高考数学第1轮总复习 全国统编教材 12.5导数的应用(第3课时)课件 理 课件.ppt

立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,立足教育 开创未来,单击此处编辑母版文本样式,*,高中总复习（第一轮）,理科数学,全国版,单击此处编辑母版文本样式,第十二章 极限与导数,导数的应用,第 讲,5,（第三课时）,1,题型,6,利用导数证明不等式,1.,证明：对任意的正整数,n不等式 都成立,.,证明：,令函数,f,(,x,)=,x,3,-,x,2,+ln(,x,+1),，,则,.,所以当,x,0,，,+),时，,f,(,x,),0,，,所以函数,f,(,x,),在,0,，,+),上单调递增,.,又,f,(0)=0,，,2,所以，当,x,(0，+)时，恒有,f,(,x,),f,(0)=0，即,x,3,x,2,-ln(,x,+1)恒成立.,故当,x,(0，+)时，有ln(,x,+1),x,2,-,x,3,.,对任意正整数,n,，取,(0，+)，,则有,，所以结论成立.,点评：,利用导数证明不等式，一般是先根据不等式的形式构造相对应的函数，然后利用导数讨论此函数的单调性或最值，进一步得到所需结论.,3,已知,m,，,n,是正整数，且2,m,n,.,证明：(1+,m,),n,(1+,n,),m,.,证明：,不等式可化为,n,ln(1+,m,),m,ln(1+,n,)，,即,设,则,4,因为,x,2,，所以,ln(1+,x,)ln3,1.,所以,f,(,x,),0,，从而,f,(,x,),为减函数,.,因为,n,m,2,，所以,f,(,n,),f,(,m,),，,即,故,(1+,m,),n,(1+,n,),m,.,5,题型,7,利用导数解决方程根的问题,2.,设函数,f,(,x,)=,x,-ln(,x,+,m,),，其中,m,为常数,.,求证,:,当,m,1,时，方程,f,(,x,)=0,在区间,e,-m,-m,，,e,2,m,-m,内有两个不等实根,.,证明：,当,m,1,时，,f,(1-,m,)=1-,m,0,，,f,(,e,-m,-m,)=,e,-m,-m-,ln(,e,-,m,-,m+m,)=,e,-m,0,，,f,(,e,2,m,-m,)=,e,2,m,-m,-ln,e,2,m,=,e,2,m,-,3,m,.,6,令,g,(,m,)=,e,2,m,-3,m,(,m,1),，,则,g,(,m,)=2,e,2,m,-3,0.,所以,g,(,m,),在,(1,，,+),上为增函数，,从而,g,(,m,),g,(1)=,e,2,-3,0,，即f,(,e,2,m,-,m,),0.,所以,f,(,e,-,m,-m,),f,(1-,m,),0,，,f,(,e,2,m,-m,),f,(1-,m,),0.,因为,f,(,x,),为连续函数，所以存在,x,1,(,e,-m,-m,，,1-,m,),，,x,2,(1-,m,，,e,2,m,-m,),，,使,f,(,x,1,)=0,，,f,(,x,2,)=0.,故方程,f,(,x,)=0,在区间,e,-m,-m,，,e,2,m,-m,内有两个不等实根,.,7,点评：,方程根的问题，一是可以转化为函数图象的交点问题，通过导数研究函数图象的性质，再结合图象的性质观察交点情况，由图象直观地得出相应的结论；二是利用性质,f,(,a,),f,(,b,),0(,a,b,，且,f,(,x,),在区间,(,a,，,b,),上是连续函数,),，则方程,f,(,x,)=0,在,(,a,，,b,),上至少有一个根,.,8,已知函数,f,(,x,)=ln,x,，,g,(,x,)=,x,.若关于,x,的方程,g,(,x,2,)-,f,(1+,x,2,)=,k,有四个不同的实根，,求实数,k,的取值范围.,解：,令,则,由,(,x,)0，得,x,(,x,+1)(,x,-1)0，,所以-1,x,0或,x,1.,由,(,x,)0，得,x,-1或0,x,1.,9,所以,(,x,),在,(-,，,-1),，,(0,，,1),上是减函数，,在,(-1,，,0),，,(1,，,+),上是增函数,.,从而,(0)=0,为,(,x,),的极大值，,(-1)=,(1)=-ln2,为,(,x,),的极小值且,(,x,),为偶函数,.,由此可得函数,y,=,(,x,),的草图如右,.,若方程,(,x,)=,k,有四个不同的实根，则直线,y,=,k,与曲线,y,=,(,x,),有四个不同的公共点,.,由图知，实数,k,的取值范围是,(-ln2,，,0).,10,3.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交,a,元(3,a,5)的管理费，预计当每件产品的售价为,x,元(9,x,11)时，一年的销售量为(12-,x,),2,万件.,(1)求分公司一年的利润,L,(,x,)(万元)与每件产品的售价,x,(元)的函数关系式；,(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润,L,(,x,)最大，并求出,L,(,x,)的最大值,Q,(,a,).,题型,8,利用导数解决实际问题,11,解：,(1)分公司一年的利润,L,(,x,)(,万元)与售价,x,(元)的函数关系式为,L,(,x,)=(,x,-3-,a,)(12-,x,),2,x,9,11.,(2),L,(,x,)=(12-,x,),2,-2(,x,-3-,a,)(12-,x,),=(12-,x,)(18+2,a,-3,x,).,令,Lx,)=0,得,x,=6+,a,或,x,=12,(不合题意，舍去).,因为3,a,5,所以86+,a,.,在,x,=,6+,a,两侧,L,(,x,)的值由正变负,，,所以，当86+,a,9，即3,a,时，,12,L,(,x,),max,=,L,(9)=(9-3-,a,)(12-9),2,=9(6-,a,)；,当96+,a,，即,a,5时，,L,(,x,),max,=,L,(6+,a,),=(6+,a,-3-,a,)12-(6+,a,),2,=4(3-,a,),3,.,9(6-,a,),(3,a,),4(3-,a,),3,(,a,5).,所以,Q,(,a,)=,13,答：,若,3,a,，则当每件售价为,9,元时，分公司一年的利润,L,(,x,),最大，最大值,Q,(,a,)=9(6-,a,),万元；,若,a,5,，则当每件售价为,(6+,a,),元时，分公司一年的利润,L,(,x,),最大，最大值,Q,(,a,)=4(3-,a,),3,万元,.,点评：,涉及实际问题的最值问题，一般是利用函数知识来解决，即先建立函数关系，把实际问题转化为数学问题，然后利用求函数最值的方法求得最值,.,注意求得的解要符合实际意义,.,14,如图，某地为了开发旅游资源，欲修建一条连接风景点,P,和居民区,O,的公路,.,点,P,所在的山坡面与山脚所在水平面,所成的二面角为,(0,90),，且,sin点,P,到平面,的距离,PH,=0.4 km.,沿山脚原有一段笔直的公路,AB,可供利用,.,从点,O,到山脚修路的造价为,a,万元,/km,，原有公路改建费用为 万元,/km.,当山坡上公路长度为,l,km(1,l,2),时，其造价为,(,l,2,+1),a,万元,.,已知,OA,AB,，,PB,AB,，,AB,=1.5 km,，,OA,=3 km.,15,16,(1),在,AB,上求一点,D,，使沿折线,PDAO,修建公路的总造价最小；,(2),对于,(1),中得到的点,D,，在,DA,上求一点,E,，使沿折线,PDEO,修建公路的总造价最小,.,解：,(1),如图，,PH,，,HB,，,PB,AB.,由三垂线定理的逆定理知，,AB,HB,，所以,PBH,是山坡与,所成二面角的平面角，则,PBH,=,，,PB=,PH,sin,=1.,17,18,设,BD,=,x,km,，,0,x,1.5,，,则,记总造价为,f,1,(,x,),万元，,据题设有,当,x,=,，即,BD,=km,时，总造价,f,1,(,x,),最小,.,19,(2),设,AE,=,y,km,，,0,y,，,总造价为,f,2,(,y,),万元,.,根据题设有,20,由,f,2,(,y,)=0,，得,y,=1.,当,y,(0,，,1),时，,f,2,(,y,),0,，,f,2,(,y,),在,(0,，,1),内是减函数；,当,y,(1,，,),时，,f,2,(,y,),0,，,f,2,(,y,),在,(1,，,),内是增函数,.,故当,y,=1,，即,AE,=1 km,时,总造价,f,2,(y,),最小，,且最小总造价为,a,万元,.,21,已知函数,(,a,，,b,为常数,),的图象在点,A,(1,，,f,(1),处的切线为,l,，若,l,在点,A,处穿过函数,y=,f,(,x,),的图象,(,即动点在点,A,附近沿曲线,y=,f,(,x,),运动,),，经过点,A,时，从,l,的一侧进入另一侧，求实数,a,的值,.,解：,因为,f,(,x,)=,x,2,+,ax+b,，,所以,f,(1)=1+a+b,.,又,题型 利用导数处理图象位置关系问题,参考题,22,所以直线,l,的方程为,因为切线,l,在点,A,处穿过,y,=,f,(,x,),的图象，,23,所以,g,(,x,),在,x,=1,两边附近的函数值异号，,从而,x,=1,不是,g,(,x,),的极值点,.,因为,g,(,x,)=,x,2,+,ax-,(,a,+1)=(,x,-1)(,x+a,+1),，,故若,1-,a,-1,，,则,x,=1,和,x=-a-1,都是,g,(,x,),的极值点，,不合题意，所以,-,a,-1=1,，即,a,=-2.,24,1.,利用导数确定函数的单调区间，求函数的极值和最值，是导数应用中的三类基本问题.对变通后的变式问题或综合性问题，都要化归为上述基本问题来解决.导数的应用与方程、不等式等方面的知识联系密切，对运算、变形能力有较高的要求.,2.,利用导数处理不等式问题，关键是构造函数，然后将问题转化为研究函数的单调性或最值，这是导数应用中的一个难点.,25,3.,对于方程有解的条件分析，讨论根的个数，确定根的范围等问题，一般转化为研究函数图象的公共点问题.以导数为工具，先分析函数的基本性质，再研究图象，是一种有效的办法.,4.,解函数的最值的实际问题，首先把各变量用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式;,26,其次确定函数的定义区间，用数学知识求得最大、最小值；最后所得结果要符合问题的实际意义，即进行检验,.,如在区间内函数只有一个点使,f,(,x,)=0,，且在这点上函数有极大或极小值，那么解实际问题时，可以不与端点值进行比较，而直接可以得出这就是最大或最小值,.,27,