曲边梯形的面积与定积分.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,曲边梯形的面积,与定积分,1.4.1,2,了解：几个常用求和公式,3,1.,曲边梯形,：,在直角坐标系中，由连续曲线,y,=,f,(,x,),，直线,x,=,a,、,x,=,b,及,x,轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,a,b,y=f,(,x,),一,.,曲边梯形的定义,x=a,x=b,曲边梯形的特点,、只有一边是曲线,、其他三边是特殊直线,4,问题,1,圆的面积公式是如何推导的？,5,曲边梯形的面积,将圆分成若干,等,份,无限分割！,6,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,A,1,.,用一个矩形的面积,A,1,近似代替曲边梯形的面积,A,，,得,7,A,A,1,+,A,2,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形,的面积,A,，得,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,8,A,A,1,+,A,2,+,A,3,+,A,4,用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形,的面积,A,，得,y,=,fx,),b,a,x,y,O,A,1,A,2,A,3,A,4,9,y,=,f,(,x,),b,a,x,y,O,A,A,1,+,A,2,+,+,A,n,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积,A,近似为,A,1,A,i,A,n,以直代曲,无限逼近,10,（,1,）分割,把区间,0,，,1,等分成,n,个小区间：,过各区间端点作,x,轴的垂线，从而得到,n,个小曲边梯形，他们的面积分别记作,例,1.,求抛物线,y,=,x,2,、,直线,x,=1,和,x,轴所围成的,曲边梯形的面积,。,11,（,2,）近似代替,(,不足近似值,),12,（,3,）求和,13,（,4,）取极限,14,小结,:,求由连续曲线,y,=,f,(,x,),对应的,曲边梯形,面积的方法,（,1,）,分割,（,2,）,近似代替,（,3,）,求面积的和,（,4,）,取极限,不足近似值！,15,(,过剩近似值,),16,(,过剩近似值,),17,18,求曲边梯形面积：,(1),思想：以直代曲,(2),步骤：分割,近似代替,求和,取极限,(3),关键：近似代替,(4),结果：分割越细，面积越精确,19,1,、在“近似代替”中，函数,f(x),在区间 上的近似值等于（）,A.,只能是左端点的函数值,B.,只能是右端点的函数值,C.,可以是该区间内任一点的函数值,D.,以上答案均不正确,C,练 习,20,二,.,定积分定义,设函数,f,（,x,）在,a,，,b,上连续，在,a,，,b,中任意插入,n-1,个分点：,把区间,a,b,等分成,n,个小区间，,则，这个常数,A,称为,f(x),在,a,，,b,上的,定积分,(,简称积分,),记作,21,被积函数,被积表达式,积分变量,积分上限,积分下限,积分和,22,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,说明,（,1,）,定积分是特殊和式极限,它是一个定数,;(2),定积分的大小仅与区间,a,b,和被积函数,f(x),有关,23,1,、,如果函数,f,（,x,）在,a,，,b,上连续且,f,（,x,）,0,时，那么定积分 就表示以,y=f,（,x,）为曲边的曲边梯形面积,。,2,、,定积分 的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示。,定积分的几何意义是什么？,24,25,【,错因分析,】,在应用定积分的几何意义求定积分时，错解中没有考虑在,x,轴下方的面积取负号，,x,轴上方的面积取正号，导致错误,解：,错解！,26,27,定积分的简单性质,28,题型,1,：,定积分的简单性质的应用,29,题型,2,：,定积分的几何意义的应用,8,问题,1,：,你能求出下列格式的值吗？不妨试试。,30,理解练习,见学案例,1；,例,2；,例,3,31,微积分基本定理,32,微积分基本定理：,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，并且,F(x),f,（,x),，则，,这个结论叫,微积分基本定理,（,fundamental theorem of calculus),，又叫,牛顿莱布尼茨公式,（,Newton-Leibniz Formula).,33,说明：,牛顿莱布尼茨公式,提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，,只要求出被积函数,f,(,x,),的一个原函数,F,(,x,),，然后,计算原函数在区间,a,b,上的增量,F,(,b,),F,(,a,),即可,.,该公式把计算定积分归结为求原函数的问题。,34,解,（）,找出,f(x),的原函数是关键,例,1,计算下列定积分,35练习,1:,36,例计算定积分,解,:,37,达标练习：,初等函数,38,微积分基本定理,三、小结,39,定积分公式,40,牛顿,牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。,1642,年,12,月,25,日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村,1727,年,3,月,20,日在伦敦病逝。,牛顿,1661,年入英国剑桥大学三一学院，,1665,年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。,1667,年回剑桥后当选为三一学院院委，次年获硕士学位。,1669,年任卢卡斯教授直到,1701,年。,1696,年任皇家造币厂监督，并移居伦敦。1703,年任英国皇家学会会长。,1706,年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。,牛顿在科学上最卓越的贡献是微积分和经典力学的创建。,返回,41,莱布尼兹,莱布尼兹，德国数学家、哲学家，和牛顿,同为微积分的创始人；,1646,年,7,月,1,日生于,莱比锡，,1716,年,11,月,14,日卒于德国的汉诺,威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家,庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。,1661,年,入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学,学习几何，,1666,年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文,论组合的技巧,已含有数理逻,辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。,1667,年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。,1676,年到汉,诺威，任腓特烈公爵顾问及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼兹的多才多艺在历史上很少有,人能和他相比，他的著作包括数学、历史、语言、生物,、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。,返回,42,基本初等函数的导数公式,返回,43,