卷积积分的性质.ppt

单击此处编辑母版标题样式,第,*,页,2.4 卷积积分的性质,卷积,代数,运算,与冲激函数或阶跃函数的卷积,微分积分性质,卷积的时移特性,相关函数,卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。,一、卷积,代数运算,1交换律,2分配律,3结合律,系统并联运算,系统级联运算,证明,证明交换律,卷积结果与交换两函数的次序无关。,一般选比较简单函数进行反转和平移。,二、与冲激函数或阶跃函数的卷积,1.,f,(,t,)*,(t)=,(,t,)*,f,(,t,)=,f,(,t,),证：,f,(,t,)*,(,t,t,0,)=,f,(,t,t,0,),2.,f,(t,)*,(,t,)=,f,(,t,),证：,f,(,t,)*,(n),(,t,)=,f,(n),(,t,),3.,f,(,t,)*,(,t,),(,t,)*,(,t,)=,t,(,t,),三、卷积的微积分性质,1.,证：上式=,(n),(,t,),*,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),=,(n),(,t,),*,f,1,(,t,)*,f,2,(t)=,f,1,(n),(,t,)*,f,2,(,t,),2.,证：上式=,(,t,)*,f,1,(t)*,f,2,(t),=,(,t,)*,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)=,f,1,(1),(,t,)*,f,2,(,t,),3.在f,1,()=0或,f,2,(1),()=0的前提下，,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,)=,f,1,(t)*,f,2,(1),(,t,),例1,例2,卷积性质例1,例1,：,f,1,(t)如图,f,2,(t)=e,t,(t)，求,f,1,(t)*,f,2,(t),解：,f,1,(t)*,f,2,(t)=,f,1,(t)*,f,2,(1),(t),f,1,(t)=,(t),(t 2),f,1,(t)*,f,2,(t)=(1-e,t,),(t)1-e,(t-2),(t-2),注意,：当,f,1,(t)=1，,f,2,(t)=e,t,(t)，,套用,f,1,(t)*,f,2,(t)=,f,1,(t)*,f,2,(1),(t)=0*,f,2,(1),(t)=0 显然是错误的,。,四、卷积的时移特性,若,f,(t)=,f,1,(t)*,f,2,(t)，,则,f,1,(t,t,1,)*,f,2,(t,t,2,)=,f,1,(t,t,1,t,2,)*,f,2,(t),=,f,1,(t)*,f,2,(t,t,1,t,2,),=,f,(t,t,1,t,2,),例,求卷积是本章的重点与难点。,求解,卷积的方法,可归纳为：,（1）,利用定义式，直接进行积分,。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。,（2）,图解法,。特别适用于求某时刻点上的卷积值。,（3）,利用性质,。比较灵活。,三者常常结合起来使用。,卷积性质例3,例：,f,1,(t),f,2,(t)如图，求,f,1,(t)*,f,2,(t),解：,f,1,(t)=2,(t)2,(t 1),f,2,(t)=,(t+1),(t 1),f,1,(t)*,f,2,(t),=2,(t)*,(t+1)2,(t)*,(t 1),2,(t 1)*,(t+1)+2,(t 1)*,(t 1),由于,(t)*,(t)=t,(t),据时移特性，有,f,1,(t)*,f,2,(t)=2(t+1),(t+1)-2(t 1),(t 1),2 t,(t)+2(t 2),(t 2),五、相关函数,相关函数是鉴别信号的有力工具，被广泛应用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别等领域。,相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。,相关函数的定义,相关与卷积的关系,相关函数的图解,1.定义,实能量有限函数,f,1,(,t,)和,f,2,(,t,)的互相关函数,互相关是表示两个不同函数的相似性参数。,可证明,，,R,12,(,)=,R,21,(,)。,若,f,1,(,t,)=,f,2,(,t,)=,f,(,t,)，则得自相关函数,显然，,R,(,-,)=,R,(,)偶函数。,注,2.相关与卷积的关系,R,12,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(,t,),R,21,(,t,)=,f,1,(,t,)*,f,2,(t,)。,可见，,若,f,1,(,t,)和,f,2,(,t,)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。,3.相关函数的图解(0t,1,2),实功率有限信号相关函数的定义,f,1,(,t,)与,f,2,(,t,)是功率有限信号,相关函数：,自相关函数：,例,解：,对此功率有限信号，由自相关函数的定义，有,此例结论,1.周期信号自相关函数仍为周期信号,且周期相同。,2.自相关函数是一偶函数，R(0)为最大值。,3.余弦函数自相关函数仍为余弦;同理可证，任意相位的,正弦，余弦之自相关函数仍为余弦。,系统级联,系统级联，框图表示：,结论,：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。,系统并联,系统并联，框图表示：,结论,：子系统并联时，总系统的冲激响应等于,各,子系统冲激响应之和。,