1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,精选2021版课件,*,二、极限的四则运算法则,三、复合函数的极限运算法则,一、无穷小运算法则,第六节,极限运算法则,1,精选2021版课件,时,有,一、无穷小运算法则,定理1.,有限个无穷小的和还是无穷小.,证:,考虑两个无穷小的和.,设,当,时,有,当,时,有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2,精选2021版课件,说明:,无限个,无穷小之和,不一定,是无穷小!,例如，,机动 目录 上页 下页 返回 结束,类似可证:,有限个,无穷小之和仍为无穷小.,3,精
2、选2021版课件,定理2.,有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证:,设,又设,即,当,时,有,取,则当,时,就有,故,即,是,时的无穷小.,推论 1,.,常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论 2,.,有限个无穷小的乘积是无穷小.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4,精选2021版课件,例1.,求,解:,由定理 2 可知,说明:,y,=0 是,的渐近线.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5,精选2021版课件,二、极限的四则运算法则,则有,证:,因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理,知定理结论成立.可推广到有限个.,定理 3.,若
3、机动 目录 上页 下页 返回 结束,6,精选2021版课件,定理 4,.,若,则有,提示:,利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明.,说明:,定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形.,推论 1.,(,C,为常数),推论 2.,(,n,为正整数),例2.,设,n,次多项式,试证,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,7,精选2021版课件,为无穷小,(详见P44),定理 5.,若,且,B,0,则有,证:,因,有,其中,设,因此,由极限与无穷小关系定理,得,为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,精选2021版课件,定理6,.,若,则有,提示:,因为数列是一种特殊的函数,故此定
4、理 可由,定理3,4,5 直接得出结论.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,精选2021版课件,例3.,设有分式函数,其中,都是,多项式,试证:,证:,说明:,若,不能直接用商的运算法则.,例4.,若,机动 目录 上页 下页 返回 结束,10,精选2021版课件,例5.,求,解:,x,=1 时,分母=0,分子0,但因,机动 目录 上页 下页 返回 结束,11,精选2021版课件,例6,.,求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,“抓大头”,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,精选2021版课件,一般有如下结果：,为非负常数),机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,精
5、选2021版课件,三、复合函数的极限运算法则,定理7.,设,且,x,满足,时,又,则有,证:,当,时,有,当,时,有,对上述,取,则当,时,故,因此,式成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,精选2021版课件,定理7.,设,且,x,满足,时,又,则有,说明:,若定理中,则类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,精选2021版课件,例7.,求,解:,令,已知,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,16,精选2021版课件,例8.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,17,精选2021版课件,内容小结,1.极限运算法则,(1)无穷小运算法则,(2)极限四则运
6、算法则,(3)复合函数极限运算法则,注意,使用条件！,2.求函数极限的方法,(1)分式函数极限求法,时,用代入法,(分母不为 0),时,对,型,约去公因子,时,分子分母同除最高次幂,(2)复合函数极限求法,设中间变量,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,精选2021版课件,思考题,19,精选2021版课件,思考题解答,不能保证.,例,有,20,精选2021版课件,作业,P20.A:1,3，5,7,9,B:2,21,精选2021版课件,二、两个重要极限,一、极限存在准则,第七节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,极限存在准则及,两个重要极限,22,精选2021版课件,一、极限存在准则,1
7、夹逼准则,证,23,精选2021版课件,上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,24,精选2021版课件,注意:,准则,和,准则,称为,夹逼准则,.,25,精选2021版课件,例1,解,由夹逼定理得,26,精选2021版课件,2.单调有界准则,单调增加,单调减少,单调数列,几何解释:,27,精选2021版课件,例2,证,(舍去),28,精选2021版课件,二、两个重要极限,(1),29,精选2021版课件,30,精选2021版课件,例3,解,31,精选2021版课件,(2),定义,32,精选2021版课件,类似地,33,精选2021版课件,34,精选2021版课件,35,精选2021版课件,例4,解,例5,解,36,精选2021版课件,例6.,求,解:,原式=,机动 目录 上页 下页 返回 结束,37,精选2021版课件,三、小结,1.,两个准则,2.,两个重要极限,夹逼准则;单调有界准则.,38,精选2021版课件,思考题,求极限,39,精选2021版课件,思考题解答,40,精选2021版课件,一、填空题:,练 习 题,41,精选2021版课件,二、求下列各极限:,42,精选2021版课件,43,精选2021版课件,练习题答案,44,精选2021版课件,作业,P24.A:1-2，4，6;2-2,B.,45,精选2021版课件,
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