作的各种可能情况,第,1,章 概率论的基本概念,习题,34,21,套用多个事件的加法公式可得,图,2,1,2,3,4,5,(2),解法,(,二,),令,A=“,系统正常工作”,则,第,1,章 概率论的基本概念,习题,34,22,(2),解法,(,三,),令,A=“,系统正常工作”。,根据全概率公式可得,其中,故,图,2,1,2,3,4,5,第,1,章 概率论的基本概念,习题,34,23,(2),解法,(,四,),令,A=“,系统正常工作”，则,其中,所以,图,2,1,2,3,4,5,第,1,章 概率论的基本概念,习题,34,24,