等差数列前n项和性质和应用.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,等差数列的前n项和公式:,形式1:,形式2:,复习回顾,.将等差数列前n项和公式,看作是一个关于n的函数，这个函数有什么,特点？,当,d,0时,S,n,是常数项为零的二次函数,则 S,n,=An,2,+Bn,令,若C,0，则数列a,n,不是等差数列。,若C=0，则a,n,为等差数列；,结论1,：设数列a,n,的前n项和为 S,n,=An,2,+Bn+C，,结论2,：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：,（,1）当d0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；,（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n 的二次函数。,反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。,若C,0，则数列a,n,不是等差数列。,若C=0，则a,n,为等差数列；,S,n,=An,2,+Bn+C，,求等差数列前n项的最大(小)的方法,方法1:由 利用二次函数的对称轴求得最值及取得最值时的n的值.,方法2:利用,a,n,的符号当,a,1,0,d,0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为S,n,的最大值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.当,a,1,0时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由,a,n,0且,a,n+1,0求得.,1.等差数列,a,n,前n项和的性质,性质1:Sn,S,2n,S,n,S,3n,S,2n,也成等差数列,公差为,在等差数列,a,n,中,其前n项的和为S,n,则有,性质2:若S,m,=p,S,p,=m(mp),则S,m+p,=,性质3:若S,m,=S,p,(mp),则 S,p+m,=,n,2,d,0,-(m+p),新课讲授,性质5,、等差数列a,n,的前n项和为S,n,则,(n为奇数),(n为偶数),性质4:为等差数列.,新课讲授,性质6,、若等差数列a,n,共有2n-1项，,若等差数列a,n,共有2n项，则,如a,n,为等差数列，项数为奇数，奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数。,S,偶,-S,奇,=nd,新课讲授,2.两等差数列前n项和与通项的关系,性质7:若数列,a,n,与,b,n,都是等差数列,且前n项的和分别为S,n,和T,n,则,新课讲授,例1.设等差数列,a,n,的前n项和为S,n,若S,3,=9,S,6,=36,则,a,7,+,a,8,+,a,9,=(),A.63 B.45 C.36 D.27,例2.在等差数列,a,n,中,已知公差d=1/2,且,a,1,+,a,3,+,a,5,+,a,99,=60,a,2,+,a,4,+,a,6,+,a,100,=(),A.85 B.145 C.110 D.90,B,A,3.等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例3.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为,.,110,例4.两等差数列an、bn的前n项和分别是Sn和Tn,且,求 和 .,等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例5.(09宁夏)等差数列,a,n,的前n项的和为S,n,已知,a,m-1,+,a,m+1,-,a,m,2,=0,S,2m-1,=38,则m=,.,例6.设数列,a,n,的通项公式为,a,n,=2n-7,则|,a,1,|+|,a,2,|+|,a,3,|+|,a,15,|=,.,10,153,等差数列,a,n,前n项和的性质的应用,例7、一个等差数列的前12项的和为354,前12项中,偶数项和与奇数项和之比为32:27,求公差d,解：由题意，列方程组得：S,奇,=162，S,偶,=192,S,偶,-S,奇,=6d=30,d=5,等差数列,a,n,前n项和的性质,例8.设等差数列的前n项和为S,n,已知,a,3,=12,S,12,0,S,13,0,13,a,1,+136,d,0,等差数列,a,n,前n项和的性质,(2),Sn图象的对称轴为,由(1)知,由上得,即,由于n为正整数,所以当n=6时S,n,有最大值.,S,n,有最大值.,练习1,已知等差数列25,21,17,的前,n,项和为,S,n,求使得,S,n,最大的序号,n,的值.,练习2:,求集合,的元素个数，并求这些元素的和.,练习,3,：已知在等差数列,a,n,中,a10,=23,a,25,=-22,S,n,为其前,n,项和.,（1）问该数列从第几项开始为负？,（2）求,S,10,（3）求使,S,n,0,的最小的正整数,n,.,(4)求|,a,1,|+|,a,2,|+|,a,3,|+,+|,a,20,|的值,随堂练习,1、在等差数列a,n,中,已知S,15,=90,那么a,8,等于,A、3 B、4 C、6 D、12,2、等差数列a,n,的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为,A、130 B、170 C、210 D，260,3、设数列a,n,是等差数列，且a,2,=-6,a,8,=6,S,n,是数列a,n,的前n项和，则,A、S,4S,5,B、S,4,=S,5,C、S,6,S,5,D、S,6,=S,5,C,C,B,4、设a,n,是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是,A、1 B，2 C、4 D、6,5、数列a,n,中，a,n,=26-2n,当前n项和S,n,最大时，n=_,6、在等差数列a,n,中,已知前4项和是1，前8项和是4，则a,17,+a,18,+a,19,+a,20,等于_,7、已知在等差数列a,n,中，a,1,0,公差d0,S,13,0.求:1)公差d的取值范围 2)指出S,1,S,2,S,n,中哪一个值最大，并说明理由。,解1)：由题意,2)由于a,7,0,所以,S,6,最大,。监测：P25B-5,测评：P24-13，P26-17,P27-4,5,6,7,思考,：还有没有其它方法？,监测：P25-B-4,课堂小结,1.,根据等差数列前n项和，求通项公式.,2、结合二次函数图象和性质求,的最值.,3、设等差数列a,n,的前项和为S,n,，已知a,3,=12,S,12,0,S,13,0。,(1)求公差d的取值范围;,(2)指出S,1,S,2,S,12,中哪个值最大，,作业：,1:等差数列a,n,的前项和S,n,满足S,5,=95,S,8,=200,求S,n,。,2:若数列a,n,的前项和S,n,满足S,n,=an,2,+bn,试判断a,n,是否是等差数列。,设S,n,=an,2,+bn,则有：。,解之得：，,S,n,=3n,2,+n。,1、,2、是。,简单提示：利用公式：,3、,（1），（2）S,6,最大。,谢谢！,