概率统计第四章第一节.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,r.v.,的平均取值,数学期望,r.v.,取值平均偏离均值的情况,方差,描述两,r.v.,间的某种关系的数,协方差,与,相关系数,本,章,内,容,随机变量某一方面的概率特性,都可用,数字,来描写,分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性,但实际应用中并不都需要知道分布函数，而只需知道 r.v.的某些特征.,判断棉花质量时,既看纤维的平均长度,平均长度越长,偏离程度越小,质量就越,又要看纤维长度与平均长度的偏离程度。,例如,：,好,;,考察一射手的水平,既要看他的,平均环数,是否高,还要看他弹着点的范围是否小即,数据的波动,是否小,.,由上面例子看到，与 r.v.有关的,某些数值，虽不能完整地描述 r.v.但,能清晰地描述 r.v.在某些方面的重要,特征,这些数字特征在理论和实践上,都具有重要意义,.,Def.1.,设,X,为离散 r.v.其分布为,的,数学期望，,记作,E,(,X,),即,若无穷级数,绝对收敛,则称其和为,X,例2.r.v.,X,为离散的分布律为,求r.v.,X,的数学期望。,解,所以r.v.,X,的数学期望不存在。,无穷级数,绝对收敛.,数学期望,取值，当改变求和顺序,时，不应该发生改变。,是多少？,解 设,X,为获奖的数值,则,X,的分布律为,例3,在有奖销售彩票活动中,每张彩票面值2元,一千万张设有一等奖20名,奖金20万或红旗轿车；,二等奖1000名,奖金3000元或25寸彩电；三等奖,2000名,奖金1000元或洗衣机；四等奖100万名,奖金2元,问买一张彩票获奖的数学期望(收益),X,0,2,1000,3000,20,0000,P,899698/1,000,000,100/1000,2/10,000,1/10,000,20/10,000,000,EX,=200000*20/10000000+3000*1/10000,+1000*2/10000+2*100/1000,=1.100,0,(1)分别化验每个人的血,共需化验,n,次；,(2)分组化验,k,个人的血混在一起化验,若,结果为阴性,则只需化验一次;若为阳性,则,对,k,个人的血逐个化验,找出有病者,此时,k,个人的血需化验,k+,1 次.,设每人血液化验呈阳性的概率为,p,且,每人化验结果是相互独立的.试说明选择哪,一方案较经济.,例4,为普查某种疾病,n,个人需验血.验血方案有如下两种：,解,只须计算方案(2)所需化验次数的期望.,为简单计,不妨设,n,是,k,的倍数，共分成,n/k,组.,设第,i,组需化验的次数为,X,i,则,X,i,P,1,k+,1,若,则,E,(,X,),n,例如,当,时,选择方案(2)较经济.,例5,X B,(,n,p,),求,E,(,X,),.,解,例6,设,X,参数为,p,的几何分布，求,E,(,X,).,解,特例,若,Y B,(1,p,),则,E,(,Y,),=p,例7,X P,(,),求,EX,.,解,例8,甲乙两个射手的技术统计如下：,P,甲,X,8 9 10,0.3 0.1 0.6,P,乙,Y,8 9 10,0.2 0.5 0.3,甲乙两个射手谁的水平高？,解：,设连续 r.v.,X,的 p.d.f.为,若广义积分,绝对收敛,则称此积分为,X,的数学期望,记作,E,(,X,),即,注意：,数学期望的本质 加权平均，它是一个数不再是 r.v.,定义,2、连续型r.v.数学期望,例9,X N,(,2,),求,E X,.,解,练习,1.,XU,a,b,),求,E X,2.,XExp,(,),求,E X,.,解,（1）,则,（2）,则,常见,r.v.,的数学期望,分布,期望,概率分布,参数为,p,的,0-1分布,p,B,(,n,p,),np,P,(,),分布,期望,概率密度,区间(,a,b,)上的,均匀分布,Exp,(,),N,(,2,),注意,不是所有的 r.v.都有数学期望,例如：柯西(Cauchy)分布的密度函数为,但,发散,它的数学期望不存在!,设离散,r.v.,X,的概率分布为,若无穷级数,绝对收敛，则,绝对收敛,则,设连续型,r.v.,的,p.d.f.,为,f,(,x,),若广义积分,定理1.,二、r.v.函数 的数学期望,注：,若,g,(,x,)=,x,则根据定理1，有,这与定义是一致的。,设离散,r.v.(,X,Y,),的概率分布为,定理2.,绝对收敛,则,若级数,设连续,r.v.(,X,Y,),的联合,p,.d.f.,为,f,(,x,y,),若广义积分,绝对收敛,则,注：,若,g,(,x,y,)=,x,则根据定理2，有,例10,设(,X,Y,),N,(0,1;0,1;0),求,的数学期望,.,解,E,(,c,)=,c,E,(,cX,)=,c E,(,X,),E,(,X+Y,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,),当,X,Y,独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,常数,线性性质,三、数学期望的性质,逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,例11.,二项分布的均值的计算:,设,X B(n,p),说明,:将,X,分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数,学期望等于r.v.的数学期望之和来求解.这个方法,具有一定的普遍意义.,而,且,E(X,i,)=p,令,例12,将 4 个不同色的球随机放入 4 个盒子中,每盒容纳球数无限,求空盒子数的数学期望.,解一,设,X,为空盒子数,则,X,的概率分布为,X,P,0 1 2 3,解二,再引入,X,i,i=,1,2,3,4,X,i,P,1 0,例13,设二维 r.v.X,Y,)的 p.d.f.为,求,E,(,X,),E,(,Y,),E,(,X,+,Y,),E,(,X Y,),E,(,Y/X,),解,由数学期望性质,X,Y,独立,数学期望的应用,应用1,据统计65岁的人在10年内正常死亡的概率为,解,0.98,因事故死亡概率为0.02.保险公司开办老人事,故死亡保险,参加者需交纳保险费100元.若10 年内,因事故死亡公司赔偿,a,元,应如何定,a,才能使公司,可期望获益;,若有1000人投保,公司期望总获益多少?,设,X,i,表示公司从第,i,个投保者身上所得,的收益,i,=11000.则,X,i,0.98 0.02,100 100,由,题设,公司每笔赔偿小于5000元,能使公司获益.,公司期望总收益为,若公司每笔赔偿3000元,能使公司期望,总获益40000元.,应用2,市场上对某种产品每年需求量为,X,吨，,X U,2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润最大？,解,设每年生产,y,吨的利润为,Y,显然，2000,y,4000,显然,，,故,y=,3500 时,E,(,Y,)最大,E,(,Y,)=8250万元,应用3,设由自动线加工的某种零件的内径,X,(mm),N,(,1,).已知销售每个零件的利润,T,(元)与销售零件的内径,X,有如下的关系：,问平均直径,为何值时,销售一个零件的平均利润最大？,解,即,可以验证，,零件的平均利润最大.,故,时,销售一个,总 结,一、数学期望的定义,二、r.v.函数 的数学期望,三、数学期望的性质,线性性质,独立性性质,当,X,Y,独立时，,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,).,性质 4 的逆命题不成立，即,若,E,(,X Y,)=,E,(,X,),E,(,Y,)，,X,Y,不一定独立,反例 1,X,Y,p,ij,-1 0 1,-1,0,1,0,p,j,p,i,附录1,X Y,P,-1 0 1,但,反例2,但,