高考数学复习15-推理与证明3.ppt

第,3,课时 数学归纳法,证明一个与正整数,n,有关的命题，可按下列步骤进行：,(1)(,归纳奠基,),证明当,n,取第一个值,n,0,(,n,0,N,*,),时命题成立；,(2)(,归纳递推,),假设,n,k,(,k,n,0,，,k,N,*,),时命题成立，证明当,n,k,1,时命题也成立,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立,基础知识梳理,上述证明方法叫做数学归纳法用框图表示就是：,基础知识梳理,1,数学归纳法适用于证明,_,类型的命题,(,),A,已知结论,B,结论已知,C,直接证明比较困难,D,与正整数有关,答案,：,D,三基能力强化,A,1 B2,C,3 D,0,答案,：,C,三基能力强化,三基能力强化,答案,：,D,三基能力强化,答案,：,2,k,三基能力强化,5,记凸,k,边形的内角和为,f,(,k,),，则凸,k,1,边形的内角和,f,(,k,1),f,(,k,),_.,答案,：,三基能力强化,用数学归纳法证明恒等式的关键是在证明,n,k,1,时命题成立，要从,n,k,1,时待证的目标恒等式的一端,“,拼凑,”,出归纳假设的恒等式的一端，再运用归纳假设即可同时，还要注意待证的目标恒等式的另一端的变化，即用,“,k,1”,替换恒等式中的所有,“,n,”,课堂互动讲练,考点一,用数学归纳法证明恒等式,课堂互动讲练,例,1,【,思路点拨,】,证明等式是数学归纳法的应用之一，证明时，较为困难的是第二步，首先要弄清等式两边的构成规律，然后证明当,n,1,时命题成立，再证如果,n,k,时命题成立，那么,n,k,1,时命题也成立,课堂互动讲练,课堂互动讲练,那么,(,k,1),2,1,2(,k,1),2,2,2,k,(,k,1),2,k,2,(,k,1)(,k,1),2,(,k,1),2,(,k,2,1),2(,k,2,2,2,),k,(,k,2,k,2,),(2,k,1)(1,2,k,),课堂互动讲练,当,n,k,1,时等式成立,由,(1)(2),知，对任意,n,N,*,等式成立,课堂互动讲练,【,误区警示,】,当,n,k,1,时易错写成,(,k,2,1),2(,k,2,2,2,),(,k,1)(,k,1),2,(,k,1),2,整除问题是常见数学问题，除了在二项式定理中利用二项式定理证明整除外，有些还可用数学归纳法，应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是,“,凑项,”,，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法也可以说将式子,“,硬提公因式,”,，即将,n,k,时的项从,n,k,1,时的项中,“,硬提出来,”,，构成,n,k,时的项，后面的式子相对变形，使之与,n,k,1,时的项相同，从而达到利用假设的目的,课堂互动讲练,考点二,用数学归纳法证明整除,课堂互动讲练,例,2,已知,f,(,n,),(2,n,7)3,n9(,n,N,*,),，用数学归纳法证明,f,(,n,),能被,36,整除,【,思路点拨,】,用数学归纳法能证明整除问题，在由,k,过渡到,k,1,时常用,“,配凑,”,的办法，要有目的地去,“,配凑,”,36,的倍数式子和假设,n,k,时的式子,课堂互动讲练,【,证明,】,(1),当,n,1,时，,f,(1),36,，能被,36,整除,(2),假设,n,k,(,k,N,*,),时，,f,(,k,),能被,36,整除，,即,f,(,k,),(2,k,7)3,k,9,能被,36,整除；,当,n,k,1,时，,2(,k,1),73,k,1,9,(2,k,7)3,k,1,27,27,23,k,1,9,3(2,k,7)3,k,9,18(3,k,1,1),，,由于,3,k,1,1,是,2,的倍数，故,18(3,k,1,1),能被,36,整除，这就是说，当,n,k,1,时，,f,(,n,),也能被,36,整除,由,(1)(2),可知对一切正整数,n,都有,f,(,n,),(2,n,7)3,n,9,能被,36,整除,课堂互动讲练,【,名师点评,】,用数学归纳法证明整除问题的关键是,“,配凑,”,采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑出归纳假设和倍数式子，从而由部分的整除性得出整体的整除性,课堂互动讲练,在几何问题中，常有与,n,有关的几何证明，其中有交点个数、内角和、将平面分成若干部分等问题这些问题可用数学归纳法证明，利用数学归纳法证明这些问题时，关键是,“,找项,”,，即几何元素从,k,个变成,k,1,个时，所证的几何量将增加多少，这需,课堂互动讲练,考点三,用数学归纳法证明几何问题,用到几何知识或借助于几何图形来分析，在实在分析不出来的情况下，将,n,k,1,和,n,k,分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧,课堂互动讲练,课堂互动讲练,例,3,用数学归纳法证明平面内有,n,个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点则这,n,个圆将平面分成,n,2,n,2,个部分,课堂互动讲练,【,思路点拨本题中找到第,k,1,个圆被原来的,k,个圆分成了,2,k,条弧，而每一条弧把它所在部分分成了两块，此时共增加了,2,k,个部分，问题就得到了解决,【,证明,】,(1),当,n,1,时，即一个圆把平面分成,2,个部分，,f,(1),2,，又,n,1,时，,n,2,n,2,2,，所以命题成立,(2),假设,n,k,(,k,1,且,k,N,*,),时，命题成立，即,k,个圆把平面分成,f,(,k,),k,2,k,2,个部分,那么当,n,k,1,时，记第,k,1,个圆为,O,.,由题意，,O,与其他,k,个圆相交于,2,k,个点，这,2,k,个点把,O,分成,2,k,条弧，而每条弧把原区域分成2,部分，因此这个平面被圆分成的部分就增加了,2,k,个，即：,课堂互动讲练,f,(,k,1),f,(,k,),2,k,k,2,k,2,2,k,(,k,1),2,(,k,1),2,，,也即,n,k,1,时命题成立,由,(1)(2),可知，对任意,n,N,*,命题均成立,【,思维总结,】,用数学归纳法证明与正整数有关的几何问题，由,k,过渡到,k,1,时常利用几何图形来分析前后的变化情况，并用严谨的文字给予说明,课堂互动讲练,用数学归纳法证明与,n,有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式，往往要先对,n,取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，再猜出从某个,n,值开始都成立的结论，最后用数学归纳法证明,课堂互动讲练,考点四,用数学归纳法证明不等式,课堂互动讲练,例,4,课堂互动讲练,课堂互动讲练,即,n,k,1,时，命题成立,由,(1)(2),可知，命题对所有,n,N,*,都成立,【,思维总结,】,本题主要考查数列的递推关系；通项公式及前,n,项和公式，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力,课堂互动讲练,“,归纳,猜想,证明,”,的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式其一般思路是：通过观察有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数学归纳法证明这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用其关键是归纳、猜想出公式,课堂互动讲练,考点五,归纳、猜想、证明,课堂互动讲练,例,5,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,(,本题满分,12,分,),设数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且方程,x,2,a,n,x,a,n,0,有一个根是,S,n,1,，,n,1,2,3,，,(1),求,a,1,，,a,2,；,(2),求,a,n,的通项公式,解,：,(1),当,n,1,时，,x,2,a,1,x,a,1,0,有一根为,S,1,1,a,1,1,，于是,(,a,1,1),2a,1,(,a,1,1),a,1,0,，,课堂互动讲练,高考检阅,课堂互动讲练,(2),由题设,(,S,n,1),2,a,n,(,S,n,1),a,n,0,，,S,n,2,2,S,n,1,a,n,S,n,0.,当,n,2,时，,a,n,S,n,S,n,1,，,代入上式得,S,n,1,S,n,2,S,n,1,0(*),课堂互动讲练,下面用数学归纳法证明这个结论,n,1,时已知结论成立,假设当,n,k,(,k,N,*,，,k,1),时结论成立，,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1,数学归纳法,数学归纳法是用来证明与正整数,n,有关的数学命题的一种常用方法，应用时应注意以下三点：,(1),验证是基础,数学归纳法的原理表明：第一步是要找一个数,n,0,，这个,n,0,就是要证明的命题对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是,“,1”,，因此,“,找准起点，奠基要稳,”,是正确运用数学归纳法时首先要注意的问题,规律方法总结,(2),递推是关键,数学归纳法的实质在于递推，所以从,“,k,”,到,“,k,1”,的过程，必须把归纳假设,“,n,k,”,作为条件来推出,“,n,k,1”,时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次,(3),寻找递推关系,在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的,规律方法总结,探求数列通项公式要善于观察式子的变化规律，观察,n,处在哪个位置,在写,f,(,k,1),时，一定要把包含,f,(,k,),的式子写出来，尤其是,f,(,k,),中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚,规律方法总结,2.“,归纳,猜想,证明,”,这类问题的证法,先归纳推理,(,依据特殊情形,),猜想出一般结论，再用数学归纳法证明猜想结论的正确性一般地，数学研究与发现往往包括两个要素,发现结论与证明结论,(,两者通常交织在一起,),，发现结论往往通过合情推理，结论的正确性需要通过逻辑证明来确认,规律方法总结,