计算机数学基础第章导数与微分学习教案.pptx

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,#,单击此处编辑母版标题样式,会计学,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,会计学,1,计算机数学基础(jch)第章导数与微分,第一页，共52页。,对于匀速直线运动来说，其速度(sd)公式为:,一物体作变速直线运动，物体的位置 与时间,的函数关系为,称为位置函数,2.1.1 引例(yn l),到时刻,设物体在时刻,内经过的路程为,例1 变速(bin s)直线运动的速度,2.1,导数的概念,第1页/共51页,第二页，共52页。,瞬时速度,无限变小时，平均速度,就无限接近于,时刻的,越小,平均速度 就越接近于物体在,时，平均速度,的极限值就是物体在,时刻的瞬时速度 ，即,到时刻,于是，物体在时刻,的平均速度为,第2页/共51页,第三页，共52页。,例2 平面曲线的切线斜率,曲线 的图像如图所示,在曲线上任(shng rn)取两点,和 ，,作割线 ，割线的斜率为,第3页/共51页,第四页，共52页。,这里 为割线MN的倾角(qngjio)，设 是切线MT的倾角(qngjio)，,当 时，点N沿曲线趋于点M。若上式的,极限存在，记为k，则此极限值k就是所求切线,MT的斜率，即,第4页/共51页,第五页，共52页。,定义 设y=f(x)在点x0的某邻域内有定义，,属于(shy)该邻域，记,若,存在，则称其极限值为y=f(x)在点x0 处的导数，记为,或,2.1.2 导数的概念与几何(j h)意义,1.导数(do sh)的概念,第5页/共51页,第六页，共52页。,导数定义与下面(xi mian)的形式等价：,若y=f(x)在x=x0 的导数存在，则称y=f(x)在点x0 处可导，反之称y=f(x)在x=x0 不可导，此时意味着不存在.函数的可导性与函数的连续性的概念都是描述函数在一点(y din)处的性态，导数的大小反映了函数在一点(y din)处变化(增大或减小)的快慢.,第6页/共51页,第七页，共52页。,2.左导数(do sh)与右导数(do sh),左导数(do sh):,右导数,:,显然可以(ky)用下面的形式来定义左、右导数,定理3.1 y=f(x)在x=x0可导的充分(chngfn)必要条件是,y=f(x)在x=x0 的左、右导数存在且相等.,第7页/共51页,第八页，共52页。,3.导数的几何意义(yy),当自变量 从变化(binhu)到 时，曲线y=f(x)上的点由 变到,此时 为割线(gxin)两端点M0，M的横坐标之差，而,则为M0，M 的纵坐标之差，所以 即为过M0，M两点的割线(gxin)的斜率.,M,0,M,第8页/共51页,第九页，共52页。,曲线y=f(x)在点M0处的切线即为割线M0M当M沿曲,线y=f(x)无限接近 时的极限位置(wi zhi)M0P，因而当,时，割线斜率的极限值就是切线的斜率.即：,所以，导数(do sh)的几何意义是曲线y=f(x)在点M0(x0,f(x0)处的切线斜率.,M,0,M,第9页/共51页,第十页，共52页。,设函数y=f(x)在点处可导，则曲线y=f(x)在点处的切线(qixin)方程为：而当 时,曲线 在 的切线(qixin)方程为,(即法线(f xin)平行y轴).,当 时,曲线 在 的法线方程为,而当 时,曲线 在 的法线方程为,第10页/共51页,第十一页，共52页。,例3 求函数 的导数(do sh),解:(1)求增量:,(2)算比值:,(3)取极限:,同理可得:,特别地,.,第11页/共51页,第十二页，共52页。,例4 求曲线 在点 处的切线与法线方程.,解:因为 ,由导数几何(j h)意义,曲线,在点 的切线与法线的斜率分别为:,于是所求的切线方程为:,即,法线方程为:,即,第12页/共51页,第十三页，共52页。,2.1.3 可导性与连续性的关系(gun x),定理(dngl)2 若函数y=f(x)在点x0处可导，,则f(x)在点x0 处连续(linx).,证,因为,f,(,x,),在点,x,0,处可导，故有,根据函数极限与无穷小的关系,可得,:,两端乘以 得,:,由此可见,:,即函数,y=f,(,x,),在点,x,0,处连续,.,证毕,.,第13页/共51页,第十四页，共52页。,例5 证明函数(hnsh)在x=0处连续但不可导.,证 因为(yn wi),所以(suy)在x=0连续,而,即函数 在,x,=0,处左右导数不相等,从而在,x,=0,不可导,.,由此可见，函数在某点连续是函数在该点可,导的必要条件，但不是充分条件,即可导定连续,连续不一定可导,.,第14页/共51页,第十五页，共52页。,设函数,u(,x,),与,v(,x,),在点,x,处均可导，则,:,定理一2.2.1 函数(hnsh)的和、差、积、商的求导法则,2.2 求导法则(fz),特别(tbi)地,如果,可得公式,第15页/共51页,第十六页，共52页。,注：法则(fz)（1）（2）均可推广到有限,多个可导函数的情形,例：,设,u=u,(,x,),v=v,(,x,),w=w,(,x,),在点,x,处均,可导，则,第16页/共51页,第十七页，共52页。,解：,例,2,设,解：,例,1,第17页/共51页,第十八页，共52页。,解：,即,类似可得,例3 求y=tanx 的导数(do sh),第18页/共51页,第十九页，共52页。,解：,即,类似可得,例4 求 y=secx 的导数(do sh),第19页/共51页,第二十页，共52页。,定理二,如果函数,在,x,处可导，而函数,y=f,(,u,),在对应的,u,处可导，,那么复合函数,在,x,处可导，且有,或,对于多次复合的函数，其求导公式类似，此法则也称链导法,注：,2.2.2 复合(fh)函数的导数,第20页/共51页,第二十一页，共52页。,例,7,解：,解：,例,6,第21页/共51页,第二十二页，共52页。,定理三,如果单调连续函数,在某区间内可导，,则它的反函数,y=f,(,x,),在对应的区间,内可导，且有,或,证 因为 的反函数,上式两边对,x,求导得,或,或,2.2.3 反函数的求导法则(fz),第22页/共51页,第二十三页，共52页。,解：,y=,arcsin,x,是,x=,sin,y,的反函数,因此(ync)在对应的区间（-1，1）内有,即,同理,求函数,y,=arcsin,x,的导数,例,8,第23页/共51页,第二十四页，共52页。,基本导数(do sh)公式表,2.2.4 基本初等函数(hnsh)的导数,第24页/共51页,第二十五页，共52页。,第25页/共51页,第二十六页，共52页。,解：,例,5,第26页/共51页,第二十七页，共52页。,1.隐函数(hnsh)的导数,例9 求方程 所确定(qudng)的函数的导数,解：,方程(fngchng)两端对x求导得,2.2.5,隐函数和由参数方程确定的函数的导数,隐函数即是由 所确定的函数，其求导方法就是把,y,看成,x,的函数，方程两端同时对,x,求导，然后解出 。,即,第27页/共51页,第二十八页，共52页。,例,10,解：,两边对,x,求导得,第28页/共51页,第二十九页，共52页。,解一,例,11,第29页/共51页,第三十页，共52页。,两边(lingbin)对x求导，由链导法有,解二称为(chn wi)对数求导法，可用来求幂指函数和多个因子连乘积函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导,注：,解二,第30页/共51页,第三十一页，共52页。,解：,将函数取自然对数得,两边(lingbin)对x求导得,例,12,第31页/共51页,第三十二页，共52页。,且,设,均可导,具有单值连续,反函数,，,则参数方程确定的函数可看成,与,复合而成的函数，,根据求导法则有：,求得,y,对,x,的导数,对参数方程所确定的函数,y=f,(,x,),可利用参数方程直接,此即参数方程(fngchng)所确定函数的求导公式,2.参数(cnsh)方程所确定的函数的导数,变量(binling)y与x之间的函数关系有时是由参数方程,确定的，其中,t,称为参数,第32页/共51页,第三十三页，共52页。,解：,曲线上对应,t,=1,的点（,x,y,),为（,0,0,）,曲线t=1在处的切线(qixin)斜率为,于是(ysh)所求的切线方程为 y=x,求曲线,在,t,=1,处的切线方程,例,13,第33页/共51页,第三十四页，共52页。,即,或,记作,或,二阶导数：,如果函数,f,(,x,),的导函数,仍是,x,的可导,函数，就称,的导数为,f,(,x,),的二阶导数，,n,阶导数：,二阶及二阶以上(yshng)的导数统称为高阶导数,高阶导数的计算：,运用导数运算法则与基本公式将函数逐次求导,2.2.6 高阶导数(do sh),第34页/共51页,第三十五页，共52页。,解：,特别地,例,15,解：,即,同理,例,14,第35页/共51页,第三十六页，共52页。,解,如图，正方形金属片的面,积,A,与边长,x,的函数关,系,为,A,=,x,2,受热后当边长由,x,0,伸长到,x,0,+,时,面积,A,相应的增量为,2.3.1 微分(wi fn)的概念,例,1,设有一个边长为,x,0,的正方形金属片，受热后它的,边长伸长了 ，问其面积增加了多少？,2.3 微分(wi fn),第36页/共51页,第三十七页，共52页。,的线性函数,从上式可以看出，,这表明,这部分就是面积,的增量的主要部分（线性主部）,所以上式可写成,第37页/共51页,第三十八页，共52页。,可以表示为,定义,设函数,在点,的某邻域内有定义，,处的增量,在点,如果函数,于是,（,2.3.1),式可写成,处的微分，,可微，,称为,在点,处在点,高阶的无穷小，则称函数,时,其中,A,是与,无关的常数，,是当,比,记为,第38页/共51页,第三十九页，共52页。,由微分定义，函数,f,(,x,),在点,x,0,处可微与可导等价，,且,因而,在点,x,0,处的微分可写成,上式两端同除以自变量的微分，得,因此(ync)导数也称为微商,可微函数(hnsh)：如果函数(hnsh)在区间(a,b)内每一点都可微，,则称该函数(hnsh)在(a,b)内可微。,于是函数,通常把,记为,，称自变量的微分，,f,(,x,),在点,x,0,处的微分又可写成,d,x,f,(,x,),在,(,a,b,),内任一点,x,处的微分记为,第39页/共51页,第四十页，共52页。,解：,例,2,求函数,y=x,2,在,x,=1,时的改变量和微分。,于是,面积的微分为,解：面积的增量,面积的增量与微分,当半径增大,例,3,半径为,r,的圆的面积,时，求,在点,处，,第40页/共51页,第四十一页，共52页。,2.3.2 微分的几何(j h)意义,当自变量,x,有增量,时，,切线,MT,的纵坐标相应地有增量,因此，微分,几何上表示当,x,有增量,时，曲线,在对应点,处的切线的纵坐标的增量,用,近似代替,就是用,QP,近似代替,QN,，并且,设函数,y=f,(,x,),的图形如下图所示,.,过曲线,y=f,(,x,),上一点,M,(,x,y,),处作切线MT,设,MT,的倾角为,T,第41页/共51页,第四十二页，共52页。,2.3.3 微分(wi fn)的运算法则,1.微分的基本(jbn)公式：,第42页/共51页,第四十三页，共52页。,续前表,第43页/共51页,第四十四页，共52页。,2.微分的四则运算(s z yn sun)法则,设,u=u,(,x,),，,v=v,(,x,),均可微，则,（,C,为常数）；,第44页/共51页,第四十五页，共52页。,3复合(fh)函数的微分法则,都是可导函数，则,设函数,的微分为,复合函数,利用微分形式不变性，可以(ky)计算复合函数和隐,函数的微分.,这就是一阶微分形式不变性,.,可见，若,yf,(,u,),可微，不论,u,是自变量还是中间变量，,总有,而,第45页/共51页,第四十六页，共52页。,解：,解：对方程两边求导，得,的导数,与微分,例,5,求由方程,所确定的隐函数,即导数为,微分为,例,4,第46页/共51页,第四十七页，共52页。,由以上讨论可以看出，微分与导数虽是两个,不同的概念，但却紧密(jnm)相关，求出了导数便立即,可得微分，求出了微分亦可得导数，因此，通常,把函数的导数与微分的运算统称为微分法,在高等数学中，把研究导数和微分的有关内,容称为微分学,第47页/共51页,第四十八页，共52页。,2.3.4 微分(wi fn)在近似计算中的应用,或写成,（,1上式中令,（,2,）,，则,特别地,当,x,0,=0,，,很小时,有,（,3,）,公式(gngsh)(1)(2)(3)可用来求函数f(x)的近似值。,，且,很小时，我们有近似公式,在,x,0,点的导数,由微分的定义可知，当函数,第48页/共51页,第四十九页，共52页。,注：在求,的近似值时，要选择适当的,，使,，,容易求得，且,较小,应用（,3,）式可以推得一些常用的近似公式,当,很小时,有,(1),（,用弧度作单位）,(3),(4),(5),(2),(,用弧度作单位）,第49页/共51页,第五十页，共52页。,例,6,则,解,:,设,取,，,于是由（,2,）式得,即,第50页/共51页,第五十一页，共52页。,感谢您的观看(gunkn)！,第51页/共51页,第五十二页，共52页。,