数与代数的核心问题.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数与代数,的核心内容、,思想方法及其教学,主讲人 储瑞年,2013.12.6,从两个案例说起,例,1,利用计算器计算,15 15,25 25,95 95,并探索规律,.,（,“,课标,”,例,28,）,利用公式证明例,28,所发现的规律,.,（,“,课标,”,例,50,）,可以通过观察结果与乘数的关系，发现规律,.,15 15=225 =12100+25,25 25=625 =23100+25,35 35=1225=34100+25,95 95=9025=910100+25.,观察后，猜测：若用字母,a,表示一个正整数，则有规律,(,a,10+5),2,=,a,(,a,+1)100+25.,证明：,(,a,10+5),2,=,a,2,100+2,a,105+25 =,a,2,100+,a,100+25=,a,(,a,+1)100+25.,（“课标”例,48,）,一,.,构建科学,的课程体系,数与代数,课程内容的结构,第一学段,是,“,数的认识,；,数的运算,；,常见的量,；,探索规律,”,。,第二学段是,“,数,的认识,；,数的运算,；,式与方程,；,正比例,、,反比例,；,探索规律,”,。,第三学段是,“,数与,式；方程与不等式；函数,”,。,(,一,),数与式,1.,有理数,2.,实数,3.代数式,4.,整式、分式与二次根式,(二,),方程与不等式,1.,方程与方程组,2.,不等式与不等式组,(,三,),函数,1.,函数,2.,一次函数,3.,反比例函数,4.,二次函数,数与代数的主线,数的扩充及数的运算,代数式及其运算,方程（组）与不等式（组）及求解,函数的概念、图象与性质,数与代数的几个关键点,引入新数与数系的扩展,字母表示数与代数式,恒等变形与同解变形,常量与变量,第,三,学段,数与代数,具体内容的,变化,决定,内容的增,、,删,和调整的因素：,(1),前后学段知识的衔接；,(2),学生生活经验和未来生活实践；,(3),学生的接受能力和水平；,(4),对学科本质以及核心,概念,的体现。,1.,删减一些内容,能对含有较大数字的信息作出合理的解释与推断,了解有效数字的概念,能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式组，解决简单的问题,2.,适当增加内容,必学内容：,最简二次根式和最简分式的概念,会,用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等,选学内容：,*,能解简单的三元一次方程组,*,知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数,*,了解一元二次方程的根与系数的关系,3.,调整教学要求,“,了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算,”,改为,“,理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算,”,“,四基,是一个,有机的整体,获得适应社会生活和进一步发展,所必须的数学的基础知识、基本技能、,基本思想和基本活动经验,.,“,四基,”,不是简单的叠加,与,混合，而是相互联系、相互交融，相互促进的整体。基础知识和基本技能是数学教学的主要载体；数学思想则是数学教学的精髓，是课堂教学的主线；数学思想的教学要以数学知识为载体，因势利导，画龙点睛，避免生硬牵强,和,长篇大论。数学活动是不可或缺的教学形式与过程。,运用数学的思维,方式进行思考,学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。运用数学的思维方式进行思考，也称为数学的理性思维。包括形象思维、逻辑思维和辩证思维，合情推理和演绎推理等等。,义务教育阶段数学课程进行的全过程，都应注意培养学生的数学思维和数学推理。其中的第一学段和第二学段，学生较多接触和学习的是合情推理，第三学段则必须加强演绎推理的教学。,合情推理,包括,分类、归纳、类比、联想、猜测等,，,它们常常是得到新结论的方法和途径，合情推理对于,探索规律和发现结论,不可或缺。但是合情推理的结论可能正确，也可能错误，还需要依靠演绎推理去证明或者证否。,对此，,在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道，在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。,演绎推理的,基本程序是,“,三段论,”,式逻辑推理,，,要让学生逐步深入地体会到，所有数学结论都是需要经过证明的。演绎推理的高级形式是,形成,公理化体系,，,义务教育阶段不必,“,公理化,”,，可在潜移默化中使学生体会这样一种思维方式,。,关注核心概念,核心概念凸显数学学科的特征,核心概念涵盖数学素养的内容,核心概念体现数学思想的要素,核心概念细化数学课程的目标,在数学课程中，应当注重发展学生的,数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想,。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的,应用意识和创新意识,。,数感,主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的,感悟,。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。,符号意识,主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。,运算能力,主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。,会根据法则、公式进行正确的运算、变形和数据处理；能根据问题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算,.,运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算能力包括,分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序,等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力,.,（高考考试大纲）,推理能力,推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（定义、公理、定理等）和确定的规则（运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。,应用意识,有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。,例,3,已知,x,2,-5,x,=14,，求,(,x,-1)(2,x,-1)-(,x,+1),2,+1,的值,.,(,x,-1)(2,x,-1)-(,x,+1),2,+1 =(2,x,2,-,x,-2,x,+1)-(,x,2,+2,x,+1)+1 =,x,2,-5,x,+1.,当,x,2,-5,x=,14,时，原式,=15.,例,4,已知,a,2,+2,ab,+,b,2,=0,，求代数式,a,(,a,+4,b,)-(a,+2,b,)(,a,-2,b,),的值,.,原式,=,a,(,a,+4,b,)-(,a,+2,b,)(,a,-2,b,)=,a,2,+4,ab,-(,a,2,-4,b,2,)=4,ab+,4,b,2,=,4,b,(,a+b,).,a,2,+2,ab,+,b,2,=0,(,a+b,),2,=0,(,a+b,)=0,原式,=0.,例,5,观察下列等式,1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49,照此规律，第,10,个等式是,.,1=1,2+3+4=9,3+4+5+6+7=25,4+5+6+7+8+9+10=49 ,10+11+12+,+28=361,例,6,观察下列各式：,a,+,b,=1,，,a,2,+,b,2,=3,，,a,3,+,b,3,=4,，,a,4,+,b,4,=7,a,5,+,b,5,=11,，则,a,10,+,b,10,=,A.28 B.76,C,.123 D.199,a,+,b,=1,，,a,2,+,b,2,=3,，,a,3,+,b,3,=4=1+3,，,a,4,+,b,4,=7=3+4,a,5,+,b,5,=11=4+7,a,6,+,b,6,=7+11=18,，,a,7,+,b,7,=11+18=29,a,8,+,b,8,=29+18=47,a,9,+,b,9,=47+29=76,a,10,+,b,10,=76+47=123.,例,7,小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网线相联,.,连线标,注的数字表示该段网线单位时间内可以 通过的最大信息量,.,现从结点,A,向结点,B,传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量是,A.26 B.24 C.20,D,.19,3,+4+6+6=19,二,.,科学施教,好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。实行启发式教学有助于落实学生的主体地位和发挥教师的主导作用。教师富有启发性的讲授；创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流；组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体。,1,.,夯实基础 把握层次,为何要增加最简分式和,最简二次根式的概念？,1.,为实施运算创设条件,2.,规范运算结果的表示,3.,为后续学习奠定基础,分母有理化,在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简根式，,并且分母中不含根号,.,会,用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等,例,11,已知关于,x,的一元二次方程,x,2,-4,x,+,m,-1=0,有两个相等的实数根，求,m,的值及方程的根,x,2,-4,x,+,m,-1=0,有两个相等的实数根,=16-4(,m,-1)=20-4,m,=0,m,=5.,原方程为,x,2,-4,x,+4=0,x,1,=,x,2,=2.,x,2,-4,x,+,m,-1=0,有两个相等的实数根,x,2,-4,x,+,m,-1=(,x,-2),2,m,=5,x,1,=,x,2,=2.,2,.,提炼数学思想,优化思维策略,数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心,.,数学思维能力是以数学知识为素材，通过空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明和模式构建等诸方面，对客观事物中的空间形式、数量关系和数学模式进行思考和判断，形成和发展理性思维，构成数学能力的主体,.,标准,中“数学的基本思想”主要指：,数学抽象的思想；数学推理的思想；数学模型的思想。,人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大的效益，又反过来促进数学科学的发展。,数学抽象的思想,派生出的有：,分类的思想；集合的思想；数形结合的思想；符号表示的思想；对称的思想；对应的思想等。,数学推理的思想,派生出的有：,归纳的思想；演绎的思想；转换与化归的思想；联想与类比的思想；代换的思想；特殊与一般的思想等。,数学模型的思想,派生出的有：,简化的思想；量化的思想；函数的思想；方程的思想；优化的思想；随机的思想；抽样统计的思想等。,数学方法,：在用数学思想解决具体问题时，会形成程序化的操作，就构成数学方法。,数学方法具有层次性，,较高层次的有,：,演绎推理的方法，合情推理的方法，变量替换的方法等价变形的方法，分,类,讨论的方法等。,较低,层次的有分析法，综合法，穷举法，反证法，待定系数法，消元法，降幂法，换元法，配方法，列表法，,图象,法等。,为何增加,“,能解简单的三元一次方程,”,“,了解一元二次方程根与系数的关系,”,“,知道给定不共线三点确定二次函数,”,1,.,解决后续的数学问题,2.,加深对数学思想的理解,例,13,在等式,y,=,ax,2,+,bx,+,c,中，,当,x,=-1,时,y,=0;,当,x,=2,时,y,=3;,当,x,=5,时,y,=60.,求,a,b,c,的值,.,例,14,向高为,H,的水瓶中注水，注满为止，如果注水量,V,与水深,h,的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是,A.B.C.D.,函数图象的特征是“先陡后平”，表明注水过程是“先快后慢”，因此，水瓶的形状应是“下底大，而上口小”，正确选项是,B.,由函数图象可以看出：当 时，注水量已超过总注水量的一半，只有,B,选项中的水瓶符合题意,.,3.,养成良好学习习惯,提升数学能力,2.,养成良好的学习习惯,认真勤奋，独立思考，,合作交流，反思质疑。3.,增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,“,发现问题,”,，是经过多方面、多角度的数学思维，从表面上看来没有关系的一些现象中找到数量,关系,或者空间,形式,的某些联系，或者找到数量,关系,或者空间,形式,的某些矛盾，并把这些联系或者矛盾提炼出来。,“,提出问题,”,，是在已经发现问题的基础上，把找到的联系或者矛盾用数学语言、数学符号集中地以问题的形态表述出来。,此次修订增加,的,“,发现问题和提出问题的能力,”,，是从培养学生的创新意识和创新能力考虑的，是对创新性人才的基本要求。,为此，,在数学教学中教师就要努力创设适当的情境，让学生用数学的眼光来看待和分析这些情境，采用探究式的教学方法，引导学生发现问题和提出问题,。,4.,动手、动口、动脑,积累数学活动经验,数学基本活动经验是,学生,从数学的角度进行思考，通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验。应,具,有主体性、实践性、发展性、多样性,等特征,。,“,活动经验,”,与,“,活动,”,密不可分，要有,“,动,”,手动、口动和脑动。既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动，也包括与数学课程相联系的学生实践活动；既包括生活、生产中实际进行的活动，也包括课程教学中特意设计的活动。,“,活动经验,”,与,“,经验,”,密不可分。学生要把活动中的经历、体会总结上升为,“,经验,”,。既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验；既可以是学生自己摸索出的经验，也可以是受别人启发得出的经验；既可以是从一次活动中得到的经验，也可以是从多次活动中,逐渐积累得到,的经验。这些经验必须,实现内,化,，,才可以认为学生获得了,“,活动经验,”,。,学生只有积极参与数学课程的教学过程，经过独立思考，探索实践，合作交流,等,，才有可能积累数学活动经验。,标准中,设置,“,综合与实践,”,的课程内容，强调以问题为载体，让学生在解决问题的实践中获得数学活动经验。,例,15,(1),对数轴上的点,P,进行如下操作：先把点,P,表示,的数乘以,，再把所得的数对应的点向右平移,1,个单,位，得到对应的,点,P.,点,A,B在数轴上，对线段,AB,上的每一个点进行上述操作后得到线段,AB.,如图,，若点,A,表示的数是,-3,，则点,A,表示的数是,；若点,B,表示的数是,2,，则点,B,表示的数是,；已知线段,AB,上的点,E,经过上述操作后得到的对应点,E,与点,E,重合，则点,E,表示的数是,.,(,2),如图，在平面直角坐标系,xOy,中，对正方形,ABCD,及其内部,的每个点进行如下操作：把每一个,点的横、纵坐标都乘以同一实数,a,，,将得到的点先向右平移,m,个单位，再,向上平移,n,个单位,(,m,0,n,0),，得到正方形,ABCD,及其内部的点，其中,A,B,对应的点分别为,A,B.,已知正方形,ABCD,内部的一个点,F,经过上述操作后得到的对应点,F,与点,F,重合，求点,F,的坐标,.,谢 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