86曲面与空间曲线-qumianjikognjianquxian市公开课特等奖市赛课微课一等奖.pptx

单击此处编辑母版标题样式,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,6 曲面与空间曲线,例1：求与A(2,3,1),和B(4,5,6)等距离点运动规迹。,解：设M(x,y,z)为动点坐标，动点应满足条件是,|AM|=|BM|由距离公式得,一.曲面及其方程：,1.曲面方程普通概念：,而满足此方程点都在曲面上，则称此方程为,该曲面方程，而曲面称为此方程图形。,定义：若曲面上点坐标,(x,y,z),都满足方程F(x,y,z)=0，,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第1页,整理得,此即所求点规迹方程，为一平面方程。,2.坐标面及与坐标面平行平面方程：,坐标平面xOy方程：z=0,过点（a,b,c)且与xOy面平行平面方程：z=c,坐标面yOz、坐标面zOx以及过（a,b,c)点且分别与之平行平面方程：x=0;y=0;x=a;y=b,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第2页,3.球面方程：,球面标准方程：以M,0,(x,0,y,0,z,0,)为球心，R为半径,球面方程为 (x-x,0,),2,+(y-y,0,),2,+(z-z,0,),2,=R,2,例2,：求x,2,+y,2,+z,2,+2x-2y-2=0表示曲面,解,：整理得：(x+1),2,+(y-1),2,+z,2,=2,2,故此为一个球心在（-1,1,0)，半径为2球。,球面方程特点：平方项系数相同；没有交叉项。,球面普通方程：,x,2,+y,2,+z,2,+Ax+By+Cz+D=0,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第3页,普通我们将动直线l沿定曲线c平行移动所形成轨迹,称为柱面。其中直线l称为柱面母线，定曲线c称为柱面,准线。本章中我们只研究母线平行于坐标轴柱面方程。,此时有以下结论：,分析：母线平行于坐标轴柱面特点为：平行于某轴，则在其方程中无此坐标项。其几何意义为：不论z取何值，只要满足F(x,y)=0，则总在柱面上。,若柱面母线平行于z轴，准线c是xOy面上一条曲线，其方程为F(x,y)=0，则该柱面方程为F(x,y)=0;同理，G(x,z)=0,H(y,z)=0在空间中分别表示母线平行于y轴和x轴柱面。,4.母线平行于坐标轴柱面方程：,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第4页,圆柱面；,椭圆柱面；,双曲柱面；,抛物柱面。,以上所举例均为母线平行于z轴情况，其它情况类似。,几个常见柱面,：x+y=a,平面；,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第5页,4.旋转曲面：,普通情况下我们将一平面曲线,c绕同一平面内定直,线l旋转一周所成曲面称为旋转曲面。其中c称为母线，,l称为其轴。本章中我们只研究绕坐标轴放置曲面。此,时有以下结论：,设,yOz平面上有一已知曲线c,其方程为f(y,z)=0，将c绕,z轴旋转一周，所得到以z轴,为轴放置曲面方程为：,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第6页,同理，曲线c,绕y轴旋转所得曲面方程为：,同理,以,xOy面上曲线f(x,y)=0为母线绕x轴得曲面,绕,y轴为,以,xOz面上曲线f(x,z)=0为母线绕x轴得,曲面,绕,z 轴得曲面,例3,求顶点在原点，旋转轴为,z轴，,半顶角为a圆锥面方程。,解,：将,yOz面上直线z=yctg,绕,z轴旋转一周即得圆锥曲面,整理后得：,其中a=ctg,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第7页,二.空间曲线及其方程：,1.空间曲线普通方程：,空间曲线普通可看作两个曲面交线，若两个曲面方程分别为,F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0，则易知其交线c方程为,称此方程组为曲线,c普通方程。,例4,：方程组,表示怎样曲线？,解,：平面,z=2上以(0,0,2)为圆心单位圆。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第8页,表示母线平行于Z 轴，准线在xoy面上,半径为1上半球面,例 方程 表示怎样曲线,解：,表示中心在原点，,半径为1圆柱面,它们交线是xoy面上一个圆，,其圆心在 ，半径为,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第9页,2.空间曲线参数方程：,方程组,称为空间中曲线参数方程。,设空间曲线方程,假如选定一个适当函数 x=x（x）代入上述方程组,并有它解出y=（x），Z=Z（x）得,例 假如空间一点M在圆柱面 x,2,+y,2,=a,2,上以等角速度,绕z周旋转，同时，以等速度v沿平行于Z轴正方向,移动，则点M运动轨迹叫螺旋线，求其参数方程,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第10页,螺旋线有一个主要性质，当 从 变到 时，Z由,变到 这说明当 转过角 时，点沿螺旋线,升了高度 ，即上升高度与 转过角度成正比。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第11页,三.空间曲线在坐标面上投影：,在该方程组中消去,z得H(x,y)=0，此为一个经过曲线L,母线平行于,z轴柱面，称为曲线c关于xOy面投影柱面。,此投影柱面与xOy平面交线即为c在xOy平面上投影曲,线，简称投影，其方程为,同理可得L在,yOz面及xOz面上投影方程为,和,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第12页,解 消去Z得1-y,2,=3x,2,+y,2,投影柱面方程为3x,2,+2y,2=1,例 求曲线L：在三个坐标面上投影曲线,投影曲线方程,投影曲线方程,消去x得Z=1-y,2,投影曲线方程,消去y得3x,2,+1-2Z=0,投影柱面方程为3x,2,-2Z-1=0,投影柱面方程为Z=1y,2,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第13页,交线是一条空间曲线,例 两个柱面 和,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第14页,例5,：求曲线,在,xOy面上投影方程。,解,：上式减下式得,z=1-y，代回上式得投影柱面方程为,从而曲线在,xOy面上投影方程为,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第15页,四 二次曲面,经过截痕法，了解二次曲面全貌,1.椭球面,与三个坐标面交线均为椭圆,若a=b,则 旋转椭球面,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第16页,2 单叶双曲面,Z=h 截,截痕为一椭圆。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第17页,x=h，或y=h截,截痕为一双曲线。,2）当 时，截痕为一对直线,1）当 时，曲线为双曲线，实轴平行与x轴，虚轴平,行与z轴，当 由零增大到b时，曲线两半轴缩小至零。,3）当 时，曲线仍为双曲线，但实轴平行于z轴，虚,轴平行与x轴，当 由 b增大时，曲线两半轴也增大。,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第18页,一样用平行于yoz平面相截时截痕也是双曲线，可用,一样方法讨论。,这是单叶旋转双曲面。,当a=b时，方程变为,3 双叶双曲面,双叶双曲面对称于坐标原点及三个坐标面,Z=h截，截痕为,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第19页,当x=h，或y=h截，截痕为双曲线,4 椭圆抛物面,当 时为椭圆,当 时无截痕，当 时是两点（0，0，）,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第20页,5 双叶抛物面,6 二次锥面,山东水利职业学院数理化教研室,应用数学精品课程电子教案,第21页,