信号与线性系统-ppt课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,信号与线性系统,第一章 绪论,一、信号,1,.,定义,:,信号,:,随时间变化的物理量。,电信号,:,随时间变化的电量。,信号,=,函数,2.,分类,:,(,实验室信号,),确定信号,:,函数值与时间有相应的,关系。,（实际信号）随机信号,:,函数值与时间有不确定,性。但已知概率。,(,模拟信号,),连续信号：随时间连续变化的信号。,(,数字信号,),离散信号：断续变化。,周期信号：重复变化的信号。,非周期信号：,能量信号：总能量为有限值，平均功率为,0,。,功率信号：平均功率为有限值，总能量为,周期信号都是功率信号。非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。,3.,分析方法：,时域分析法、频域分析法。,二、系统,1.,定义：,广义：是一个由若干互有关联的单元组成的具,有某种功能以用来达到某些特定目的,的有机整体。,狭义：电子系统是各种不同复杂程度的用作信,号传输与处理的元件或部件的组合体。,通俗：系统是规模更大、更复杂的电路。,2.,分类：,线性系统：由线性元件组成的系统。,非线性系统：由非线性元件组成的系统,线性系统,线性系统具有：齐次性、叠加性,激励,e,（,t,）响应,y,（,t,）,齐次性,ke,（,t,）,ky,（,t,）,叠加性,e,1,(t),、,e,2,(t)y,1,t),、,y,2,(t),e,1,（,t,）,+e,2,（,t,）,y,1,（,t,）,+y,2,（,t,）,线性系统：,k,1,e,1,(t)+k,2,e,2,(t)k,1,y,1,(t)+k,2,y,2,(t),非时变系统：含有参数不随时间变化的元,件组成的系统。如,R,、,L,、,C,时变系统：如变容二极管,e,（,t,）,y,（,t,）,e,（,t-t,0,）,y,（,t-t,0,）,线性时不变系统：,k,1,e,1,(t-t,1,)+k,2,e,2,(t-t,2,)k,1,y,1,(t-t,1,)+k,2,y,2,(t-t,2,),连续时间系统：传输、处理连续信号。,离散时间系统：传输、处理离散信号。,集总参数系统：,分布参数系统：,本课程研究的系统是：,集总参数线性非时变 连续时间系统,离散时间系统,3.,分析方法：,系统分析步骤：建模 分析 物理解释,（,1,）时域分析法,:,求解 微分方程（连续信号）,差分方程（离散信号）,古典时域法：全解,=,通解,+,特解,近代时域法：全响应,=,零输入响应,+,零状态响应,卷积积分法,（解齐次方程）（解非齐次方程）,y,（,t,）,=,y,zi,（,t,）,+,y,zs,（,t,）,（,2,）变域法：,连续信号 频域分析法（傅里叶变换）,复频域分析法（拉普拉斯变换）,离散信号,Z,域分析法（,Z,变换）,频域分析法（离散傅立叶变换）,第二章 连续时间系统的时域分析,2.2,系统方程的算子表示法,一般式,:,（,p,n,+a,n-1,p,n-1,+,+a,1,p+a,0,）,y(t,)=,(b,m,p,m,+b,m-1,p,m-1,+b,1,p+b,0,)e(t),令,:D(P)=p,n,+a,n-1,p,n-1,+,+a,1,p+a,0,N(P)=b,m,p,m,+b,m-1,p,m-1,+b,1,p+b,0,所以转移算子,:,H(P)=,齐次方程为,D(p)y(t)=0,非齐次方程为,y(t)=H(p)e(t),2.3,系统的零输入响应,零输入响应,:,e(t,)=0,，响应由初始状态,y(0),、,y,(0)决定,齐次方程：,D(p)y(t,)=0,所以,D(p,)=p,n,+a,n-1,p,n-1,+,+a,1,p+a,0,=0,讨论：,1.,一阶齐次方程,:,(,p-,)y(t,)=0,p-,=0,，,为特征根,解为,y(t,)=,Ce,t,，,C=y,（,0,）,2.,二阶齐次方程,:,(p,2,+a,1,p+a,0,),y(t,)=0,即,(p-,1,)(p-,2,)=0,，,p-,1,=0,，,p-,2,=0,解为,y,（,t,）,=,C,1,e,1,t,+C,2,e,2,t,y,（,0,）,=C,1,+C,2,y,（,0,）,=C,1,1,+C,2,2,，求出,C,1,、,C,2,3n,阶齐次方程：,p33p34,4.,重根的齐次方程,:,(,p-,),k,y(t,)=0,解为,y(t,)=(C,0,+C,1,t+,C,k-1,t,k-1,)e,t,一般,k=2,y(t,)=(,C,0,+C,1,t),e,t,y(0)=C,0,y,(0)=C,1,+C,0,，,求出,C,0,、,C,1,例：在前,RLC,串联电路中，,L=1H,，,C=1F,，,R=2,，,e(0)=0,，初始条件,:,（,1,）,i(0)=0,i,(0)=1,；,（,2,）,i(0)=0,，,Uc(0)=10V;,(3),若,R=1,，,i(0)=0,i,(0)=1,；,分别求零输入响应,i(t,),e(t,),c,R,L,i(t,),2.4,奇异函数,奇异函数 单位阶跃函数,(t,),单位,冲激函数,(t,),(t,)=1,，,t,0,(t,)=1,，,t=0,(t,)=0,，,t 0,(t,)=0,，,t0,关系：,d(t)/dt,=,(t,),(,）,d,=,(t,),0,1,t,t,(1),0,(t,),(t,),(t,）,dt,=1,(t,）,f,（,t,）,dt,=f,（,0,）,(t-t,1,）,f,（,t,）,dt,=f,（,t,1,）,(t)dt,=,t(t),(t,),积分是斜变函数,d(t,）,/,dt,=,(t),(t,),的导数是冲激偶函数,t,f(t),0,t,0,(t,),(1),(-1),2.5,信号的时域分解,1.,几种特殊信号的分解,举例,:,2.,任意函数的分解,表示成阶跃函数的积分,:,f(t)=f(0),(t,)+,f,()(t-)d,表示成冲激函数的积分,:,f(t)=,f()(t-)d,分解成单位阶跃分量之和,f(t,),t,f(0),f,1,(t),t,f,0,(t),分解成冲激脉冲分量之和,f(0),f,1,(t),f(t,),t,t,2.6,冲激响应,e(t,),y(t,),e,(t,),y,(t,),e(t)dt,y(t)dt,(t,),h(t,),(t,),y,(t,),h(t,),的求法,:,1.,y(t,)=,H(p)e(t,),h(t,)=,H(p)(t,)=,线性时不变,线性时不变,(t,),讨论,:,(1),当,n,m,时,h(t,)=,(t,),其中,h,1,(t)=,(t,),解,h,1,(t)=,k,1,e,1,t,(t),解,重根解为,h,1,(t)=k,1,te,1,t,(t,),所以,h(t,)=,k,i,e,i,t,(t,),(2),当,n=m,时,h(t,)=,b,m,(t,)+,k,i,e,i,t,(t,),(3),当,n,m,时,h(t,)=,k,i,e,i,t,(t)+(t,),项,+,(m-n),(t,),各阶导数,2.(,p,n,+a,n-1,p,n-1,+,+a,1,p+a,0,),h(t,)=,(t,),即,h,(n),(t)+a,n-1,h,(n-1),(t)+,+a,1,h(t),+a,0,h(t,)=,(t,),对上式两边在,0,+,0,-,范围取积分,h,(n),(t)dt,+a,n-1,h,(n-1),(t)dt+,+a,0,h(t)dt,=1,其中,h,(n-1),(0,-,)=h,(n-2),(0,-,)=,=,h,(0,-,)=h(0,-,)=0,h,(n-2),(0,+,)=,=,h,(0,+,)=h(0,+,)=0,h,(n-1),(0,+,)=1,对于二阶微分方程有,h,(0,+,)=1,h(0,+,)=0,例,1.,有微分方程,y,”(t,)+4y(t)+4y(t)=,e(t,),，,求此系统的冲激响应,h(t,),。,例,2,若微分方程,y,”(t,)+4y(t)+4y(t)=,e(t,)+3e(t),，,求此系统的冲激响应,h(t,),。,例,3,y,”(t,)+4y(t)+4y(t)=2e”(t),+9e(t)+11e(t),再求此系统的冲激响应,h(t,),。,例,4,已知电路如图所示，求,h(t),。,+,-,e(t,),1,1,1H,u(t,),+,-,1F,2.7,叠加积分,e(t,),y(t,)=,H(p)e(t,),e(t,),y(t,)=,h(t,)*,e(t,),卷积积分的数学表示式,:,y(t)=e(t)*h(t)=h(t)*e(t),=,e()h(t-)d,或,=,h()e(t-)d,卷积图解法、卷积表法,H(p,),h(t,),卷积的图解,t,t-2,卷积的数值计算,0,。,82 0,。,67 0,。,55 0,。,45 0,。,37,-1,。,8 6,。,8 9,。,8 8,。,3 2,。,0,2,。,0 8,。,3 9,。,8 6,。,8 -1,。,8 -4,。,8,卷积的数值计算,E(t,),h(t,)0,。,82 0,。,67 0,。,55 0,。,45 0,。,37,2,。,0 1.64 1.34 1.10 0.90 0.74,8,。,3 6.806 5.561 4.565 3.735 3.071,9,。,8 8.036 6.566 5.39 4.44 3.62,6,。,8 5.576 4.623 3.74 3.06 2.516,-1,。,8 -1.476 -1.206 0.99,-4,。,8 -3.936 -3.216,2.8,卷积及其性质,1.,互换律,:,u(t,)*,v(t,)=,v(t,)*,u(t,),2.,分配律,:,u(t,)*,v(t)+w(t,)=,u(t,)*,v(t)+u(t,)*,w(t,),3.,结合律,:,u(t,)*,v(t,)*,w(t,)=,u(t,)*,v(t,)*,w(t,),4.,卷积后的微分,:,u(t,)v(t,)=,u(t,)*=*,v(t,),5.,卷积后的积分,:,u(x,)*,v(x,),dt,=,u(t,)*,v(x)dx,=,u(x)dx,*,v(t,),推论,:,*,v(x)dx,=,u(t,)*,v(t,),举例,:,f(t,)*,(t,)=,f,(t,)*,(t,)=,f,(t,),f(t,)*,(t,)=,f()d,*,d(t)/dt,=,f()d,*,(t,),=,f()d,e,t,(t,)*,(t,)=,e,()d,*,(t,),=,e,|,*,(t,),=,(1-,e,t,)(t,),(t,)*,(t,)=,()d,*,(t,),=,|,*,(t,),=,t(t,),6.,延时后的卷积,:,若,f,1,(t)*f,2,(t)=,f(t,),则,f,1,(t-t,1,)*f,2,(t-t,2,)=f(t-t,1,-t,2,),例,:,求,f,1,(t)=,(t-t,1,)-(t-t,2,)t,2,t,1,和,f,2,(t)=,e,-t,(t,),的卷积。,（,1,）用微积分性质,（,2,）用卷积表,2.9,线性系统响应的时域求解,y,（,t,）,=,y,zi,（,t,）,+,y,zs,（,t,）,对,y(t,)=,H(p)e(t,),H(p,)=,y,zi,（,t,）,=,C,j,e,j,t,(t,),h(t,)=,H(p)(t,),解,h(t,)=,Kj,e,j,t,(t,),y,zs,(t,)=e(t)*h(t)=,K,j,e,j,t,*,e(t,),y(t,)=,y,zi,(t)+,y,zs,(t),=,C,j,e,j,t,+,K,j,e,j,t,*,e(t,),1.,指数函数激励下系统的响应,设,e(t,)=,e,st,(t,),那么,y(t,)=,C,j,e,j,t,+,K,j,e,j,t,*,e,st,零输入响应,零状态响应,=,C,j,e,j,t,+,(,e,st,-,e,j,t,),=,C,j,-,e,j,t,+,自然响应,e,st,受迫响应,自然响应,:,与激励信号无关,受迫响应,:,与激励信号有关,瞬态响应,:t,响应,y(t,)0,稳态响应,:t,响应,y(t,),稳定,零输入响应,零状态响应,例,:,在,RC,电路中，,R=1,，,C=1F,，,e(t,)=(1+e,-3t,)(t),u,c,(0,-,)=1v,求,u,c,(t,),R,c,+,u,c,(t,)=,e(t,),+,u,c,(t,)=,e(t,),R,+,-,e(t,),u,c,(t,),+,-,c,2.,脉冲信号激励下,RC,电路的零状态响应,设,e(t,)=E,(t)-(t-,0,),+,u,c,(t,)=,e(t,),h(t)=,e,-t/RC,u,c,(t,)=e(t)*h(t)=E1-e ,(t,)-,E1-,e ,(t-,0,)0,E,0,t,e(t,),u,R,(t)=e(t)-,u,c,(t),=E e,(t,)-E,e,(t-,0,),令,=,Rc,讨论,与,0,关系如下,:,3.,梯形脉冲信号作用于系统,e,”(t,)=,(t)-(t-1),-,(t-3)+(t-4),y,”(t,)=,e,”(t,)*,h(t,)=,h(t,),(t,)-,h(t-1),(t-1)-,h(t-3),(t-3)+,h(t-4),(t-4),对,y,”(t,),积分两次得,y(t,),1,3,4,0,1,t,e(t,),e,(t,),0,1,3,4,t,1,e,”(t,),0,1,3,4,t,第三章 信号分析,3.2,信号表示为正交函数集,1.,矢量的分解,C,12,A,2,A,1,A,2,A,1,A,2,C,12,A,2,A,1,A,2,C,12,A,2,或,标量,C,12,A,2,=A,1,COS,两边同乘,A,2,:,A,2,C,12,A,2,=A,1,COS,A,2,=,所以,C,12,=,又因为,A,2,=,所以,C,12,=,当,C,12,=0,时,、,正交,，,分别为,x,、,y,轴上 的单位矢量,或,=,A,x,+,A,y,A,x,=,A,y,=,其中,=,U,y,U,y,COS,0,=1,=,U,x,U,y,COS,90,=0,A,y,A,x,A,U,x,U,y,在三维空间中,或,=A,x,+,Ay,+,A,z,其中,=1,=0,其中,A,x,=,A,y,=,A,z,=,A,y,A,x,A,z,n,维空间中,=1,=0,=,C,1,+,C,2,+,C,r,+,C,n,其中,C,r,=,一般情况下非单位矢量用,V,矢量表示,所以,=K,m,=0,=,C,1,+,C,2,+,C,r,+,C,n,C,r,=,2.,信号的分解,解,f,1,(t)-c,12,f,2,(t),2,dt=0,f,1,(t),、,f,2,(t),正交，构成正交函数集,例,-,1,t,1,f,1,(t),f,2,(t),n,维正交函数空间,设,g,1,(t),、,g,2,(t),、,g,n,(t,),为正交函数,那么3.,复变函数的分解,n,维正交复变函数空间,设,g,1,(t),、,g,2,(t),、,g,n,(t,),为正交函数,g,i,(t)g,i,*,(,t)dt,=,k,i,g,j,(t)g,i,*,(,t)dt,=0,=,f(t,),g,r,*,(t),dt,三角函数集,复指数函数集,3.3,信号表示为傅里叶级数,周期信号在正交函数集里可用傅里叶级数分析法,分 三角傅里叶级数,指数傅里叶级数,另外在正交函数集里还有沃尔什函数、勒让德函数等。,1.,三角傅里叶级数,完备三角函数集为,1,、,cos(,t,),、,cos(2t),、,cos(n,t,),sin(,t,),、,sin(2t),、,sin(nt,),cos,2(,n,t)dt=,sin,2(,n,t)dt,=,1 cos2(n,t)dt,=,=,其中,T=2,sin(,m,t)cos(nt)dt,=0,sin(,m,t)sin(nt)dt,=,cos(m,t)cos(nt)dt,=0,(,mn,),f(t,)=+a,1,cos(t)+a,2,cos(2t)+,a,n,cos(nt,)+b,1,sin(t)+b,2,sin(2t),+,+,b,n,sin(nt,),其中,=+,A,n,cos(n,t-,n,),振幅,A,n,=,是偶函数,相位,n,=,arctg,是奇函数,当然,f(t,),要分解还需要满足狄利克莱条件,在一个周期内只有有限个间断点；,在一个周期内有有限个极值点；,在一个周期内函数绝对可积，即,一般周期信号都满足这些条件,.,例,频谱图,:,1,-1,t,f(t,),T/2,T,A,n,A,1,A,3,A,5,A,7,f,1,(t),sin(t,),f,2,(t),sin(t,)+sin(3t),f,3,(t),sin(t,)+sin(3t)+sin(5t),t,f,1,(t),t,f,2,(t),t,f,3,(t),2.,指数傅里叶级数,指数函数集为,e,-,jn,t,、,e,-j,2,t,、,e,-,j,t,、,1,、,e,j,t,、,e,j2,t,、,e,jn,t,e,jn,t,e,-,jn,t,dt,=,dt,=T,e,jm,t,e,-,jn,t,dt,=0 (,m,n,),f(t,)=C,0,+C,1,e,j,t,+C,2,e,j2,t,+,+,C,n,e,jn,t,+,C,-1,e,-,j,t,+C,-2,e,-j2,t,+,+,C,-n,e,-,jn,t,=,C,n,e,jn,t,三角傅里叶级数有,f(t,)=+,A,n,cos(n,t,-,n,),=,+,e,j(,n,t,-,n,),+,e,-,j(,n,t,-,n,),=,A,n,e,j(,n,t,-,n,),=,A,n,e,j,n,t,所以,A,n,=2,C,n,=,f(t)e,-,jn,t,dt,3.,函数的奇偶性质及其与谐波领含量的关系,偶函数：,f(t)=f(-t),奇函数：,f(t)=-f(-t),特性,:,(1),偶函数以纵轴对称,;,奇函数以原点对称,。,(2),偶函数*偶函数,=,偶函数,;,奇函数*奇函数,=,偶函数,;,偶函数*奇函数,=,奇函数。,(3),对偶函数有,f(t)dt,=2,f(t)dt,对奇函数有,f(t)dt,=0,(4),当,f(t,),为偶函数时，,a,n,0,，,b,n,=0,a,n,=,f(t)cos(nt)dt,f(t,),只含直流分量和余弦分量，不含,正弦分量。,当,f(t,),为奇函数时，,a,n,=0,，,b,n,0,b,n,=,f(t)sin(nt)dt,f(t,),只含正弦分量，不含直流分量和余弦,分量。,举例：,T/2,E,f(t,),t,-T/2,-2/T,1,2/T,1,f(t,),t,E/2,-E/2,0,（,5,）当移动坐标轴时，有的奇偶函数可以,互相转变。,（,6,）对于一般非奇偶函数,f,（,t,）,=,f,e,（,t,）,+,f,o,（,t,）,偶函数 奇函数,其中,f,e,（,t,）,=,f,（,t,）,+f,（,-t,）,/2,f,o,（,t,）,=,f,（,t,）,-f,（,-t,）,/2,然后分别求,f,e,（,t,）、,f,o,（,t,）的傅里叶级数，,再相加。,（,7,）奇谐函数：,f,（,t+,）,=-ft,）,偶谐函数：,f,（,t+,）,=f,（,t,）,奇谐函数只含奇次谐波，不含偶次谐波；,偶谐函数只含偶次谐波，不含奇次谐波。,奇、偶谐函数和奇、偶函数之间的关系：,奇谐函数 奇函数 非奇,偶谐,偶谐函数 偶函数 函数,3.4,周期信号的频谱,f(t,),=,sin(t,)+sin(3t),+sin(5t)+,频谱图：,特点：,（,1,）离散性；,（,2,）谐波性；,（,3,）收敛性。,A,n,3,5,7,4/,4/3,4/5,4/7,例,:,a,n,=Sa(n,/2),即,A,n,=Sa(n,/2),T,A,t,/2,-,/2,f(t,),A,n,0,f(t),t,A,T,讨论,:1),令,T=5,=,=,5=2/,10=4/,(2),当,不变,T=10,=,=,10=2/,20=4/,(3),当,T,不变,=T/10,=,=,10=4/,A,n,5,10,10,20,10,20,2A/5,A/5,A/5,2/,2/,4/,周期矩形的频谱变化规律：,若,T,不变，在改变,的情况,若,不变，在改变,T,时的情况,T,结论,:,(2),当,不变,T,谱线密集了,振幅减小,频宽,B,不变,(3),当,T,不变,谱线线间隔不变,振幅减小,频宽,B,增大,B,定义,:,幅度下降到,0.1,所示宽度,或第一个,过零点的宽度。,结论：脉宽与频宽成反比。即时域收敛，,频域波形发散（B,大）。举例说明,3.5,非周期信号的频谱,当周期信号的周期,T,1,无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,从周期信号,FS,推导,非周期,的,FT,傅立叶的逆变换,傅立叶,逆变换,从物理意义来讨论,FT,(a),F(,),是一个密度函数的概念,(b),F(,),是一个连续谱,(c),F(,),包含了从零到无限高 频的所有频率分量,分量的 频率不成谐波关系,上节讨论到当,不变，,T,（,1,）,A,n,越来越小；,（,2,）频谱越来越密集，成为连续频谱。,A,n,F,（,j,）频谱密度函数,周期信号有,A,nf(t)e,-,jn,t,dt,f(t)=,e,jn,t,令,T,，则,d,，,n,A,n,=,f(t)e,-,j,t,dt,F,（,j,）,=,A,n,=,f(t)e,-,j,t,dt,f(t,)=,e,jn,t,T,，,d,，,T,n,f(t)=,lim,e,jn,t,=,lim,e,j,t,=,F(j,),e,j,t,d,=,F(j,),e,j,t,d,F(j,)=,f(t)e,-,j,t,dt,傅里叶正变换,f(t,)=,F(j,),e,j,t,d,傅里叶反变换,|,F(j,),|,是,的偶函数,|,F(j,),|,幅频特性,;,(,),是,的奇函数，,(,),相频特性。,F(j)=,|,F(j,),|e,j,(,),傅立叶变换存在的充分条件,:,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,例：,F(j,)=,A,Sa,(),特点：,(1),连续性,;,(2),收敛性,;,(3),频宽,B,和周期信号一样。,t,f(t,),A,-,/2,/2,F(j,),3.6,常用信号频谱函数举例,例,1,求单边指数信号,f(t,)=e,-,t,(t,),的频谱函,数。,f(t,),t,0,0,0,-,例,2,求双边指数信号,f(t)=,e,t,的频谱函数。,=,f(t,),0,t,0,2/,例,3,求冲激函数的频谱。,即,f(t)=F(j,),e,j,t,d,=,e,j,t,d,=,(t,),1,t,0,0,以,-,代,，,有,e,j,t,d,=,e,-j,t,d,又,e,j,t,d,=,2,(t),1,2,（,）,1,0,t,0,例,4,求复指数函数,f(t,)=,e,j,c,t,的频谱函数。,=,e,-j,（,-,c,）,t,dt,=,e,j,（,-,c,）,t,dt,=,2,（,-,c,）,2,F(,),c,应用,:,cos,c,t,=(,e,j,c,t,+,e,-,j,c,t,),(,+,c,),+,(,-,c,),sin,c,t,=(,e,j,c,t,-,e,-,j,c,t,),j,(,+,c,),-,(,-c,),F(,),c,例,5,求阶跃函数的频谱。,u(t,),0,t,0,3.7,傅里叶变换的性质,1.,线性特性,如果,f,1,(t)F,1,(j,),f,2,(t)F,2,(j,),那么,a,1,f,1,(t)+a,2,f,2,(t)a,1,F,1,(j,)+,a,2,F,2,(j,),2.,延时特性,如果,f(t,),F(j,),那么,f(t,-t,0,)F(j,)e,-,j,t,0,例,:,前面有,f,1,(t)F,1,(j,)=,A,Sa,(),f(t,)=f,1,(t-,),所以,f(t,)F(,j,),=e,-j,/2,A,Sa,(),t,A,f(t,),-/2,3.,移频特性如果,f(t,),F(j,),那么,f(t,)e,j,c,t,F(j,-,j,c,),cos(,c,t,)=(,e,j,c,t,+e,j,c,t,),cos(,c,t,),(+,c,)+,(-,c,),sin(,c,t,)=(,e,j,c,t,-e,j,c,t,),sin(,c,t,),j,(+,c,)-,(-,c,),频谱搬移技术,卷积,推论,:,(t,),(,)+1/j,(t)cos,c,t,(-,c,),+,(+,c,),+,=,(-,c,)+(+,c,),-,(t)sin,c,t,(-,c,),-,(+,c,)-,4.,尺度变换特性,如果,f(t)F(,j,),那么,f(at)F(,),当,a 1,时，,f(at,),表示在时间轴上压缩了,a,倍,F(),表示在频域中扩展,a,倍。,结论,:,B,=k,，脉宽与频宽成反比。,当,a=-1,时，,f(-t)F(-,j,),=,f(-t)e,-,j,t,dt,=,f(t)e,j,t,dt,时域中的压缩等于频域中的扩展,f(t/2),压缩,扩展,例,:,求符号函数,sgn,t=1 t 0,的频谱函数。,-1 t 0,sgn,t=,(t)-(-t,),根据,(t,),(,)+,(-t,),(-,)+,=,(,)-,sgn,t,-1,1,0,t,sgn,t,|,F(j,),|,-/2,带有尺度变换的时移特性,f(at-b,),F(,),e,j,例,:f(6-2t)=f,-2(t-3),F()e,j 3,例,:,f(3-2t),e,j4,t,F e,5.,奇偶特性,e,-,j,t,=,cost,-j,sint,F(,j,)=,f(t)e,-,j,t,dt,=,f(t),cos(t)dt,-j,f(t),sin(t)dt,如,f(t,),为偶函数,f(t),sin(t)dt,=0,F(j,)=2,f(t),cos(t)dt,=,R,(,),如,f(t,),为奇函数,f(t),costdt,=0,F(j,)=-j2,f(t),sin(t)dt,=,j,X,(,)(,虚奇函数,),6.,对称特性,如果,f(t)F(,j,),那么F(,j,t,)2f(-),F(,j,t,)=,R(t)+j X(t),如果,f(t,),为实偶函数，,f(-,)=,f(,),F(,jt,),的实部,R(t),2f(),例,:,(t,)1,F(,),2()1,F(t,),即,(,),如果,f(t),为虚奇函数，,f(-,)=-,f(,),F(,jt,),的虚部,X(t),-,2,f(),例,:,sgn,t,F(,),-,2,sgn,F(t,),即,sgn,7.,微分特性,如果,f(t)F(,j,),那么,j,F(j,),推论,:(,j,),n,F,(j,),如,:,(t,),(,)+,j(,)+,=1,(t,),三角脉冲,E,=,cos(/2)-1,=,sin,2,(/4),三角脉冲 的频谱,例,:,a t b,f(t,)=,A,-a t a,-b t -a,t,f(t,),A,a b,-b -a,f,(t),f,(t),A/(b-a),t,t,8.,积分特性,如果,f(t)F(,j,),那么,f()d,F(0)(),+,F(j,),如果,F(0)=0,那么,f()d,F(j,),9.,频域的微分与积分特性,如果,f(t)F(,j,),则,-,jtf(t,),即,tf(t,)j,例,:,t(t,)j ,(,)+,=,j,(,)-,如果,f(t)F(,j,),则,F(,j,),d,f(0)(t)+,10.,卷积定理,如果,f,1t)F,1,(,j,),f,2,(t)F,2,(,j,),时域卷积,:,那么,f,1,(t)*f,2,(t)F,1,(j,),F,2,(j,),频域卷积,:,f,1,(t),f,2,(t)F,1,(j,)*,F,2,(j,),或,F,1,(j,)*,F,2,(j,),2,f,1,(t),f,2,(t),第四章 连续时间系统的 频谱分析,正变换 反变换,y,（,t,）,=h,（,t,）*,e,（,t,）,Y,（,j,）,=H,（,j,）,E,（,j,）,h(t,),e,（,t,）,y,（,t,）,H(j,),E,（,j,）,Y,（,j,）,4.2,信号通过系统的频域分析方法,分析步骤,:,(1),将激励信号分解为正弦分量,即求输入信号,的频谱函数,;,(2),找出系统函数,H(j,);,(3),求出每一频率分量的响应,即求输出响应,的频谱函数,;,(4),由输出的频域响应经傅里叶反变换得出,时域的输出响应。,例,1,有微分方程,y,(t,)+2y(t)=,f(t,),，,f(t,)=,e,-t,(t,),，,求,y(t,),例,2,已知,u,s,(t,)=,(t,),，,求：,u,c,(t,),、,i(t,),R,C,+,-,u,c,(t,),i,（,t,）,+,-,u,s,(t,),例,3,已知,f(t,)=2+4cos(,t)+4cos(2t),求,:,系统响应,|,H(j,),|,(,),-2,2,1,0.5,/2,-,4.3,理想低通滤波器的冲激响应,1.,理想低通滤波器,K(j,)=,|,K(j,),|e,j,k,(,),=k e,-j,t,0,（,1,）幅频特性：,通频带,c,o,内,信号通过,传输系数为,k;,通频带,c,o,外,信号不通过,为,0,（,2,）相频特性：,k,与,成线性比例，斜率为,-t,0,k,k,(,),|,K(j,),|,c,o,2.,冲激响应,f,（,t,）,=,(t,),F,（,j,）,=1,k=1,h,（,t,）,=F,-1,F(j),k(j,),=e,-jt,0,e,jt,d,=e,j,（,t-t,0,),d,=,e,j,（t-t,0,）,/j(t-t,0,),|,=sin,co,(t-t,0,),=Sa,co,(t-t,0,),h(t,),t,0,t,t,(t,),0,0,3.,阶跃响应,(t)(,)+1/j,k=1,u(t,)=F,-1,E(j),k(j),=,(,)+1/j,e,j(t-t,0,),d,=+sin(t-t,0,)/,d,=+,=+,Si,co,(t-t,),其中,Si,x=,为正弦积分函数,/2,-/2,x,Si,x,t,(t,),0,t,u(t,),1,0,t,0,由冲激响应和阶跃响应图可以看出,:,(1),与激励比较响应出现时间上的滞后,;,(2),响应的前沿是倾斜的，原因是滤除了较,高的频率分量。如果,c,o,增加，响应的,前沿将陡峭；,(3),响应中出现的起伏振荡,是把滤波器理,想化造成的,体现在,t,1,属于过调制,产生失真。,(,波形图,),k,u,Ucm,cos(,ct,),u,A,m,3.,调幅波的频谱和功率,u,A,m,=,U,cm,1+m,cos(t),cos(,c,t,),=,U,cm,cos(,c,t,)+,cos(,c+)t,+,cos(,c-)t,频谱图,:,下边频,上边频,U,cm,mU,cm,/2,c,+,c,-,c,B,功率,:(R=1,),载波功率,P,c,=,U,cm,2,;,边频功率,P,s,=2,(),2,=m,2,U,cm,2,=m,2,P,c,平均功率,=(1+m,2,)P,c,最大功率,P,max,=(1+m),2,P,c,最小功率,P,min,=(1-m),2,P,c,当,m=1,时,=,P,c,P,max,=4 P,c,P,s,=P,c,=1/3=33%,说明效率很低,例,:,已知调幅波,u=100+30cos(,t)+20cos(3t)cos,(,c,t),求,(1),调幅系数,(2),画出频谱图,(3),这调幅波电压在,1k,电阻上的,P,c,、,P,s,、,P,max,解,:(1),m=0.5,m,1,=0.3,m,2,=0.2,(2),(3)P,c,=,U,cm,2,=,=5w,P,s,=P,c,=(m,12,+m,2,2,)P,c,=(0.09+0.04),2.5=0.325w,=5+0.325=5.325w,=6%,P,max,=(1+m),2,P,c,=(1+0.5),2,5=11.25w,100,15,10,c,c+,c+3,c,-,c-3,声音的频率在,300,3400Hz,普通调幅相邻两电台间隔约,9KHz,。,由于载波分量中不含信息,又占有总功率,的大部分,为了提高发射效率,可去掉载波信,号,叫抑制载波传输,;,（卫星通信）,示意图：,u,uc,u,DSB,又由于上下边频对称,去掉载波和一个边,频,叫单边频传输,;,（军用）,如果部分滤除载波和一个边频,叫残留边,带传输。电视传输采用这种传输方式,全电视信号频带为,0,6 MHz,，,我国规定,的残留边带宽度是,1.25,MHz,再加上调频声,音的频带,相邻两电视频道的间隔为,8,MHz,。,在解调过程中已调波频谱越全，解调设,备越简单，对单边带解调设备要求很高。,4.6,频分复用与时分复用,1.,频分复用,用于传输模拟信号,把信道分成不同的频段,每一频段传送,一路信号,达到同时传输多路信号的目的。,接收端采用不同带通滤波器将各路信,号分离,解调后得各路信号。,2.,时分复用,用于传输数字信号,由于脉冲已调制信号是离散的,这样在,空余的时间间隔中去传输其它脉冲调制,信号,达到一段时间内传输多路信号。,接收端用电子开关将信号分离,再通过解,调恢复出原信号。,时分复用系统实际上不是传输多路脉冲,调制信号,而是把脉冲调制信号经量化编码,的二进制数码进行传输,即传输的是脉冲编,码调制,(PCM),信号。,4.8,信号通过线性系统不失真的条件,线性失真,:,信号中并没有产生新的频率分量。,幅度失真,:,各频率分量衰减不同。,相位失真,:,各频率分量相移不同。,e(t)y(t)=k e(t-t,o,),E(,j,),Y(,j,)=,k,E,(,j,)e,-jt,。,所以,H(,j,)=k,e,-jt,。,=,H(j,)e,j,(,),不失真条件,:,(1),H(j,),是一平行于,x,轴值为,k,的直线。,(2),(,),是一过原点与,成正比的直线。,满足不失真条件的实际电路多为纯电阻电路。,实际中带宽虚线内满足不失真条件就可以了。,H(j,),(,),k,第五章 连续时间系统的 复频域分析,复频域分析是频域分析的推广。,复频域分析法以数学中拉普拉斯变换为依据。,（,1,）解决了信号必须绝对可积的限制；,（,2,）解决了傅立叶反变换中求解积分的困难。,5.2,拉普拉斯变换,对不满足绝对可积条件的,f(t,),乘以收敛因子,e,-,t,（,0,）,则,F(j,)=f,（,t,）,e,-,t,e,-jt,dt,=f,（,t,）,e,-(,+j)t,dt,令,s=+,j,复频率,F(s,)=,f(t),e,-stdt,双边拉普拉斯正变换,复密度函数,那么,f(t),e,-,t,=,F(j,)e,jt,d,f(t,)=,F(j,)e,(+j)t,d,=,F(s,),e,st,ds,(,反变换,),F(s)=,f(t),e,-,st,dt,为单边拉普拉斯变换,;,f(t)=,F(s,),e,st,ds,(t,),为单边拉普拉斯反变换。,如果令,=0,s=,j,成为傅氏变换,所以拉氏变换是傅氏变换的推广；,傅氏变换是拉氏变换的特例。,物理意义：,在傅氏变换中,f,（,t,）,=,F(j,),e,jt,d,一对正负,e,jt,可组成正弦波，幅度,F(j,)d/,为等幅振幅；,（与,t,变量无关）,在拉氏变换