高考数学考点回归总复习 第七讲函数的奇偶性与周期性课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第七讲函数的奇偶性与周期性,回归课本,1.,函数的奇偶性,(1),函数的奇偶性的定义,奇偶性,定义,图象特点,偶函数,如果函数,f(x,),的定义域内,任意一个,x,都有,f(-x,)=,f(x,),那么函数,f(x,),是偶函数,.,关于,y,轴,对称,奇函数,如果函数,f(x,),的定义域内,任意一个,x,都有,f(-x,)=-,f(x,),那么函数,f(x,),是奇函数,.,关于,原点,对称,(2),对函数奇偶性的理解,函数奇偶性的判断,a.,首先看函数的定义域,若函数的定义域不关于原点对称,则函数既不是奇函数,也不是偶函数,.,b.,若函数的定义域关于原点对称,再看,f(-x),与,f(x),的关系,.,若,f(-x)=-f(x),则函数是奇函数,;,若,f(-x)=f(x),则函数是偶函数,;,若,f(-x)=f(x),且,f(-x)=-f(x),则,f(x),既是奇函数又是偶函数,;,若,f(-x)f(x),且,f(-x)-f(x),则,f(x),既不是奇函数,也不是偶函数,.,在公共定义域内,a.,两奇函数的积与商,(,分母不为零时,),为偶函数,两奇函数的和是奇函数,.,b.,两偶函数的和,积与商,(,分母不为零,),为偶函数,.,奇函数在对称区间上单调性一致,偶函数在对称区间上单调性相反,.,2.,函数的周期性,(1),对于函数,f(x),如果存在一个,非零,常数,T,使得当,x,取定义域内的,每一个,值时,都有,f(x+T)=f(x),那么函数,f(x),叫做周期函数,非零常数,T,叫,f(x),的,周期,.,如果所有的周期中存在一个,最小的正数,那么这个,最小正数,就叫,f(x),的最小正周期,.,(2),周期函数,不一定,有最小正周期,若,T0,是,f(x),的周期,则,kT(kZ)(k0),也一定是,f(x),的周期,周期函数的定义域无,上,下,界,.,考点陪练,答案,:B,2.(2010,新课标全国,),设偶函数,f(x),满足,f(x)=2,x,4(x0),则,x|f(x-2)0=(),A.x|x4B.x|x4,C.x|x6D.x|x2,解析,:,已知函数,f(x),是偶函数,所以当,x0,时,解析式为,f(x)=2,-x,-4(x0),所以当,x-20,解得,x0,解得,x4,综上,x|f(x-2)0=x|x4,故选,B.,答案,:B,3.(2010,山东,),设,f(x),为定义在,R,上的奇函数,.,当,x0,时,f(x)=2,x,+2x+b(b,为常数,),则,f(-1)=(),A.-3B.-1,C.1D.3,解析,:,因为,f(x),为定义在,R,上的奇函数,所以有,f(0)=2,0,+20+b=0,解得,b=-1,所以当x0,时,f(x)=2,x,+2x-1,所以,f(-1)=-f(1)=-(2,1,+21-1)=-3,故选,A.,答案,:A,4.(2010,广东,),若函数,f(x)=3,x,+3,-x,与,g(x)=3,x,-3,-x,的定义域均为,R,则,(),A.f(x),与,g(x),均为偶函数,B.f(x),为偶函数,g(x),为奇函数,C.f(x),与,g(x),均为奇函数,D.f(x),为奇函数,g(x),为偶函数,解析,:,由,f(-x)=3,-x,+3,x,=f(x),可知,f(x),为偶函数,由,g(-x)=3,-x,-3,x,=-(3,x,-3,-x,)=-g(x),可知,g(x),为奇函数,.,答案,:B,答案,:2x+3,类型一函数奇偶性的判断,解题准备,:,判断函数奇偶性的一般方法,(1),首先确定函数的定义域,看是否是关于原点对称的,.,否则,既不是奇函数也不是偶函数,.,(2),若定义域关于原点对称,则可用下述方法进行判断,:,定义判断,:f(-x)=f(x),f(x),为偶函数,f(-x)=-f(x),f(x),为奇函数,.,等价形式判断,:f(-x)-f(x)=0,f(x),为偶函数,.,f(-x)+f(x)=0,f(x),为奇函数,.,(3),对于分段函数的奇偶性的判断应分段进行,.,分析,判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶性的定义进行推理判断,.,的定义域关于原点对称,当,x0,时,-x0).,当,x0,f(-x)=(-x)1+(-x)=-x(1-x),=-f(x)(x0,1-x,2,0,1+x,1,0,(1-x,2,)(1+x,1,)=1+x,1,-x,2,-x,1,x,2,0.,类型三函数的周期性,解题准备,:,三个结论,:,若,ab,是非零常数,且,ab,则有,结论,2:(,对称性与周期关系结论,),(1)f(x),关于,x=a,及,x=b,对称,则,T=2|b-a|;,(2)f(x),关于,x=b,及,M(a,0),对称,则,T=4|b-a|;,(3)f(x),关于,M(a,0),和,N(b,0),对称,则,T=2|b-a|.,结论,3:(,奇偶性与周期关系结论,),(1)f(x),是偶函数且关于直线,x=a,对称,则,T=2|a|;,(2)f(x),是奇函数且关于直线,x=a,对称,则,T=4|a|.,(,上述结论中的,T,为函数的周期,但不一定是最小正周期,).,类型四函数的奇偶性与周期性的综合问题,解题准备,:,奇偶性和周期性都是函数的整体性质,.,奇偶性是解决函数图象的对称性问题,周期性是解决函数图象的平移问题,.,函数的单调性揭示函数的局部性质,灵活运用函数性质可解决与函数相关的方程,不等式等综合问题,.,【,典例,4】,已知函数,f(x),是定义在,R,上的奇函数,对任意的,x,都有,f(x+1)=-f(1-x),且方程,f(x)=0,在,-1,1,上只有一个根,则方程,f(x+1)=0,的第,2000,个根是多少,.(,从,x,轴右半轴开始从左到右数起,).,解,由,f(x+2)=-f1-(x+1)=-f(-x)=f(x),得,:f(x),是周期函数,且周期为,2.f(x+1),是把,f(x),的图象向左移,1,个单位,.,由,xR,f(x),是奇函数,且,f(x)=0,在,-1,1,上只有一个根,知,f(0)=0,方程,f(x)=0,的第,2000,个根是,4000,f(x+1)=0,的第,2000,个根是,3999.,错源一忽略定义域出错,剖析判断函数奇偶性,首先要看函数的定义域,若定义域是关于原点的对称区间,则函数可能具有奇偶性,;,否则,函数一定不具有奇偶性,.,其次,要看,f(x),与,f(-x),之间的关系,.,正解,函数的定义域为,x|x,1,定义域不关于原点对称,因此该函数为非奇非偶函数,.,错源二忽视对参数的讨论,【,典例,2】,判断函数,f(x)=x,2,+|x-a|+1(aR),的奇偶性,.,错解,显然函数定义域为,R.,因为,f(a)=a,2,+1,f(-a)=a,2,+2|a|+1,所以,f(-a)f(a),且,f(-a)-f(a),所以,f(x),既不是奇函数,也不是偶函数,.,剖析,此解法错在于没有对参数进行讨论,未考虑到,a=0,这种特殊情形,以致解题出错,.,正解,当,a=0,时,函数,f(-x)=(-x),2,+|-x|+1=x,2,+|x|+1=f(x),此时,f(x),为偶函数,;,当,a0,时,f(a)=a,2,+1,f(-a)=a,2,+2|a|+1,f(-a)f(a),f(-a)-f(a),此时,f(x),既不是奇函数,也不是偶函数,.,技法一快速解题,(,数形结合法,),【,典例,1】,已知定义在,R,上的函数,f(x),不恒为零,且满足,f(x+3)=-f(3-x)f(x+4)=f(4-x),则,f(x),是,(),A.,奇函数也是周期函数,B.,偶函数也是周期函数,C.,奇函数但非周期函数,D.,偶函数但非周期函数,快解,由于本题为选择题,故可用数形结合法,画出符合题意的图象即可选对答案,.,函数,f(x),以点,(3,0),为对称中心,以直线,x=4,为对称轴,如下图所示,点,(2k-1,0),都是对称中心,直线,x=2k,都是对称轴,这里的,kZ,故选,B.,另解切入点,因为,f(x+3)=-f(3-x),、,f(x+4)=f(4-x),所以函数,f(x),以点,(3,0),为对称中心,以直线,x=4,为对称轴,.,分析思维过程,要利用两个条件式,推证出,f(x),是奇函数或偶函数,需找到两式的联系,.x+4=(x+1)+3,有,3-(x+1)=2-x,出现,如此推演,有望得到结果,.,解析,f(x+3)=-f(3-x),f(x+4)=f(4-x),f(x+4)=f(x+1)+3=-f-(x+1)+3=-f(2-x)=-f4-(x+2),=-f4+(x+2)=-f3+(x+3)=f3-(x+3)=f(-x).,则,f(4-x)=f(-x)+4=f(x).,f(-x)=f(x),且,f(x+4)=f(x).,故函数,f(x),是偶函数,也是周期函数,选,B.,答案,B,方法与技巧,解是由函数满足的关系一步一步推证,步骤较多,不易掌握,.,而数形结合法简单,直观,好掌握,易理解,对于解选择题非常适宜,.,得分主要步骤,运用好已知的两个条件式是很重要的,.,首先由式入手,使之出现式的形式,再由到,每步都需认真思考,是否满足条件,是否可以得到需要的结果,.,易丢分原因,各步变换时,注意符号,稍有不慎将会出错,.,如由,f(x+4),得到,f(-x),故,f(4-x)=f(-x)+4=f(x).,技法二探寻判断奇偶性的途径,解,解法一,:,对于比较复杂的函数解析式,除了用定义法进行判断外,还可以考虑用,f(-x)=f(x),变形式,:f(-x)f(x)=0,进行判断,应注意的是在利用这两个式子进行判断之前,应先探求是用,f(-x)+f(x)=0,还是用,f(-x)-f(x)=0,来进行判断,.,方法与技巧,本题是用验证法判断函数的奇偶性,.,关系式,f(-x)f(x)=0,实质是函数奇偶性的定义,f(-x)=f(x),的一个变形式,使用这个变形式进行判断时,降低了对函数奇偶性判断的难度,将问题转化为代数式的化简过程,它比用定义法判断更简洁,.,方法与技巧,在用作商比较法进行判断时,容易出现以下错误,:,忽略对,x=0,这一情况的判断,;,按,x0,与,x=0,进行了讨论,当,x=0,时有,f(-0)=0=-f(0)=f(0),就认为函数,f(x),既是奇函数又是偶函数,事实上函数的奇偶性是函数的整体性质,因此不能将函数的定义域分割成几部分来确定它的奇偶性,.,