数字图像处理学：第6章 图像复原（第6－2讲）.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字图像处理学,第,6,章 图像复原,（第二讲）,6.3.1,最小二乘方滤波的原理,6.3.2,用于图像复原的几种最小二乘,方滤波器,设原始图像、相应的退化图像和噪声分别为,f,(,x,y,),，,g,(,x,y,),和,n,(,x,y,),。显然，它们有如下之关系式成立,:,(6,87),式中,f,(,x,y,),，,g,(,x,y,),和,n,(,x,y,),分别为随机像场。式中噪声随机像场是不能精确知道的，但假定它的统计特性是已知的。,因此，在给定了,g,(,x,y,),时，仍然不能 精 确 地 求解f,(,x,y,),。在此，只能找出,f,(,x,y,),的一 个 估 计值 ，使得均方误差式最小,，,(6,88),其中 就叫给定,g,(,x,y,),时,f,(,x,y,),的最小二乘方估计。,为了便于数学处理，假定 是,灰度级的线性函数，那么,(6,89),这里 是在计算 处的 时给予退化图像在 点的灰度级的权重。如果随机像场是均匀的，则加权函数只与 有关，所以,(6,90),将式,(6,90),代入式,(6,88),，则,:,(6,91),显然，需要寻求使,e,2,最小的点扩散函数,m,(,x,y,),。,可以证明，对于,x y,平面上所有的位置向量,(,x,y,),和 都满足下式,6,92),的函数将使式,(6,91),最小。,设,m,(,x,y,),是一个满足式,(6,92),的函数。任选一个其他函数 ，其均方误差由下式表示,(6,93),现在可证明 时，使,最小。,(6,94),将式,(6,93),改写于下,(6,94),由式,(6,94),可见，第一项就是,e,2,，第二项总是大于零的项，所以，可写作,(6,95),式,(6,95),第三项是两项之积，且都包含有 的积分，把后一个积分变量改为 并互换积分与求期望的次序，则有,正数,(6,96),显然，式,(6,96),中第三项满足式,(6,92),，因而第三项为零，式,(6,96),变为,正数,(6,97),由此可见 。换句话说，任意 的均方误差总是至少和满足式,(6,92),的 所产生的均方误差一样大。于是一 个 满 足 式,(6,92),的 将使式,(6,91),有最小的可能值。,式,(6,92),对于,x y,平面中每个,(,x,y,),和 可以写成下式之形式,(6,98),利用随机像场自相关和互相关的定义，对于,x y,平面中所有位置向量,(,x,y,),和 可写成下式形式,(6,99),如果随机像场是均匀的，则其自相关函数 和互相关函数 可表达为 和 。所以，式,(6,99),可写成下式,(6,100),为了得到一个习惯的标准形式，对式,(6,100),中的变量作一下代换；令,:,则有,:,因此，式,(6100),可写成下式,再令,则得到,(6,101),由式,(6,101),可知，,m,(,x,y,),是恢复滤波的点扩散函数，它的傅立叶变换,M,(,u,v,),是传递函数。对式,(6,101),两边进行傅立叶变换，则有,(6,102),其中,S,gg,(,u,v,),是退化图像,g,(,x,y,),的谱密度，,S,fg,(,u,v,),是退化图像与原始图像的互谱密度。,由式,(6,102),可见，求解最小二乘方滤波器的传递函数需要退化图像和原始图像之间的互相关统计学知识。,如果图像,f,(,x,y,),和噪声,n,(,x,y,),不 相 关，并 且,f,(,x,y,),或,n,x,y,),有零均值，则,(6,103),在这种情况下，滤波器的形式比较简单。对这种情况有,(6,104),考虑到随机像场的均匀性和自相关函数定义，,得到,:,(6,105),使用与得到式,(6,101),所用的相类似的一系列变量代换，则可最后得到,(6,106),式,(6,106),是两个确定性函数的互相关。对两边进行傅立叶变换，得,(6,107),在下式成立时,(6,108),式中 是噪声的谱密度。由此可得,(6,109),由于,由式,(6,109),可见，当,S,nn,=0,时，就是理想的逆滤波器。,通常可认为噪声是白噪声，即,S,nn,=,常 数。若,S,ff,(,u,v,),在,u,v,平面中下降比,S,nn,(,u,v,),快得多，这个假设就可认为是正确的。,如果有关的随机过程的统计性质不知道，也可用下式近似表示（式,6,109,）,(6,110),式中 是噪声对信号的功率密度比，它近似为一个适当的常数。这就是最小二乘方滤波器的传递函数。,6.3.1,最小二乘方滤波的原理,6.3.2,用于图像复原的几种最小二乘,方滤波器,除了上述的线性最小二乘方滤波器外，目前用于图像复原的还有几种变形的最小二乘方滤波器（或称为变形的维纳滤波器）。,图像功率频谱滤波器,如果用 表示滤波器的传递函数，则图像功率频谱滤波器的传递函数有如下形式,(6,111),式中 是图像退化的传递函数。代表滤波器输出功率频谱，且,(6,112),式中 代表观测的功率频谱。它与理想图像的功率频谱的关系是,(6,113),式中 是噪声功率频谱。由此可见，重建图像的功率频谱和理想图像的功率频谱相同，即,(6,114),几何平均滤波器,几何平均滤波器的传递函数由下式表示,(6,115),式中,S,是一个设计参数，且 。如,果 ，则几何平均滤波器与图像功率频谱滤波器相同。,约束最小平方滤波器的传递函数,约束最小平方滤波器的传递函数如下,(6,116),式中,r,是一个设计常数，,L,(,u,v,),是一个设计频率变量。如果,r,=1,，而且使,|,L,(,u,v,)|,2,等于频谱信噪功率比，那么，约束最小平方滤波器便成为标准的维纳滤波器了。,6.4,约束去卷积,最小二乘方恢复滤波器或维纳滤波器是在这样的假设下推导的，即,原始图像和噪声都是平稳随机场，并且它们的功率谱已知,。如果没有这方面的先验知识而只知道噪声的方差的情况下，则可采用约束去卷积的方法来复原。,在一维情况下，退化模型仍然是如下形式,(6,117),式中,g,(,x,),是退化信号，,f,(,x,),是原始信号，,h,(,x,),是系统冲激响应，,n,(,x,),是噪声项。式,(6,117),的离散形式为,(6,118),式中之,p,=0,1,2,M,+,J,-2,。这里假定,f,(,i,),序列 中有,M,个元素，,h,(,i,),中有,J,个 元 素，,g,(,p,),中 有,M,+,J,-1,个元素。,式,(6,118),可写成矩阵形式,(6,119),式中,g,f,n,分别是由,g,(,p,),，,f,(,i,),，,n,(,p,),组成的向量，而,H,是一个矩阵，它的第,(,p,i,),个元素是,(6,120),此处,，,例如，若,M,=3,，,J,=2,，则矩阵,H,取下面的形式,在此假定,(6,121),为一个已知的常数。,要解决的恢复问题是在给定,g,H,和,e,2,的情况下寻求一个,f,，使得,(6,122),满足式,(6,122),的,f,可能很多，所以必须用某种其他的约束条件来选择其中最佳的,f,。这样一个约束条件必须具有某种先验的合理性。,例如，可以用二阶导数最小作为约束条件。,f,(,i,),在,i,点的二阶导数可近似地用下式表示：,因此，选择最佳解的标准可以表达为使,(6,123),最小。,如果用矩阵式表示，则式,(6,123,),可表达为使,f,T,C,T,Cf,最小。这里的,C,是下面的矩阵,(6,124),上述问题很自然地归入前述的约束复原方法。采用拉格朗日乘数法就可求得最小值解。,令 为拉格朗日乘数，则有,也就是,这样即可解出,f,(6,125),其中 可用迭代法确定如下：,选一个 值，用式,(6,125),计算,f,，同时计,算 ，如果 正确，则此式等于,e,2,，如果其值大于,e,2,，就减小 ；如果小于,e,2,，就增,大 ，直到合适为止。,约束去卷积方法的二维情况是,:,(6,126),这里假定理想的原始图像矩阵,f,大小是,M,N,，点扩散函数矩阵,H,的大小为,J,K,。于是退化图像矩阵,g,和噪声矩阵,n,的大小为,(,M,+,J,-1)(,N,+,K,-1),。,二维情况下的约束方程为,(6,127),相应的准则是使,(6,128),最小。,由此可知，对于二维情况，恢复问题是在式,(6,127),的约束下找到一个使式,(6,128),为最小的式,(6,126),的解,f,。,为了把问题归结到前面已讨论过的处理方法上，首先把上述公式表达为矩阵形式。其步骤如下：,第一,，选择,A,M,+,J,-1,，,B,N,+,K,-1,。形成新的延拓矩阵,f,e,，,H,e,，,g,e,，,n,e,和,l,e,，,其中,第二,，,将,f,e,，,g,e,，,n,e,，依次排列建立相应的列向量，其长度为,AB,。建立的方法是使矩阵的第一行变成相应向量的第一段，第二行变成第二段，以此类推。例如,(6,129),其中,f,ei,是将矩阵,f,e,的第,i,行转置而形成的。用同样的方法可建立向量 和 。,第三,，,建立,AB,AB,矩阵,H,，,H,是由,A,2,块组成，每块大小是,B,B,，于是有,(6,130),其中每个,H,i,是这样建立的,(6,131),同样方法从矩阵,L,e,可建立,AB,AB,矩阵,L,。,按照上面定义的向量 ，和矩阵 及 ，可将式,(6,126),，式,(6,127),和式,(6,128),表示为如下矩阵式形式,(6,132),(6,133),并且使,为最小。,(6,134),这样的恢复问题就是要找一个使式,(6,134),最小的式,(6,132),的解 ，并且同时满足式,(6,133),给出的约束条件。,由前面的讨论，这一解可直接由下式得出,(6,135),这里,直接求解式,(6135),比较困难。可以用傅立叶变换的方法在变换域中计算式,(6135),。由于矩阵,H,和,L,是分块循环矩阵，所以二维傅立叶变换可把分块循环矩阵变成对角形矩阵。,设,W,为一个,AB,AB,矩阵，它由,A,2,块组成，每块大小为,B,B,。,W,的第,(,m,n,),块记为,W,mn,并表示如下,(6,136),其中,W,是,B,B,矩阵，其第,(,i,k,),元由下式表示,(6,137),矩阵,W,的逆矩阵,W,-1,也由,A,2,块组成，每块大小也是,B,B,。如果用 表示矩阵,W,-1,的第,(,m,n,),块，则有,(6,138),式中,W,-1,B,B,矩阵，其第,(,i,k,),个元素由下式表示,(6,139),令 ，分别是 ，的二维离散傅立叶变换。,其向量仍然由形成 那样的方法形成，则有,:,(6,140),式中,D,h,和,D,l,是,AB,AB,对角形矩阵。,对角形矩阵的元由下式表示,(6,141),式中 表示小于 的最大整数，,k,mod,B,是,k,除以,B,所得的余数。矩阵 和 前面已有定义。和,分别是 和 的二维离散傅立叶变换。,把式,(6,140),中的后四个关系式代入式,(6,135),，利用式,(6,140),前两式及向量二维离散付里哀变换的关系可得到,(6,142),在复原过程中所用的滤波器传递函数为,(6,143),这个公式有点类似于维纳滤波器，但是两者之间有重大区别。,1),、,维纳滤波器是对一族图像在平均意义上的最好复原,，而这一公式只,对一幅图像给出最佳复原,。,2),、,推导维纳滤波器的基本假定的,随机像场是均匀的并且谱密度为已知,，而,此处滤波器没有作这样的假设而只是确定了一个最佳准则,。,