概率统计浙大版第四章随机变量的数字特征.ppt

第一节 数学期望,一、离散型随机变量的数学期望,1、概念的引入：,我们来看一个引例.,例1,某车间对工人的生产情况进行考察.车工小张每天生产的废品数,X,是一个随机变量.如何定义,X,的平均值呢？,n,0,天没有出废品;,n,1,天每天出一件废品;,n,2,天每天出两件废品;,n,3,天每天出三件废品.,可以得到,n,天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),若统计,n,天,例1,0,1,2,0,0.2,0.8,0,1,2,0.6,0.3,0.1,问谁的水平较高？,例2,二、连续型随机变量的数学期望,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,f,(,x,),在数轴上取很密的分点,x0,x,1,x,2,则,X,落在小区间,x,i,x,i,+1,),的概率是,小区间,x,i,x,i+1,),阴影面积近似为,由于,x,i,与,x,i,+1,很接近,所以区间,x,i,x,i,+1,),中的值可以用,x,i,来近似代替,.,这正是,的渐近和式.,近似,因此,X,与以概率,取值,x,i,的离散型,r.v,该离散型,r.v,的数学期望,是,小区间,x,i,x,i+1,),阴影面积近似为,由此启发我们引进如下定义.,定义2,设,X,是连续型随机变量，其密度函数为,f,(,x,),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为,X,的数学期望,即,请注意:,连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例3,三、随机变量函数的数学期望,1.问题的提出：,设已知随机变量,X,的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是,X,的某个函数的期望，比如说,g,(,X,)的期望.那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为,g,(,X,)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的,X,的分布求出来.一旦我们知道了,g,(,X,)的分布，就可以按照期望的定义把,E,g,(,X,)计算出来.,那么是否可以不先求,g,(,X,)的分布而只根据,X,的分布求得,E,g,(,X,)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数,g,(,X,)的分布，一般是比较复杂的.,(1)当,X,为离散型时,它的分布律为,P,(,X,=,x,k,)=,p,k,;,(2)当,X,为连续型时,它,的密度函数为,f,(,x,).若,定理,设,Y,是随机变量X的函数:,Y,=,g,(,X,)(g是连续函数),该公式的重要性在于:当我们求,E,g,(,X,),时,不必知道,g,(,X,)的分布，而只需知道,X,的分布就可以了.这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。,例4,例4:设（X,Y）的联合分布律如下，Z=XY，求E(Z).,解,例5:设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,试求,E(XY),和,EX,.,解,四、数学期望的性质,1.设,C,是常数，则E(,C,)=,C,;,4.设,X,、,Y,相互独立，则,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,);,2.若,k,是常数，则,E,(,kX,)=,kE,(,X,);,3.,E,(,X,+,Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,);,（诸,X,i,相互独立时）,请注意:,由,E,(,XY,)=,E,(,X,),E,(,Y,),不一定能推出,X,Y,独立,解 由题意,于是,例8,一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立,),按题意,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随,机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求,数学期望的,此方法具有一定的意义,.,第二节 方差,上一节我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征.,但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的.,例如，某零件的真实长度为,a,，现用甲、乙两台仪器各测量10次，将测量结果,X,用坐标上的点表示如图：,若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣，你认为哪台仪器好一些呢？,乙仪器测量结果,甲仪器测量结果,较好,测量结果的均值都是,a,因为乙仪器的测量结果集中在均值附近,又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,乙炮,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,中心,中心,由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易看到,这个数字特征就是我们这一讲要介绍的,方差,能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度.但由于上式带有绝对值,运算不方便,通常用量,来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度.,一、方差的定义,设,X,是一个随机变量，若,E,(,X,-,E,(,X,),2,存在,称,E,(,X,-,E,(,X,),2,为,X,的方差,.,记为D(X)或Var(X)，即,D,(,X,)=Var(X)=,E,X,-,E,(,X,),2,若,X,的取值比较分散，则方差D(X)较大.,若,X,的取值比较集中，则方差D(X)较小；,因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量。,X,为离散型，,分布律,P,X,=,x,k,=,p,k,由定义知，方差是随机变量,X,的函数,g,(,X,)=,X,-,E,(,X,),2,的数学期望.,二、方差的计算,X,为连续型，,X,概率密度,f(x,),计算方差的一个简化公式,D,(,X,)=,E,(,X,2,)-,E,(,X,),2,展开,证：,D,(,X,)=,E,X,-,E,(,X,),2,=,E,X,2,-2XE,(,X,)+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,)-2,E,(,X,),2,+,E,(,X,),2,=,E,(,X,2,)-,E,(,X,),2,利用期望,性质,例1,设随机变量X具有(01）分布，其分布律为,求D(X).,解,由公式,因此,0-1分布,例2,解,X的分布律为,上节已算得,因此,泊松分布,例3,解,因此,均匀分布,例4,设随机变量X服从指数分布,其概率密度为,解,由此可知,指数分布,例5:设随机变量X概率密度为,f(x),求D(X).,解,于是,D(X)=E(X,2,)-E(X),2,=1/6,三、方差的性质,1.设,C,是常数,则,D,(,C,)=0;,2.若,C,是常数,则,D,(,X+C,)=,D,(,X,),D,(,CX,)=,C,2,D,(,X,);,3.设,X,与,Y,是两个随机变量，则,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,)+2,E,X,-,E,(,X,),Y,-,E,(,Y,),4.,D,(,X,)=0,P,X,=,C,=1,这里C=E(X),特别如果 X,Y 相互独立,则,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,下面我们证明性质3,证明,若 X,Y 相互独立,由数学期望的性质4得,此性质可以推广到有限多个相互独立的随机变量之和的情况.,例6,设,X,B,(,n,p,)，求E(X)和D(X).,若设,i,=1,2，,n,则 是,n,次试验中“成功”的次数,解,X,B,(,n,p,),“成功”次数.,则X表示,n,重伯努利试验中的,于是,i,=1,2，,n,由于,X,1,X,2,X,n,相互独立,=,np,(1-,p,),E,(,X,i,)=,p,D,(,X,i,)=,p,(1-,p,),例7,解,于是,例如,例8,解,由于,故有,四、切比雪夫不等式,或,由切比雪夫不等式可以看出，若 越小，则事件|,X,-,E,(,X,)|0,D,(,Y,)0,称,在不致引起混淆时,，,记,为,.,存在常数,a,b,(,b,0）,，,使,P,Y,=,a,+,b X,=1,，,即,X,和,Y,以概率 1 线性相关,.,相关系数刻划了,X,和,Y,间“线性相关”的程度.,o,X,Y,o,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,01,-10,=1,=-1,相关情况示意图,若,=0,则称,X,和,Y,不相关.,由于当,X,和,Y,独立时，,Cov,(,X,Y,)=0.,故,=0,但其逆不真,请看下例.,即,X,与,Y,不相关.,Cov,(,X,Y,)=0，,事实上，X的密度函数,例1,设,X,服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而,Y,=cos,X,不难求得,因而 =0，,即,X,和,Y,不相关.,但,Y,与,X,有严格的函数关系，,即,X,和,Y,不独立.,续,Y X,-1,0,1,0,0.07,0.18,0.15,1,0.08,0.32,0.20,解:X与Y的分布律分别为,X,-1,0,1,P,0.15,0.5,0.35,Y,0,1,P,0.4,0.6,于是,解,同理可得 E(Y)=0,于是,第四节 矩、协方差矩阵,一、原点矩 中心矩,定义,设X和Y是随机变量，若,存在，称它为,X的k阶原点矩,，简称,k阶矩,存在，称它为,X的k阶中心矩,可见，均值,E(X),是X一阶原点矩，方差 D(X),是X的二阶中心矩。,协方差,Cov,(,X,Y,),是,X,和,Y,的,二阶混合中心矩,.,称它为,X,和,Y,的,k,+,L,阶混合（原点）矩,.,若,存在，,称它为,X,和,Y,的,k,+,L,阶混合中心矩,.,设,X,和,Y,是随机变量，若,k,L,=1,2,存在，,可见，,二、,协方差矩阵,将二维随机变量（,X,1,X,2,）的四个二阶中心矩,排成矩阵的形式:,称此矩阵为,（,X,1,X,2,）的协方差矩阵,.,这是一个,对称矩阵,类似定义,n,维随机变量(,X,1,X,2,X,n,)的协方差矩阵.,为,(,X,1,X,2,X,n,),的协方差矩阵,都存在,(,i,j,=1,2,n),若,矩阵,称,三、,n,元正态分布的概率密度,f,(,x,1,x,2,x,n,),则称,X,服从,n,元正态分布,.,其中,C,是(,X,1,X,2,X,n,)的协方差矩阵.,|,C,|,是它的行列式，表示,C,的逆矩阵，,x,和 是 n 维列向量，表示,X,的转置.,设 =(,X,1,X,2,X,n,)是一个,n,维随机向量,若它的概率密度为,n,元正态分布的几条重要性质,1.,X,=(,X,1,X,2,X,n,)服从,n,元正态分布,a,1,X,1,+,a,2,X,2,+,a,n,X,n,均服从正态分布.,对一切不全为0的实数,a,1,a,2,a,n,，,若,X,=(,X,1,X,2,X,n,),服从,n,元正态分布,，,Y,1,Y,2,，,Y,k,是,X,j,（,j,=1,2,n,）,的线性函数,，,则,(,Y,1,Y,2,，,Y,k,),也服从多元正态分布,.,2.正态变量的线性变换不变性.,3.,设,(,X,1,X,2,X,n,),服从,n,元正态分布,，,则,“,X,1,X,2,X,n,相互独立,”,等价于,“,X,1,X,2,X,n,两两不相关,”,