有向曲面及曲面元素的投影.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,20.4,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,第二类曲面积分,一、有向曲面及曲面元素的投影,曲面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(,单侧曲面的典型,),观察以下曲面的侧,(,假设曲面是光滑的,),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,设曲面 是光滑曲面，是曲面上任一定点曲面,在点 处有一条法线，它有两个可能的方向，选择,其中之一为指定的法线方向，记为 又设,L,是光滑,曲面 上过点 且不越过曲面边界的任意闭曲线，从,而，当动点,M,从 出发沿闭曲线,L,连续移动时，曲面,在点,M,的法线方向也随之连续变动若,M,回到 时,得到的法线方向与 一致，则称光滑曲面 为双侧曲面；,若存在这样一条闭曲线，当点,M,沿这条闭曲线移动后,再回到点 时得到的法线方向与 相反，则称曲面,为单侧曲面,曲面的分类,:,1.,双侧曲面,;,2.,单侧曲面,.,典型双侧曲面,莫比乌斯带,典型单侧曲面:播放,方向余弦,0,为前侧,0,为右侧,0,为上侧,0,为下侧,外侧,内侧,侧的规定,表示,:,其方向用法向量指向,指定了侧的曲面叫有向曲面,曲面法向量的指向决定曲面的侧,.,曲面的投影问题,:,在,xoy,面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,大家有疑问的，可以询问和交流,可以互相讨论下，但要小声点,二、概念的引入,实例,:,流向曲面一侧的流量,.,1.,分割,则该点流速为,.,法向量为,.,2.,求和,3.,取极限,三、概念及性质,被积函数,积分曲面,类似可定义,设,为光滑的有向曲面,在,上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P,Q,R,叫做,被积函数,;,叫做,积分曲面,.,或第二类曲面积分,.,下列极限都存在,向量场,若对,的任,则称此极限为向量场,A,在有向曲面上对坐标的曲面积,定义,.,引例中,流过有向曲面,的流体的流量为,称为,Q,在有向曲面,上,对,z,x,的曲面积分,;,称为,R,在有向曲面,上,对,x,y,的曲面积分,.,称为,P,在有向曲面,上,对,y,z,的曲面积分,;,存在条件,:,组合形式,:,物理意义,:,性质,:,四、计算法,(,一投,二代,三定号,),注意,:,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧,.,解,例,2,：计算曲面积分其中 是长方体 的整个表面积的外侧,五、两类曲面积分之间的联系,两类曲面积分之间的联系,向量形式,例,3.,设,是其外法线与,z,轴正向,夹成的锐角,计算,解,:,解,六、小结,1.,对坐标曲面积分的物理意义,2.,对坐标曲面积分的计算时应注意以下两点,a.,曲面的侧,b.“,一投,二代,三定号”,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,莫比乌斯带,4 第二曲面积分,曲面的侧,设一光滑曲面 的方程为,其中 是 平面上某一区域 内的连续函数，且在 内有连续偏导数,这样曲面在每一点都有切平面，从而在每一点都有确定的法线。曲面,S,的法线方向余弦为,由假设，方向余弦是点的坐标 的连续函数，从而曲面上的法线方向是随点的位置而连续移动的。如在根式前选定一个符号，就等于在曲面上全部点确定了法线方向。因此，根式全符号的选择正好确定了曲面的一侧。对 而言，若选取正号，则 即法线与正向 轴的夹角 为锐角，今后把这样确定的一侧称为上侧，若选取负号，则所确定的一侧叫下侧，在下侧，法线与正向 轴的夹角 为钝角若光滑曲面,S,的方程为 或 ，同样可以确定曲面的左侧和右侧，或前侧和后侧。现在考虑更一般的用参数方程 表示,的非闭的光滑曲面 ，且设这些好书的 平面上某一有界区域 内有连续偏导数。此外，设 上没有重点，也就是 与,S,的点是一一对应的。于是曲面的法线方向余弦为,其中 还要假设 上无奇点，即 在任一点不同时为零。注意 都是在 内的连续函数，从而法线方向随点的位置连续移动，因此和上面情况一样，根式前符号的选择就确定曲面的一侧。,二、第二类曲面积分的定义,设 是光滑曲面，预先给定了曲面的侧，亦即预先给定曲面 上的单位法向量 ，又设 是一个向量,其中 都是连续函数。,按照流体通过曲面流量的步骤，将 分为许多有向小块 ，在 内任取一点 ，作向量 ，再作和式 令 ，如果极限,存在，并且此极限与点 的,选取无关，又与 的划分无关，则称它是,性质,即第二类曲面分沿不同的侧将改变符号由于,又可将 写为,其中 分别是 在 的投影，它们是带有符号的。例如当面选取为上侧时有 ，当选取下侧时有 ，再如当曲面选取为右侧时有 ，当选取左侧有 ，等等。这时，第二类曲面积分可写为,若记曲面的单位法向量 为,则有,三、两类曲面积分间的联系,由上面的讨论知道，第一类曲面积分与第二类曲面积分有下列关系式,或者,上面两个关系式的左端是第二类曲面积分，右端是第一类曲面积分。,四、第二类曲面积分的计算,计算第二类曲面积分,需视曲面 如何表示而定。,1,曲面 表示为,若曲面 的方向选取为上侧，则,右端是一个二重积分。若曲面 的方向选取为下侧，则,2,曲面 表示为 则,右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为,右侧则选取“,+”,，若 为左侧则选取“,-”,。,3,曲面 表示为,则,右端是一个二重积分，其符号的选取为：若 为前侧则选取”,+“,，若 为后册则选取”,-“,4.,若曲面 表示为,由二重积分变量代换知道,上面三个式子的右端都是二重积分，其符号的选取为：若 的侧为上侧，则（,3,）式右端的符号选取“,+”,，否则为“,-”,，若 侧为右侧，则（,2,）式右端的符号取“,+”,，否则为“,-”,，若 的侧为前侧，则（,1,）式右端的符号取“,+”,，否则取“,-”,。,以上所得结果都可推广到更一般情况，即曲面 为一片一片的有限个光滑曲面所合成，这时沿曲面 的积分等于沿这有限个光滑曲面的积分之和。,例一 计算 ，是四面体 所成的曲面（图,21-12,），且设积分是沿曲面的外侧。,例二 计算 ，其中 是球面 ，且设积分是沿球面外侧。,例三计算积分,其中 是椭球面 的上半部，且设积分沿椭球面的上侧。,