第二章-计算机控制系统理论基础.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章,计算机控制系统理论基础,第二章,1-,1,本章主要阐述计算机控制系统的基本概念和基本方法。,第一节 采样过程与采样定理,一、采样控制系统,计算机控制系统结构框图如图,2-1,所示。,在,A/D,（,采样器）计算机,D/A,（,保持器）的通道上，传送的信号不是连续的模拟量，而是离散信号，其信号只在一定间隔的采样瞬时上存在。这种具有离散传输通道的系统，常称其为采样系统。,一,图2-1 采样控制系统结构图,wyx,二、采样过程,所谓采样过程，就是利用采样开关将连续信号转换成离散信号的过程。,如图,2-2,所示，采样开关每隔一定时间,T,闭合一次，每次闭合持续时间为，由于远小于采样周期,T,，,也远小于系统中连续部份的时间常数，因此在分析采样系统时，可近似忽略不计。于是，原来在时间上连续的信号就变成了离散的信号。,因此，采样过程可视为单位理想脉冲序列被输入的连续信号进行幅值调制的过程，采样过程的数学描述为：,第,二,章,1-,2,第,二,章,1-,3,图2-2 采样过程,第,二,章,1-,4,（2-1）,其中,（2-2）,称为单位理想脉冲序列。,由于离散信号仅在采样时刻有效，而处的值即为，故式（2-1）也可写作：,（(2-3),wyx,第,二,章,1-,5,采样的幅值调制过程如图,2-3,所示。图,2-3,*,对单位脉冲序列的调制,三、采样定理,由采样过程不难发现，采样周期,T,越短，采样信号 就越接,近被采样信号 。反之，,T,越大，,与,f(t),的差别就越大。,第,二,章,1-,6,图,2-4,f(t),及,f,*,(t),的频谱,a)f(t),的频谱,b),f,*,(t),的频谱,f,*,(t),通常连续信号（模拟信号）的频谱宽度是有限的，一般为一孤立频谱。为保证采样信号,f,*,(t),的频谱是,f(t),的频谱无重叠的重复（沿频率轴方向），,以便,f,*,(t),采样信号能反映被采样信号,f(t),的变化规律，采样频率,至少应是,f(t),频谱的最高频率 的 两倍，即,第,二,章,1-,7,这就是著名的采样定理，即香农,(,shannon,),定理。,第,二,章,1-,8,第二节 零阶保持器,一、信号复现,保持器是将采样信号复现为连续信号的装置。,a)b),图2-5 理想滤波器及其输出信号频谱,a),理想的滤波器,b),滤波器输出信号频谱,wyx,第,二,章,1-,9,二、零阶保持器,零阶保持器的作用是把前一采样时刻,kT,的采样值一直保持到下一个采样时刻(,k+1)T，,从而使采样信号,f,*,(t),变为阶梯信号,f,k,(t)，,图,2-6,所示为其输入、输出特性。,图2-6 零阶保持器的输入输出特性,wyx,第,二,章,1-,10,若给零阶保持器的输入端加上单位脉冲，则输出为一个高度为1持续时间为,T,的矩形波,g,k,(t)，,g,k,(t),即脉冲响应函数，它可分解为两个单位阶跃函数的叠加，,T,0,1,t,T,1,0,t,1,图2-7 零阶保持器单位脉冲响应,如图,2-7,所示，其表达式为：,（,2-4,）,如图,2-7,所示，其表达式为：,第,二,章,1-,11,（,2-4,）,式中，,T,为采样周期。对式（,2-4,）取拉氏变换，得,（,2-5,）,令 ，得零阶保持器的频率特性,（,2-6,）,因为,，那么上式可表示为,第,二,章,1-,12,（,2-7,）,其频率特性如图,2-8,所示。图中采样角频率 。可见，,零阶保持器在允许采样信号的主频分量通过的同时，还允许部分高频分量通过。因此，它不是一个理想的低通滤波器。另外它的相频特性具有滞后的相位移，对采样系统的稳定性带来不利影响。,第四章,1-,13,图2-8 零阶保持的频率特性,第三节,z,变换理论,一、,z,变换的定义,如图,2-3,所示，对连续信号,f(t),进行周期为,T,的采样,f,*,(t)，,可以得到采样信号,它是在采样时刻,t=0,T,2T,定义的，,即,第,二,章,1-,14,对上式进行拉氏变换，可得到采样信号,f,*,(t),的拉氏变换,F,*,(s),（2-8）,因复变量,s,含在,e,-,kTs,中，,e,-,kTs,是超越函数，不便于计算，故引进,个新变量，令,第,二,章,1-,15,将,F,*,(s),写作,F(z)，,把,z=e,-,kTs,代人式,(2-8),中，便得到了以,z,为变量的函数，即,F(z),称为采样信号,f,*,(t),的,z,变换。,二、,z,变换的求法,求一个函数的,z,变换，常用的有直接法、部分分式法和留数法，这里只介绍直接法和部分分式法。,1,、直接法,直接法就是直接根据,z,变换的定义式（,2-9,）来求一个函数的,z,变换。下面用一例来说明。,第,二,章,1-,16,图2-9 采样值相同的两个不同的连续函数,例,2-1,求单位阶跃1(,t),函数的,z,变换。,解,令,f(t)=1(t),，,由z,变换定义有,第,二,章,1-,17,(2-10),将上式两端同时乘以,z,-1,有,式（2-10）减式（2-11）得,所以,例,2-2,求指数函数的,e,-,z,(,0),变换。,解,令,f(t)=e,-,t,，,由,z,变换的定义有,第二章,1-,18,采用上例的方法，将上式写成闭合形式的,z,变换，有,2、部分分式法,设连续函数,f(t),的拉氏变换,F(s),为,s,的有理函数，将,F(s),展开成部分分式形式,式中，,s,i,为,的非重极点，,A,i,为常系数。由拉氏反变换可知，与,项对应的时间函数为 ，由例,2-2,可知,第二章,1-,19,所以,（,2-12,）,例,2-3,已知 ，求,F(z)。,解,由式（2-12）可得,第二章,1-,20,可见，如果能将,F(s),化成部分分式之和，然后根据式（2-12）便可方便地求取其,z,变换。,附录中列出了常用函数的,z,变换表,三、,Z,变换的基本定理,和拉氏变换一样，,z,变换有不少重要的性质，可用于演算或直接分析离散控制系统，这里介绍其中最常用的几条。,1、线性定理,对于任何常数和，若 ，若 ，则,（,2-13）,2,、延迟定理,若,Zf(t)=F(z)，,则,（,2-14）,第二章,-,21,即离散信号在时域内延迟,T,，,则其,z,变换应乘以,z,-1,，,所以,z,-1,可看作是滞后一个采样周期的算子。,3,超前定理,若,Zf(t)=F(z)，,则,（,2-15,）,特殊地，如果初始值为零，即,则,（,2-16,）,由此可以进一步明确算子,z,的物理意义：在满足初始条件为零的前提下，,z,1,代表超前一个采样周期。,4,、复位移定理,若,Zf(t)=F(z)，,则,wyx,第二章,1-,22,(,2-17),5,、复微分定理,若,Zf(t)=F(z),，,则,(,2-18),6,、初值定理,若,Zf(t)=F(z)，,则,（,2-19,）,利用初值定理，对于已知,z,变换系统，可以求取其初值。,7,、终值定理,若,Zf(t)=F(z)，,则,(,2-20),终值定理是研究离散系统稳态误差的重要数学工具。,例,2-4,已知 ，求终值,f(,)。,wyx,第二章,1-,23,解,8,、卷积定理,设,则,四、,z,反变换,由,f(t),的,z,变换,F(z)，,求其相对应的脉冲序列,f,*,(t),或数值序列,f(,kT,)，,称为,z,反变换，表示为,需数值序列时,需脉冲序列时,第二章,1-,24,z,变换对应的脉冲序列和数值序列都是唯一的，但对应的时间函数不唯一。,1,、直接除法,z,变换的闭合形式是,z,-1,的多项式之比，因此可以用直接除法把它们变换成开放形式，即,式中,f(0),f(T),f(2T)，,的即为所求的数值序列。,例2-5,求下列函数的,z,反变换：,解,wyx,第二章,1-,25,得,即,2,、部分分式法,直接除法只有在只需数值序列的最初几个数值时才可用。,（,1,）特征方程无重根的情况,例2-6,求下列的,z,反变换：,第二章,1-,26,解,的特征方程式为,此式表明特征方程无重根，设,故,根据附录可知,由于 ，所以,第二章,1-,27,（2）特征方程有重根的情况,例2-7,求下列函数的,z,反变换：,解,F(z),的特征方程式为,此式表明特征方程有重根，设,第二章,1-,28,故,根据附录可知,，,第二章,1-,29,所以有,3,、留数法,经推导，可得,z,反变换公式,（,2-22,）,例,2-8,已知 ，试用留数法求 。,解：,第二章,1-,30,其极点为：,，,故,第二章,1-,31,第四节 采样控制系统的数学模型,一、线性常系数差分方程及其解法,采样系统的动态过程可用差分方程描述，并可采用,z,变换法使时域中的差分方程转化为,z,域中的代数方程进行求解。,1,、差分的定义,设采样信号,f(,kT,)，,并令,T,=1s,一阶前向差分定义为,(2-23),二阶前向差分定义为,第二章,1-,32,二阶前向差分定义为,(,2-24),n,阶前向差分定义为,(,2-25),第二章,1-,33,同理，一阶后向差分定义为,二阶后向差分定义为,n,阶后向差分定义为：,第二章,1-,34,2,、用,z,变换法解差分方程,若方程的变量除了含有,f(k),以外，还有,f(k),的差分 ，则称该方程为差分方程。对于线性定常系统，其线性定常差分方程可表示为：,=,式中，,，,为常系数，,r(k),为输入信号；,c(k),为输出信号。,例2-9,用,z,变换解下列差分方程,第二章,1-,35,初始条件为：,解,对上式进行,z,变换得,代入初始条件，并解得,查表得,可见，用,z,变换法解线性常系数差分方程时，关键在于求,z,反变换。,第二章,1-,36,二、脉冲传递函数的定义,与此类似，在采样控制系统中，也是在初始静止（输入量,r(-1),r(-2),和输出量,c(-1),c(-2),均为零）的条件下，一个环节（系统）的输出脉冲序列的,z,变换与输入脉冲序列的,z,变换之比，被定义为该环节（系统）的脉冲传递函数。,在图,2-10,所示的环节中，若,R(z),和是,C(z),初始静止条件下的输入脉冲序列和输出脉冲序列的,z,变换，则该环节的脉冲传递函数为,图2-10 字环节脉冲传递函数,数,第二章,1-,37,三、开环系统（或环节）的脉冲传递函数,1,、串联环节的环脉冲传递函数,a)b),图2-11 串联环节框图的两种形式,a）,两环节间有采样开关,b）,两环节间无采样开关,在图,2-11,a,中，串联环节之间有采样器隔开,第二章,1-,38,所以,(,2-26),一般，几个串联环节之间都有采样器隔开时，等效的脉冲传递函数等于几个环节的脉冲传递函数之积。,在图,2-11,b,中，两个串联环节之间无采样器隔开，因此,为简化起见，表示为,(,2-27),wyx,第二章,1-,39,所以，等效的脉冲函数为,（,2-28,）,z,变换的乘积和传递函数乘积的,z,变换是不同的，即,显然，,下面分析一下离散系统中的连续元件。对于这些元件，由于输入、输出端存在有或无采样开关两种情况，使输入、输出关系变得较为复杂。图,2-12,给出了这些元件可能存在的输入、输出情况。,第二章,1-,40,a),b),c)d),图2-12 连续元件的四种输入、输出情况,a,）,连续输入，连续输出,b,）,连续输入，采样输出,c,）,采样输入，采样输出,d,）,采样输入，连续输出,第二章,1-,41,对图2-12,a,，,连续输入，连续输出：,C(s)=G(s)R(s)。,对图2-12,b,，,连续输入，采样输出：,C(z)=ZR(s)G(s)=RG(z)。,对图2-12,c,，,采样输入，采样输出：,C(z)=R(z)G(z)。,对图2-12,d,，,采样输入，连续输出：如果不必掌握所有时刻的输出,c(t)，,而只需注意采样瞬间,c,*,(t),的信号，则可以在输出端人为地附加一个理解的采样开关，这时，元件的输出就和图2-12,c,情况相同，即,C(z)=R(z)G(z)。,2,、,有零阶保持器的开环脉冲传递函数,系统的结构如图,2-13,所示,rt,),r,(,t,),G,(s),C,(,t,),C,*,(,t,),图2-13 有零阶保持器的开环系统,其开环传递函数为,因为 中包含两个分量，一个分量是输入采样信号 经 后所产生的 响应，其,z,变换,另一个分量是输入采样,r,*,(t),信号经 所产生的响应,，,而,e,-Ts,是一个延迟环节，因此,所以,故开环脉冲传递函数为,例,2-10,具有零阶保持器的开环采样系统结构图如图,2-13,所示，其中,T,=1,秒，试求脉冲传递函数,G(z)。,解：因为,所以有,四、闭环系统脉冲传递函数,闭环脉冲传递函数，是指系统的输出信号和输入信号的,z,变换之比。,例,2-11,求图,2-14,所示典型计算机控制系统的闭环脉冲传递函数。,D(z)、G(z),分别表示计算机和连续部分的脉冲传递函数。,图2-14 典型计算机控制系统,解：由于输入、输出信号都是连续信号，不能直接作,z,变换。为了清楚地表示闭环传递函数是,C(z),和,R(z),之比，在图中用虚线画出虚拟的采样开关，两个采样开关是同步的，采样周期是,T，,由图,2-14,得,又因为,所以,消去中间变量可得,所以,教材,P25,表,2-1,列出了常见的采样系统（包括开环和闭环）及其,C(z),的表达式。读者可对表中所列的系统进行分析，进一步熟悉闭环脉冲传递函数的求取。有些系统仅仅只能求得输出的表达式,C(z),，,而求不到闭环的脉冲传递函数。,第五节 采样控制系统的稳定性分析,在,z,平面上研究采样系统的稳定性，最重要的是必须弄清,s,平面与,z,平面的关系。,1、,z,平面与,s,平面的关系,根据,z,变换的定义,(,2-29),其中,s,是复变量，即,代入式（2-29）中得,不难看出，在,s,平面的虚轴上，,那么在,z,平面上为,即,s,平面上的虚轴对应于,z,平面上的单位圆。,即,s,平面上的虚轴对应于,z,平面上的单位圆。,同时，,s,左半平面内的点，有 ，则 ，对应于,z,平面上的单位圆内；反之，,s,右半平面上的点，有 ，对应于,z,平面上的单位圆外。,2,、,z,域稳定条件,采样控制系统稳定的充要条件是闭环系统的特征根均位于,z,平面的单位圆之内；若有一个或一个以上的闭环特征根在单位圆外，系统就不稳定；若有一个或一个以上在单位圆上时，系统就处于临界稳定。,分析采样系统稳定性，最直接的是解出特征根，或者根据特征方程各系数来判别稳定性，如劳斯判据等。,二、劳斯稳定判据,在连续系统中，劳斯判据是基于判别闭环特征根是否均位于,s,左半平面，从而确定系统的稳定性。在采样系统中，由于稳定性取决于根是否全在单位圆内，所以不能直接引用劳斯判据，必须寻求一种变换，使,z,平面上单位圆内映射到一个新平面的虚轴之左，我们称该新平面为平面。然后，便可直接应用劳斯判据了。,根据双线性变换,或,(,2-30)式中，,z、w,均为复变量。,令,则由式（2-30）有,因为平面的虚轴对应于，即,或,（,z,平面的单位圆方程）,可见，,z,平面的单位圆内的点，即,，对应于平面虚轴之左半平面（,u,0）。,例2-13,设采样控制系统的特征方程为,试用劳斯判据判别稳定性。,解：,因为,代入,D(z),中，有,化简得,列劳斯表,由于第一列元素的符号有两次改变，则有两个根在右半平面，即有两个根处于平面单位圆外，故该系统不稳定。,第六节,采样控制系统的稳态误差分析,采样控制系统稳态误差的概念，与连续控制系统十分相似。下面以单位反馈系统为例，讨论采样系统的稳态误差和误差系数。,系统如图2-16所示，因为,应用终值定理，得系统的稳态误差为,（,2-31）,图2-16 单位反馈系统,上式说明，和连续系统一样，采样系统的稳态误差，不仅与系统结构、参数有关，而且与输入信号有关。,下面分别讨论三种典型输入信号的稳态误差。,一、单位阶跃输入,令,，称为位置误差系数。,对于0型系统，,G(z),没有,z=1,的极点，,K,p,为有限值,（,2-32）,对于型系统或高于型的，,G(z),有一个或一个以上,z=1,的极点，,（,2-33）,二、单位斜坡输入,令,，称为速度误差系数。,对于,0,型系统，,G(z),没有,z=1,的极点，,K,p,为有限值,（,2-32）,对于型系统，,G(z),有一个或一个以上,z=1,的极点，,K,p,=,e(,)=0,三、单位加速度输入,（,2-34）,令,，称为加速度误差系数。,对于,0,型、,型系统,（,2-37,）,对于,型系统,Ka,=,有限值，,=,有限值,对于,型或高于,型系统,下表列出了不同典型输入信号作用时各类系统的稳态误差。,第七节,采样控制系统的动态性能分析,本节主要介绍如何在时域中求取采样系统的时间响应，以及定性分析平面上闭环极点分布与瞬态响应的关系。,一、采样系统的时间响应,在系统的动态性能指标中，最重要的两个指标是反映系统快速性的调整时间和反映系统阻尼特性的超调量,。,若采样控制系统的闭环脉冲传递函数为,(z),，则系统对单位阶跃输入的输出响应为,应用长除法，将分子分母相除，再用,z,反变换，即可得,C,*,(t)。,对一个稳定性较好的系统，过渡过程在有限个采样周期结束，故只需相除前几项，就能求得,t,s,、,等指标。下面我们通过实例介绍这种方法。,例,2-14,求图,2-17,所示系统的,t,s,、,近似值。已知,K=2，a=0.368，T=0。1s,。,图2-17 例2-14中的二阶系统,解,闭环脉冲传递函数为,系统的单位阶跃响应为,将分子分母相除，可得,因此采样输出为,将输出采样函数,c,*,(t),在采样时刻的值用标于图,2-18,中，圆滑连接图中各点，便得到了系统输出响应曲线,c(t),的大致波形，由该波形曲线可得,图2-18 例2-14的输出响应,二、闭环极点分布与瞬态响应的关系,1,、实轴上的单极点,如果系统的闭环脉冲传递函数 中有一个实轴上的单极点 ，则相应的部分分式展开式中有一项为,在单位脉冲作用下，对应于这一项的输出序列为,对于,a,的不同位置，会有不同的,c(k),序列，如图,2-19,所示。,a1,c(k),是发散序列。,a=1,c(k),是等幅脉冲序列。,a,a1，c(k),是单调衰减正序列。,a=-1，c(k),是交替变号的等幅脉冲序列。,a-1，c(k),是交替变号的发散序列。,显然，当,a,在单位圆内时，序列,c(k),是收敛的，而且|,a|,越小，,c(k),衰减越快。,2,、共轭复数极点,设系统有一对共轭极点,z=a,jb,，,可以证明这一对共轭极点产生的输出序列为,式中，,d,和 都是由部分分式展开式的系数所决定的常数，而,图2-19 实轴上根的位置和动态响应关系,极点在,z,平面上的位置是由,a、b,确定的。如图,2-20,所示。,图2-20 共轭极点的位置和动态响应的关系,和,，极点在单位圆外，,c(k),振荡且发散。,和,，极点在单位圆上，,c(k),等幅振荡。,和,，极点在单位圆内，,c(k),衰减振荡。,