医学信号处理：2.第二章z变换－4学时.ppt

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 Z变换,1,2-1,引言,信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。,一.时域分析法,1.连续时间信号与系统：,信号的时域运算，时域分解，经典时域,分析法，近代时域分析法，卷积积分。,2.离散时间信号与系统：,序列的变换与运算，卷积和，差分方程,的求解。,2,二.变换域分析法,1.连续时间信号与系统：,信号与系统的频域分析、复频域分析,2.离散时间信号与系统：,Z,变换，,DFT(FFT)。,Z,变换可将差分方程转化为代数方程,3,2-2,Z,变换的定义及收敛域,一.,Z,变换定义：,序列的,Z变换定义如下：,*实际上，将,x,(n),展为,z,-1,的幂级数,4,二.收敛域,1.定义:,使序列,x,(,n),的,z,变换,X(,z),收敛的所有,z,值的集合称作,X(,z),的收敛域.,2.收敛条件：,X(z,),收敛的充要条件是,绝对可和。,5,3.一些序列的收敛域,(1).预备知识,阿贝尔定理:,如果级数 ，在,收敛,那么,满足0|,z|,|,z,+,|,的,z,级数必绝对收敛。|,z,+,|,为最大收敛半径。,6,同样,对于级数 ，,满足,的,z，,级数必绝对收敛。|,z_|,为最小收敛半径,。,7,0,n,2,n,1,n,.,.,.,(2).有限长序列,8,9,x,(n)n,0,n,1,.,.,1,.,(3)右边序列,*第一项为有限长序列，第二项为,z,的负幂级数,10,第一项为有限长序列,其收敛域为0,|,z|,;,第二项为,z,的负幂次级数，由阿贝尔定理可知,其收敛域为,R,x-,|,z|,;,两者都收敛的域亦为,R,x-,|,z|,;,R,x-,为最小收敛半径。,收敛域,11,(4)因果序列,它是一种最重要的右边序列,由阿贝尔,定理可知收敛域为：,12,(5),左边序列,x,(n),0,n,n,2,13,第二项为有限长序列,其收敛域 ;,第一项为,z,的正幂次级数，根,据阿贝尔定理,其收敛域为 ;,为最大收敛半径.,14,(6),双边序列,0,n,x,双边序列,指,n,为任意值时,x,(,n),皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。,15,第二项为左边序列，其收敛域为,：,第一项为右边序列(因果)其收敛域为：,当,R,x-,|,z|,时，这是无穷递缩等比级数，收敛。,收敛域：,*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。,20,2-3,Z,反变换,一.定义,：,已知,X(z),及其收敛域,反过来求序列,x,(,n),的变换称作,Z,反变换。,21,Z,变换公式：,C,为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.,0,c,可用柯西积分定理来证明,22,1.留数法,由留数定理可知,：,为,c,内的第,k,个极点，为,c,外的第,m,个极点，,Res ,表示极点处的留数。,二.求,Z,反变换的方法,23,2、当,Z,r,为,L,阶(多重)极点时的留数：,留数的求法：,1、当,Z,r,为,一,阶极点时的留数：,24,2.,部分分式法,有理式：,数字和字符经有限次加、减、乘、除运算,所得的式子。,有理分式：,含字符的式子做分母的有理式，或两个多项式的商。分子的次数低于分母时称为真分式。,部分分式：,把,x,的一个实系数的真分式分解成几个分式,的和，使各分式具有 或,的形式，其中,x,2,+Ax+B,是实数范围内的不可约多项式，而且,k,是正整数。这时称各分式为原分式的“部分分式”。,25,通常，,X(z),可表成有理分式形式：,因此，,X(z),可以展成以下部分分式形式：,分别求出各部分分式的z反变换（可查 P5,4,表2-1），然后相加即得X(,z,)的z反变换。,26,的z反变换。,例2-,5,利用部分分式法，求：,解：,27,28,3.幂级数展开法(长除法),因为,x,(n),的,Z,变换为,Z,-1,的幂级数，即:,所以在给定的收敛域内，把,X(z),展为幂级数，其系数就是序列,x,(,n)。,如收敛域为|,z|,R,x+,，x(n),为因果序列，则,X(z),展成,Z,的负幂级数。,若 收敛域|,Z|,R,x-,x(n),必为左边序列，则要展成,Z,的正幂级数。,29,2-4,Z,变换的基本性质和定理,如果则有：,*即满足,均匀性,与,叠加性,；*收敛域为两者,重叠部分,。,1.线性：,30,例2-7已知 ,求其,z,变换。,解：,31,化简整理得：,32,2.,序列的移位,如果则有：,例2-8,求序列,x,(n)=u(n)-u(n-3),的,z,变换。,33,3.,Z,域尺度变换(乘以指数序列),如果,，则,证明：,34,4.,序列的线性加权(,Z,域求导数),如果,，则,证明：,35,5.,共轭序列,如果,，则,证明：,36,6.,翻褶序列,如果,，则,证明：,37,7.,初值定理,证明：,38,8.,终值定理,证明：,39,又由于只允许,X(z),在,z=1,处可能有一阶极点，故,因子（,z-1),将抵消这一极点，因此(,z-1)X(z),在,上收敛。所以可取,z 1,的极限。,40,9.有限项累加特性,证明：,41,m,n,m=n,0,m,n,关系及求和范围,42,43,10.,序列的卷积和(时域卷积定理),44,证明：,45,例2-9,解：,46,11.序列相乘(,Z,域卷积定理),其中,C,是在变量,V,平面上，,X(z/v),H(v),公共收敛域内环原点的一条逆时针单封闭围线。（证明从略）,47,例2-10：,解：,48,49,12.,帕塞瓦定理(,parseval,),其中“*”表示复共轭，闭合积分围线,C,在公共收敛域内。（证明从略）,如果：,则有:,50,*几点说明,：,512-5,Z,变换与拉氏变换、傅氏变换的关系,52,一.,Z,变换与拉氏变换的关系,1.理想抽样信号的拉氏,设 为连续信号，为其理想抽样信号则：,53,序列,x,(n),的,z,变换为：,考虑到,显然，当 时，序列,x,(n),的,z,变换就等于理想抽样信号的拉氏变换,。,54,2.,Z,变换与拉氏变换的关系(,S、Z,平面映射关系),S,平面用直角坐标表示为：,Z,平面用极坐标表示为：,又由于,所以有：,因此，,;,这就是说:,Z,的模只与,S,的实部,相对应,Z,的相角只与,S,虚部,相对应。,55,=0,即,S,平面的虚轴,r=1,即,Z,平面单位圆；,0,即,S,的左半平面,r0,即,S,的右半平面,r1,即,Z,的单位圆外。,j,0,0,(1).,r,与,的关系,56,=0，S,平面的实轴,=,0，,Z,平面正实轴；,=,0,(,常数)，,S:,平行实轴的直线,=,0,T,Z:,始于原点的射线；,S:,宽 的水平条带,整个,z,平面.,(2).,与,的关系（,=T）,jImZ,0,ReZ,57,58,二.,Z,变换和傅氏变换的关系,连续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓，即:,我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴,S=j,的特例,因而映射到,Z,平面上为单位圆。因此:,59,二.,Z,变换和傅氏变换的关系,这就是说,（抽样）序列在单位圆上的,Z,变换,就等于理想抽样信号傅里叶变换。,用数字频率,作为,Z,平面的单位圆的参数，,表示,Z,平面的辐角，且 。,60,所以:,序列在单位圆上的,Z,变换为序列的傅氏变换。,61,数字频率和模拟频率的关系,在以后的讨论中，我们用数字频率,来作为,z,平面上单位圆的参数，即,数字频率,表示z平面的辐角，它和模拟角频率,的关系为,:,看出：,数字频率是模拟角频率对抽样频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2,.,62,三.序列的傅氏变换,1.正变换:,2.,反变换:,63,2-6 傅氏变换的,一些对称性质,64,一、共轭对称序列与共轭反对称序列,1.共轭对称序列,设一复序列，如果满足,x,e,(n,)=,x,en),则称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。,设序列,其中 分别表示实部和虚部.对其两边取共轭,则 再将-,n,代入，则,根据定义推得：,65,这说明:,共轭对称序列的实部是偶对称序列,（偶函数），,而虚部是奇对称序列,（奇函数）。,*特殊地，,如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。,66,2.共轭反对称序列,设一复序列，如果满足:,X,o,(n)=,X,o,*,(-n),则称序列为共轭反对称序列。同样有：,67,2.共轭反对称序列,根据定义,则:,这说明:,共轭反对称序列的实部是奇对称序列,(奇函数),而虚部是偶对称序列,(偶函数)。,特殊地:,如是实序列,共轭反对称序列就是奇对称序列。,68,二、任一序列可表为:,共轭对称序列与共轭反对称序列之和,69,70,三、序列的傅氏变换可表为,共轭对称分量与共轭反对称分量之和,其中:,71,四、两个基本性质,证明：,72,证明：,73,五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部的关系,1.,序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的,共轭对称分量,证明：,74,2.序列的,j,倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换,的,共轭反对称分量,证明：,75,六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、虚部,的关系,序列,共轭对称分量,的傅氏变换等于其傅氏变换的实部,证明：,76,序列,共轭反称分量,的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以,j。,证明：77,七,、,序列为实序列的情况,78,79,80,8.实序列也有如下性质：,81,2-7 离散系统,的系统函数频率响应,82,h(n),为线性移不变系统的单位抽样响应,h(n),x,(,n),y,(,n),H(z),称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆上的系统函数就是系统的频率响应。,一.系统函数:,83,我们知道,一线性移不变系统稳定的充要条件是,h(n),必须满足绝对可和：,|,h(n)|,。,z,变换,H(z),的收敛域由满足,|,h(n)z,-n,|,的那些,z,值确定.如单位圆上收敛,此时则有,|,h(n)|,即系统稳定；也就是说，收敛域包括单位圆的系统是稳定的。,二.因果稳定系,统,84,因果系统的单位抽样响应为因果序列，,其收敛域为,R+|z|,；而因果稳定系,统的系统函数收敛域为,1,|,z,|,，,也就是说,其,全部极点必须在单位圆内。,二.因果稳定系,统,85,三.系统函数和差分方程的关系,线性移不变系统常用差分方程表示：,取,z,变换得：,86,三.系统函数和差分方程的关系,对上式因式分解,87,四.系统的频率响应的意义,系统的单位抽样响应,h(n),的傅氏变换也即单位园上的变换 称作系统频率响应。,也就是说，其输出序列的傅氏变换等于输入序列的傅氏变换与频率响应的乘积。,对于线性移不变系统：,88,五.频率响应的几何确定,1.频响的零极点表达式,89模：,相角：,90,91,2.,几点说明,表示原点处零极点,它到单位圆的距离恒为1，故对幅度响应不起作用只 是给出线性相移分量,(N-M)。,单位圆附近的零点对幅度响应的谷点的位置与深度有明显影响,当零点位于单位圆上时，谷点为零。零点可在单位圆外。,单位圆附近的极点对幅度响应的峰点位置和高度有明显影响。极点在圆外,系统不稳定。,92,零点在单位圆上0,处；极点在 ,处。,0,。,。,93,例2-14,设一阶系统的差分方程为:,解:,对差分方程两边取,Z,变换:,a,为实数,求系统的频率响应,。,94,这是一因果系统，其单位抽样响应为,而频率响应为:,幅度响应为:,相位响应为:,95,零极点分布情况,0,0,-1,0,a,1,0,1,1,2,3,4,5,6,7,8,n,96,六.,IIR,系统和,FIR,系统,1.无限长单位冲激响应(,IIR),系统,:,如果一个离散时间系统的单位抽样响应,h(n),延伸到无穷长,即,n,时,h(n),仍有值,这样的系统称作,IIR,系统。,97,2.有限长单位冲激响应(,FIR),系统,h(n),为有限长序列的系统,。,98,