磁场的矢势及其微分方程.pptx

2.5,磁场矢势及其微分方程,2.5.1,矢势,稳恒磁场基本方程是：,稳恒磁场是无源有旋场,静电场是有源无旋场，因为其无旋性，能够引入标势来描述（,0,）。而磁场因为其有旋性不能引入一个标势来描述整个空间磁场。不过依据磁场无源性，我们能够引入另一个矢量来描述它。,依据矢量场论，若,B,0,，,B,能够表示为矢量旋度，即,(,A,),0,，,B,A,，,A,称为,磁场矢势,。,1/24,2.5,磁场矢势及其微分方程,2.5.1,矢势,稳恒磁场基本方程是：,稳恒磁场是无源有旋场,静电场是有源无旋场，因为其无旋性，能够引入标势来描述（,0,）。而磁场因为其有旋性不能引入一个标势来描述整个空间磁场。不过依据磁场无源性，我们能够引入另一个矢量来描述它。,依据矢量场论，若,B,0,，,B,能够表示为矢量旋度，即,(,A,),0,，,B,A,，,A,称为,磁场矢势,。,2/24,由,B,A,，能够看出：,由矢势,A,能够确定磁场,B,。不过由磁场,B,并不能唯一地确定矢势,A,。,比如,：,沿,z,轴方向均匀磁场,B,0,（为常数）求,A,?,即,B,x,B,y,0,，,B,z,B,0,依据,A,B,则有,有解：,有另一解：,还存在其它解,3/24,普通说来，若,A,是磁场,B,矢势，那么,也是同一个,B,矢势（,为任意连续可微标量函数）。,因为,0,A,A,B,表明：,A,与,A,对应同一个磁场,B,，也就是说，对于一个磁场,B,，,A,不是唯一，它能够相差一个任意标量函数梯度。,对任一给定磁场,B,，,矢势可按照,A,A,=,A,变到,A,。,这种变换称为规范变换,。,磁场含有规范变换下不变性。,4/24,既然，规范变换,A,A,=,A,，,A,存在这么任意性，能够对,A,加上一个限制条件，使问题简化。,是任意标量函数，对,限制就是对,A,限制。可选一个特定,使问题简化。,通常要求,A,0,称为,库仑规范,下面说明对,A,加上限制条件,A,0,总是能够，即总能够找到一个,A,满足,A,0,。,假设有一个不满足,A,0,A,可另取一个解,取,为泊松方程,2,u,一个解，用这么,A去作规范变换，那么变换后,A,满足：,这个,A,不影响物理结果，总能够找到适合,A,0,矢势,A,。,以后所取,A,都满足,A,0,。,5/24,2.5.2,矢势,A,微分方程,静磁场基本方程之一,对各向同性非铁磁介质,B,H,，均匀介质,常数,。,能够写成：,又,关于,A,微分方程,注意,：,这是矢量方程，假如写分量式（直角坐标中）,每个分量满足泊松方程,6/24,A,i,满足方程和静电场中电势,方程,有相同形式,静电场中，泊松方程解：,对比静电势解，可写,写成矢量式：,而且已证实,A,0,。,说明：此式在,2.2,中,为了求,B,，令：,所以，上式确实是矢势微分方程解。,7/24,线电流分布,全空间电流分布给定时，可用上式求解磁场。,下面举例由矢势,A,求磁场。,在,2.2,中，从毕奥沙伐尔定律出发，导出磁场微分方程。本节把磁场散度，旋度作为基本定律，从微分方程出发引入矢势,A,，由,A,方程取得特解,求出,A,取旋度即可求出,B,。,毕奥沙伐尔沙定律,8/24,例,应用矢势,A,，求在空气中长直载流细导线磁场。,P,点坐标是,（,x,y,0,）,，取导线沿,z,轴，,P,点到导线垂直距离为,R,，电流元,I,d,z,到,P,点距离为,细导线,j,d,V,I,d,z,解,(1),先求导线外任一点,P,矢势,A,9/24,A,方向即电流方向，此时,I,沿,z,方向，则：,当,LR,时，,10/24,(2),求,B,利用柱坐标求旋度公式,则,只有,z,分量,（,A,z,仅与,R,相关）,得到,11/24,还能够用另外一个方法,令,用公式：,12/24,2.5.3,关于矢量势,A,物了解释,矢量势与磁通量关系：,矢量势,A,本身没有直接物理意义,，有物理意义是,B,。,直到上世纪,60,年代,普遍认为：,13/24,因为,B,A,，则在,A,附加任一个,，对应,B,不变。,即：,，而,可见同一个,B,对应无数个,A,，,A,是由数学上引进，通常认为有物理意义,B,是而不是,A,。,上世纪,60,年代，试验证实了阿哈朗诺夫和玻姻提出构想，,A,能够直接影响体系量子行为。A,-,B,效应,14/24,起初螺线管不通电流，当然管内外,B,和,A,均为零。电子行为用波函数表示，因为两束电子有相位差，在屏上得到一幅干涉图象。,然后螺线管通以电流，这时也可得到一幅干涉图象，但其干涉条纹极值位置较前一幅有了变动，此时管外仍是,B,0,，但,A,0,。,所以,A,对电子量子行为产生影响，称为,A-B,效应。,试验指出：,电子束,K,射向双缝，缝后放一无限长密绕螺线管,，电子穿过双缝后被一透镜聚焦在屏,y,上，,上加以电压以确保电子只在螺线管外飞行。这么电子行为仅与管外空间性质相关。,15/24,关于矢量势,A,另一个物了解释,在静电场中,在静磁场中,可见：,与,j,相当与,A,相当。,在静电场中，电势,表示将单位正电荷从无限远处移至电场某点外力克服库仑力所作功。,用,表示，,A,也与,有类似解释。,它表示在静磁场中，将一个正电荷从无限远处移到稳恒磁场某点总外力克服洛仑兹力所需冲量 。,16/24,矢量势,A,就是移动单位正电荷到电流磁场某点时场,电磁动量值。这就是对,定义,A,物了解释。,能够证实,:,静磁场中某点矢量势,A,在数值上等于将单位正电荷从无限远处移到该点外力克服洛仑兹力所需施加冲量。,在力学中，外力对一个物体所加冲量增加了物体机械动量。在电磁场中，所加这部分冲量在电磁场中储备起来，增加了电磁场动量。,将电荷,q,从,A,移动,到,B,时，外力所加冲量应等于电磁场动量增量。,G,电磁场动量,17/24,将电荷,q,从,A,点迟缓地至,B,点，在移动过程中，,j,所产生磁场对移动电荷产生洛仑兹力。因移动电荷,q,需要时间，故外力在,q,上需要施加冲量。,证实,为简单起见，假定产生磁场稳定电流只有一个闭合线圈电流,j,。如图示。这个假设是允许，因为空间任何稳恒电流分布总能够分成许多闭合电流管迭加。,另首先，,q,在移动过程中，在,j,处也会产生磁场，,j,受到磁场力，外力克服这个磁场力也要冲量。把这两部分冲量加到起来，就得到需要结果。,18/24,j,在,q,处产生磁场为,q,所受洛仑兹力为,在,q,处外力在,d,t,时间内克服洛仑兹力所加冲量为：,q,以速度,v,运动，在,j,处产生磁场为：,取负号原因是,R,表示从,q,到,j,位移,19/24,当,q,移动,d,t,时间，在,j,上所施加冲量,（外力克服洛仑兹力所需冲量）,外力所施加总冲量为：,20/24,则：将电荷,q,从,A,到,B,所加总冲量为：,21/24,相关,积分公式,22/24,假如,A,点在无限远处，,A,A,0,得到所需结果。,静磁场中某点矢量势,A,在数值上等于将单位正电荷从无限远处移到该点外力克服洛仑兹力所需施加冲量。此结果和移动点电荷路径无关。,在力学中，外力对一个物体所加冲量增加了物体机械动量。在电磁场中，所加这部分冲量在电磁场中储备起来，增加了电磁场动量。,将电荷,q,从,A,移动,到,B,时，外力所加冲量应等于电磁场动量增量。,G,电磁场动量,23/24,假如,A,点在无限远处，,q,电场与,j,所产生磁场二者无相互作用。选定电磁场动量为零。,静电磁场动量表示式,矢量势,A,就是移动单位正电荷到电流磁场某点时场,电磁动量值。这就是对,定义,A,物了解释。,24/24,