方向导数与梯度.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第七节 方向导数与梯度,一、方向导数,二、梯度,1,一、问题的提出,一块长方形的金属板，受热,产生如图温度分布场,.,设一个小虫在板中逃生至某,问该虫应沿什么方向爬行，,才能最快到达凉快的地点？,处，,问题的,实质,：,应沿由热变冷变化最剧烈的,方向爬行,2,需要计算场中各点沿不同方向的温度变化率，,从而确定出温度下降的最快方向,引入两个概念：,方向导数,和,梯度,方向导数问题,梯度问题,3,讨论函数 在一点,P,沿某一方向的,变化率问题,二、方向导数,4,当 沿着 趋于 时,，,是否存在？,5,记为,6,的方向导数为,同理,沿,y,轴正向,的方向导数分别为,在点,沿着,轴正向,若偏导 存在,则,7,方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限,.,原因：,8,证明,由于函数可微，则增量可表示为,方向导数的存在及计算公式,那末函数在该点沿任意方向,l,的方向导数都存在，,定理 如果函数,在点,可微分，,且有,为,轴到方向,l,的转角,其中,计算公式,9,故有方向导数,两边同除以,得到,10,故,x,轴到方向,l,的转角,解,方向,l,即为,11,解,由方向导数的计算公式知,（,1,）最大值,;,（,2,）最小值；（,3,）等于零？,例,2,求函数,在点,(1,1),沿与,x,轴方向夹角为,的方向射线,的方向导数,.,并问在怎样的方向上此方向导数有,12,故,13,推广,:,三元函数方向导数的定义,对于三元函数,它在空间一点,沿着方向,l,的方向导数，,可定义为,14,方向导数的计算公式,15,解,令,故,方向余弦为,求函数,在此处沿方向,的方向导数,.,是曲面,例,3,设,在点,处的指向外侧的法向量,16,故,17,三、梯度,18,设,是方向,上的单位向量，,19,结论,当,不为零时，,x,轴到梯度的转角的正切为,函数在某点的梯度是这样一个向量，,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值,梯度的模为,20,在几何上 表示一个曲面,曲面被平面 所截,得曲线,它在,xoy,面上投影方程：,等高线,称为,等值线,.,等值线,几何上，称为等高线,.,21,例如,22,等值线,上任一点处的一个法向量为,表明：梯度方向与等值线的一个法线方向相同，,它的指向为从数值较低的等值线指向较高的等,梯度的模就等于函数在这个法线方向的,方向导数,.,值线，,23,问题：,上山时，如何选择最快的方向？,计算方法课程中的一种计算策略：,“,瞎子下山法”,24,类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值,.,梯度的概念可以推广到三元函数,25,解,由梯度计算公式得,故,则在,处梯度为,例,4,求函数,在点,处的梯度，并问在何处梯度为零？,26,一、方向导数,（注意方向导数与一般所说偏导数的,区别,）,小结,1.,定义,2.,计算公式,27,二、梯度,（注意梯度是一个,向量,）,定义,方向：,x,轴到梯度的转角的正切,模,：,28,三、方向导数与梯度的关系,方向,与取得最大方向导数的方向一致,模,为方向导数的最大值,.,梯度：,其中,29,思考题,问函数在某点处沿什么方向的方向导数最大？,答：梯度方向,答：,30,作 业,P.51,习题,8-7,1;4;7;8;10.,31,练 习 题,32,33,练习题答案,34,